江苏省南通市南通中学2023-2024学年高一数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

这是一份江苏省南通市南通中学2023-2024学年高一数学上学期期中考试试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域为（ ）
A B. C. D.
3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
4. 已知，则是成立的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的倍，土星的公转时间约为．则天王星的公转时间约为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列可能是函数（e是自然对数的底数）的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象过原点
B. 函数是偶函数
C. 函数是单调减函数
D. 函数的值域为R
10. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 已知是R上的偶函数，且在上是单调减函数，则满足不等式的所有整数的值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
12. 已知、都是定义在上函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. B.
C. 为奇函数D. 的图像关于直线对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 式子的值是________
14. 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值是______.
15. 已知，是非零实数，若关于的不等式恒成立，则的最小值是______.
16. 已知函数，当时，函数的值域为______；若函数的最小值为2，则正实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设全集，集合，.
（1）求：
（2）若集合满足，求实数的取值范围.
18. 已知函数，（且）.
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若.
①求实数的值；
②设，，当时，试比较，大小.
19. 已知某观光海域段的长度为3百公里，一超级快艇在段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用（单位：万元）与速度（单位：百公里/小时）（）的以下数据：
为描述该超级块艇每小时航行费用与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：，.
（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使段的航行费用最少?并求出期少航行费用.
20. 已知（且）．
（1）求函数的解析式，并写出函数图象恒过的定点；
（2）若，求的取值范围．
21. 已知二次函数.
（1）若，且对于，恒成立，求，值；
（2）若函数的值域为，关于的不等式的解集为，求实数的值.
22. 设函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数值；
（2）若，试判断函数的单调性，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，不等式对任意实数均成立，求实数的取值范围.江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试
高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集定义计算．
【详解】由已知．
故选：C．
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，则满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：利用对数函数与指数函数的性质，将a，b，c与0和1比较即可.
详解：，
；
.
故.
故选：C.
点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．
4. 已知，则是成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】当时，，所以，
当时，，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以是成立的充要条件，
故选：C
5. 德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的倍，土星的公转时间约为．则天王星的公转时间约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为和，距离太阳的平均距离为和，根据，，结合已知条件即可求解.
【详解】设天王星的公转时间为，距离太阳的平均距离为，
土星的公转时间为，距离太阳的平均距离为，
由题意知：，，
所以，
所以，
故选：B.
6. 下列可能是函数（e是自然对数的底数）的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义域和部分区间的函数值确定正确选项.
【详解】函数的定义域为，所以AB选项错误.
当时，，所以D选项错误.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.
7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数值域为，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题.
【详解】当时，单调递增，
所以
当时，单调递增，
所以，
要使得函数值域为，
则恒成立，
令，
如图所示：
由图可知有两个交点，且交点的横坐标分别为，
所以若要，则，
也即函数的值域为时，
则实数的取值范围为：，
故选：D.
8. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意得到，从而得到，再根据“1”的妙用及基本不等式即可求解．
【详解】由，，，则，则，
所以
．
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象过原点
B. 函数是偶函数
C. 函数是单调减函数
D. 函数的值域为R
【答案】AD
【解析】
【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】由于幂函数过点，所以，解得，所以.
，满足，A选项正确.
是奇函数，所以B选项错误.
在上递增，所以C选项错误.
值域为，所以D选项正确.
故选：AD
【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.
10. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据不等式的性质、差比较法判断出正确答案.
【详解】A选项，若，则，所以A选项错误.
B选项，若，则，所以B选项正确.
C选项，若，，
则，，
则，所以C选项正确.
D选项，若，，
所以，所以D选项正确.
故选：BCD
11. 已知是R上偶函数，且在上是单调减函数，则满足不等式的所有整数的值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性，不等式转化为，求解即可.
【详解】已知是R上的偶函数，且在上是单调减函数，
则在上是单调增函数，
由，得，即，
解得，范围内的整数有.
故选：ABC
12. 已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. B.
C. 为奇函数D. 的图像关于直线对称
【答案】AD
【解析】
【分析】A. 根据是定义在上的函数，且为奇函数判断；B. 由的图像关于直线对称，得到判断；C.利用奇偶性的定义判断；D. 由，得到判断.
【详解】解：因为是定义在上的函数，且为奇函数，所以，故A正确；
因为是定义在上的函数，且的图像关于直线对称，所以，不一定为0，故B错误；
因为，故C错误；
因为，则，所以的图像关于直线对称，故D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 式子的值是________
【答案】6
【解析】
【分析】根据指数、对数运算，化简求得表达式的值.
【详解】依题意，原式.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，属于基础题.
14. 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】由可得，从而结合奇偶性根据函数的奇偶性可得，于是解得，即可得所求.
【详解】因为①，所以
由函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，则
所以②
则①-②可得：，所以
则．
故答案为：．
15. 已知，是非零实数，若关于的不等式恒成立，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，再利用基本不等式求解即可
【详解】因为，是非零实数，且不等式恒成立，
所以有两个相等的实数根或无实数根，即得，
，当且仅当，
解得满足条件且同时取等号.
故答案：
16. 已知函数，当时，函数的值域为______；若函数的最小值为2，则正实数的取值范围为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】(1) 代入函数解析式，利用零点分段讨论，去绝对值，根据单调性，求函数的值域.
(2) 为正实数时，利用零点分段讨论，去绝对值，分类讨论函数的单调性，求函数最小值，得到函数最小值为2时的取值范围.
详解】(1) 当，函数，
时，单调递减，有；
时，；
时，单调递增，有，
所以当，函数的值域为.
(2) 为正实数时，，
时，单调递减，有；
时，单调递增，有，
时，，
①若，函数单调递增，有，，
此时函数有最小值2，符合题意；
②若，，，
此时函数有最小值2，符合题意；
③若，函数单调递减，有，，
此时函数有最小值，，不合题意.
综上可知，正实数的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设全集，集合，.
（1）求：
（2）若集合满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合、，再求交集可得答案；
（2）根据可得，求出的范围即可.
【小问1详解】
，
，所以；
【小问2详解】
若，则，所以，
所以实数的取值范围为.
18. 已知函数，（且）.
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若.
①求实数的值；
②设，，当时，试比较，的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可；
（2）根据两个函数在上的值域来比较较，的大小即可.
【小问1详解】
函数，对称轴，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
若函数在上单调递减，则，，
故实数的取值范围为.
【小问2详解】
①，即，解得；
②当时，
，
，
所以，即.
19. 已知某观光海域段的长度为3百公里，一超级快艇在段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用（单位：万元）与速度（单位：百公里/小时）（）的以下数据：
为描述该超级块艇每小时航行费用与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：，.
（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使段的航行费用最少?并求出期少航行费用.
【答案】（1）选择函数模型；
（2）该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使段的航行费用最少为
【解析】
【分析】（1）对题中所给的函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式；
（2）根据题意列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.
【小问1详解】
若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数，
这与实验数据相矛盾，所以不选择该函数模型.
从而只能选择函数模型，由实验数据可得：
，得，
故所求函数解析式为.
【小问2详解】
设超级快艇在段的航行费为（万元），
则所需时间为（小时），其中，
结合（1）知，
所以当时，取最小值为
所以当该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使段的航行费用最少为
20. 已知（且）．
（1）求函数的解析式，并写出函数图象恒过的定点；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1），定点；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）令，可得出，然后利用换元法可求出函数的解析式，并利用指数等于零求出函数图象所过定点的坐标；
（2）由，可得出，然后分和两种情况讨论，利用函数的单调性可解出不等式.
【详解】（1）令，可得出，，，
令，得，且，
因此，函数图象恒过的定点坐标为；
（2）由，即，可得.
当时，函数是减函数，则有，解得；
当时，函数是增函数，则有，解得.
【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了指数型函数图象过定点以及指数不等式的求解，一般在解指数不等式时，需要对底数的取值范围进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21. 已知二次函数.
（1）若，且对于，恒成立，求，的值；
（2）若函数的值域为，关于的不等式的解集为，求实数的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件得出关于的方程，解出即可；
（2）先由顶点坐标得关系，则不等式化为，则是对应方程的两根，结合韦达定理即可求.
小问1详解】
由，得，解得
由，得，则.
【小问2详解】
函数的值域为，又其顶点坐标为，
即，则，
不等式可化为：，
即的解集为，
即方程的两根为，
所以，可得，
即，解得
22. 设函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数值；
（2）若，试判断函数的单调性，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，不等式对任意实数均成立，求实数的取值范围.
【答案】22.
23. 在上单调递减，证明见解析
24.
【解析】
【分析】（1）由求得的值.
（2）由求得的取值范围，利用函数单调性的定义证得在上单调递减.
（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【小问1详解】
由于是定义域为的奇函数，
所以，
此时，，满足是奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
若，则，
所以是减函数，证明如下：
任取，则
，
由于，，所以，
所以，
所以在上单调递减.
【小问3详解】
由（1）得，是定义在上的奇函数，
依题意，不等式恒成立，
即恒成立，
由（2）得在上单调递减，
所以，
恒成立，
令，则对于函数，
函数在上单调递增，最小值为，
所以的最大值为，
所以.
【点睛】根据奇函数的定义求参数，当奇函数在处有定义时，必有，由这个方程求得参数后，要注意验证函数是否满足奇偶性的定义.求解二次项的函数的最值问题，可以考虑利用换元法，结合二次函数的性质来进行求解.v
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3
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3.3
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3.3