江苏省南通中学2022-2023学年高一数学上学期期末模拟试题（一）（Word版附解析）

这是一份江苏省南通中学2022-2023学年高一数学上学期期末模拟试题（一）（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得集合，结合集合交集、补集的概念及运算，即可求解.
【详解】由不等式，解得，
可得集合，，
可得或，所以或．
故选：C.
2. 命题“，总有”的否定是（ ）
A. ，总有
B. ，总有
C. ，使得
D. ，使得
【答案】C
【解析】
【分析】
全称命题否定为特称命题即可，改量词否结论
【详解】解：因为命题“，总有”，
所以其否定为“，使得”
故选：C
3. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角函数图像平移变化规律求解即可
【详解】解：因为，
所以要得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位长度即可，
故选：C
4. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的性质可知，要能取到的所有数，分情况讨论的取值范围.
【详解】设，，
因为函数的值域为，所以要能取到的所有数，
当时，满足条件；
当时，，得；
当时，不成立.
综上可知，.
故选：D
5. 在自然界，大气压强（单位：mmHg）和海拔高度（单位：m）的关系可用指数模型来描述，根据统计计算得到，．现已知海拔500 m时的大气压强约为700 mmHg，则当大气压强约为350 mmHg时，海拔高度约为（ ）（参考数据：）
A. 3500 mB. 4200 mC. 4700 mD. 5200 m
【答案】C
【解析】
【分析】
由，，，可得，若设大气压强约为350 mmHg时，海拔高度为m，则有，从而有，进可求出的值
【详解】解：由题意得，若设大气压强约为350 mmHg时，海拔高度为m，则有，
所以，
，
两边取对数，得，
解得，
故选：C
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊区间进行判断函数在该区间上的正负，利用排除法可得答案
【详解】解： 当时，，，所以，
当时，，
当时， ，，所以，所以排除A，C，
当时，，，所以，所以排除D
故选：B
7. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数，三角函数的单调性，分别计算三个式子的取值范围，比较大小.
【详解】，
因为，所以，
，所以.
故选：D.
8. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】若，则，利用函数单调性可得．反之不一定成立，例如取，．即可得出其不成立．
【详解】解：若，则，
∴，
又当时，单调递增，∴．
反之不一定成立，“”不一定得出“”，
例如取，．则“”．
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的概念，还考查了利用导数证明不等式及赋值法，属于难题．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 命题“，”的否定是“，”
C. “”是“函数在区间内有零点”的充要条件
D. “”是“二次函数为偶函数”的充要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断选项A，B；根据零点存在性定理判断选项C，根据偶函数的性质的判断选项D.
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故选项A错误；
对于B，命题“，”的否定是“，”，故选项B正确；
对于C，函数在区间上为连续不断的一条曲线，若，则函数在区间内有零点，反之不成立，比如：，则易知，且在区间上有两个零点，故选项C错误；
对于D，当时，令，定义域为，且，所以二次函数为偶函数；当二次函数为偶函数时，则有，所以，故选项D正确，
故选：.
10. 下列判断或计算正确的是（ ）
A. ，使得B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于A，由余弦函数的值域进行判断；对于B，利用诱导公式和三角函数的符号进行判断；对于C，利用诱导公式进行判断；对于D，利用同角三角函数的关系化简即可判断
【详解】解：对于A，由得，而，所以无解，所以A错误；
对于B，，所以B正确；
对于C， ，所以C正确；
对于D，，所以D错误，
故选：BC
11. 已知，且，若对任意恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
不等式变形为，转化为，利用基本不等式求的最小值，再求的取值范围.
【详解】，，
即，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即， 解得：或，选项中满足条件的有ACD.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是不等式变形，转化为最值问题，第二个关键是“1”的妙用，求最值.
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的最小正周期是，则
B. 当时，的对称中心的坐标为
C. 当时，
D. 若在区间上单调递增，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确；
对于B选项，当时，，所以令，解得：，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项错误；
对于C选项，当时，，，，由于在单调递增，故，故C选项错误；
对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确.
故选：AD
【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得，再结合和得，进而得答案.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知奇函数的定义域为，当时，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由于为奇函数，所以，然后代入解析式中可得结果
【详解】解：因为奇函数的定义域为，当时，，
所以，
故答案为：
14. 已知函数的图象经过点和两点，若，则a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】将两点坐标代入函数，求得，再根据的范围求.
【详解】将点和代入函数得，解得：，
则,，因为，所以.
故答案为：
15. 在中国古代数学著作《九章算术》的“方田”篇中，有一篇关于环形田的面积计算问题：今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，问为田几何？答：二亩五十五步，其大致意思为：现有一个环形田（如图），中周长92步，外周长122步，径长5步，问田的面积是多少？答：2亩55步，则根据该问题中的相关数据可知该题所取的圆周率的近似值是______；若已知某环形田的中周长步，外周长步，径长步，则该环形田的面积为______．（单位：步）．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】（1）读懂题意，提炼关键信息，环田的面积为大圆面积减去小圆面积，先用周长表示出大小圆的半径和，再用圆的面积公式求解；
（2）将（1）的结果一般化，用周长来表示半径，得出结论.
【详解】（1）设内圆的半径为，外圆的半径为．由题意知，，，则，解得．
（2）由题意知，则，
内圆的面积为，同理外圆的面积为．
又，
所以该环形田的面积为．
故答案为：3；
【点睛】试题以《九章算术》的“方田”篇中关于环形田的面积计算问题为背景设题，从题干中提取有效信息并分析、处理数据，关键在于提炼信息，转化为数学运算.
16. 已知集合，若，满足条件的所有集合B中元素的和__________.
【答案】36
【解析】
【分析】由题意可知，将等式两边平方整理得，根据判别式可得，再依次经检验得，再根据可得满足条件所有集合B，即可计算元素的和.
【详解】根据题意，将等式两边平方得
继续平方整理得，故该方程有解；
所以，即，解得.
又因为，故；
当时，即，解得，代入验证可知不符合题意；
当时，即，解得或，代入验证可知符合题意；
当时，即，解得，代入验证可知符合题意；
当时，即，解得，代入验证可知符合题意；
故，由，可知集合B是集合A的子集；
所以，满足条件的所有集合B共有，，，，，，，
所以，所有元素之和为.
故答案为：36.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （1）已知，求的值；
（2）求值：．
【答案】（1）；（2）6.
【解析】
【分析】
（1）由同角三角函数间的关系求解即可；
（2）利用指数和对数的运算性质求解即可
【详解】（1）
（2）
18. 已知函数满足条件：，且．
（1）求的解析式；
（2）由函数的图象经过适当的变换可以得到的图象．现提供以下两种变换方案：①→→②→→请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
分析】
（1）根据周期求ω，利用对称轴求φ；
（2）选择①，先平移变换，后进行周期变换；选择②，先周期变换，后进行平移变换.
【详解】（1）由，知函数的周期为π ，
所以，即.
由，知函数的图象关于对称
所以，即，
所以.
因为，所以，
所以.
（2）方案①：
将的图象向右平移个单位后，得到的图象；再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象
方案②：
将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象；再将所得图象向右平移个单位，得到得到的图象.
【点睛】(1)求三角函数解析式的方法：①求A通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点代入即可求解.
(2)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a个单位长度那么相位就会改变ωa；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa，那么平移长度不等于a；
19. 已知函数
（1）证明函数在上为减函数；
（2）当时，解关于的不等式
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设，由，根据单调性定义可得结论；
（2）利用奇偶性定义可知为奇函数；利用诱导公式可化简所求不等式右侧部分为，结合奇偶性得到；根据单调性可得自变量大小关系，通过对于范围的讨论，解一元二次不等式求得结果.
【小问1详解】
设，且，
则；
，，，在上为减函数.
【小问2详解】
定义域为，，
为定义在上的奇函数，即；
，
，
原不等式可化为，即；
由（1）知：在上为减函数，，
即；
①当时，由得：或；
②当时，由得：；
③当时，由得：或；
综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
20. 已知，
（1）当，求的值；
（2）求函数的最大值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到，，代入计算得到答案.
（2）确定，化简得到，讨论，和三种情况，分别计算得到答案.
【小问1详解】
，故，
，，又，故，则，
，故，
.
【小问2详解】
，，故，故，
，
设，二次函数的对称轴为，
当时，；
当时，；
当时，.
综上所述：
21. 如图，已知四边形为直角梯形，，，，点从点出发，沿着边运动到点，过点作直线垂直于边，设，则的左侧部分的多边形的面积为，周长为．
（1）求和的解析式；
（2）记，求的最大值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）过作于点，分、两种情况讨论，利用矩形、梯形以及三角形的面积公式可求得的表达式，利用矩形、梯形以及三角形的周长公式可求得的表达式；
（2）求得函数的表达式，分别利用函数的单调性以及基本不等式求得函数在、时的最大值，比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
解：过作于点，
在直角梯形中，，，
因为，，则，又因为，则四边形为正方形，
所以，，，，
当时，，；
当时，因为，位于直线右侧的直角三角形的两直角边长分别为、，斜边长为，
此时，
.
所以，.
【小问2详解】
解：由（1）得
当时，在上单调递增，则
；
当时，，
令，则，所以，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为．
因为，所以．
22. 已知定义在上的函数．
（1）若方程有两个不等的实数根（），比较与1的大小；
（2）设函数（），若，使得在定义域上单调，且值域为，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）由题意得，然后作出函数和的图象，由图像可得，从而得，，再由可得结果；
（2）设，则，且，由题意可知在上单调，且值域为，然后分和两种情况结合二次函数的图象和性质讨论求解即可
【详解】（1）方程即为.
因为，由图知，.
所以，，
所以.
因为函数，所以，
所以，
从而.
（2）函数即为，.
设，则，且，
因为在定义域上单调，且值域为，
所以在上单调，且值域为.
因为，所以二次函数的图象开口向上.
①当时，在上单调递增，
所以，即
所以方程在上有两个不相等的实数解，
所以，解得.
②当时，在上单调递减，
所以，即
两式相减，得.
将代入，得，
同理可得，，
所以方程在上有两个不相等的实数解，
所以解得.
综上，a的取值范围是或.
【点睛】关键点点睛：此题考查指数函数、对数函数和二次函数的综合应用，考查数形结合的思想和转化思想，解题的关键是正确画出函数的图像，利用换元法把转化为，从而利用二次函数的图像和性质求解，属于较难题