2022-2023学年江苏省南通市如皋市高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通市如皋市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则的子集个数为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【分析】用交集定义求得交集中的元素，然后可得子集个数．

【详解】由已知，共2个元素，因此其子集有4个．

故选：C．

2．已知是第四象限的角，则点在（    ）．

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据题意，由所在象限可判断三角函数的符号，可得 ，可得答案．

【详解】根据题意， 是第四象限角，则，

则点在第二象限,

故选：．

3．已知扇形的周长为，圆心角，则扇形的面积（    ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】C

【分析】求出扇形的半径，再用扇形的面积公式求面积.

【详解】设扇形的半径为，则弧长，由题意知，所以，

扇形的面积为，

故选：C.

4．冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，.试估计（    ）年以后将会有一半的臭氧消失.

A．267 B．277 C．287 D．297

【答案】B

【分析】由可得，，求解整理可得，代入数值，即可解出.

【详解】令可得，，即，

则有，解得.

所以，估计年以后将会有一半的臭氧消失.

故选：B.

5．“”是“函数在上单调递增”的（    ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】当时，，时，，

单调递增成立；

当函数在上单调递增时，

由知，当时，函数在上单调递增，故推不出成立，如；

综上，“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A

6．已知函数在其定义域上单调递减，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解

【详解】因为的对称轴为，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为函数在其定义域上单调递减，

所以，解得

故选：D

7．关于的不等式的解集为单元素集，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【分析】由一元二次不等式的解集求得，由基本不等式求得的最小值为1，然后解不等式可得．

【详解】由已知，又，∴，，

，当且仅当时等号成立，所以的最小值是1，

不等式恒成立，则，，解得．

故选：A．

8．定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】由条件证明函数为周期函数并确定函数的周期，利用周期函数的性质和偶函数的性质将函数值转化到同一区间，再利用单调性比较函数值大小.

【详解】因为函数为偶函数，所以，

因为函数为奇函数，所以，故，

所以，所以函数为周期函数，周期为4，所以，，，

因为，函数在区间上单调递减，

所以，所以，

所以，

故选：B.

二、多选题

9．下列函数中满足“对任意，都有”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据单调性定义可知在上单调递增，根据一次函数、反比例函数、二次函数和对数函数性质依次判断各个选项中函数的单调性即可.

【详解】对任意，都有，在上单调递增；

对于A，由一次函数性质知：在上单调递增，A正确；

对于B，由反比例函数性质知：在上单调递减，B错误；

对于C，由二次函数性质知：对称轴为，则在上单调递增，C正确；

对于D，由对数函数性质知：在上单调递增，则在上单调递减，D错误.

故选：AC.

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．“”的否定为“”

B．若函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件

C．函数与函数是同一个函数

D．若方程在区间上有实数解，则实数的取值范围为

【答案】BD

【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、相同函数、一元二次方程的根等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，“”的否定为“”，

所以A选项错误.

B选项，函数的定义域为，

当时，如是偶函数.

当为奇函数，则，

所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，B选项正确.

C选项，函数的值域为；函数的值域是，

所以不是同一函数，C选项错误.

D选项，，

由于方程在区间上有实数解，

所以，D选项正确.

故选：BD

11．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则

B．若，，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ACD

【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用作差法可判断BD选项；利用不等式的基本性质以及基本不等式可判断C选项.

【详解】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质可得，A对；

对于B选项，若，，则，

所以，，B错；

对于C选项，因为，则，

所以，，C对；

对于D选项，若，则，，

则，故，D对.

故选：ACD.

12．设函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．是的一个对称中心

C．向左平移个单位后为偶函数

D．先将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.

【答案】BCD

【分析】根据函数的周期性，对称性，奇偶性，图像平移对应解析式变化规律即可求解.

【详解】，所以的最小正周期为，故选项A错；

，所以是的一个对称中心，所以选项B正确；

向左平移个单位后为，所以函数为偶函数，所以选项C正确；

先将函数的图象向右平移个单位后，函数变为，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，变为，得到函数的图象.故选项D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．已知，则的值为__________.

【答案】

【分析】，后利用可得答案.

【详解】因，

则，又，

则.

故答案为：

14．集合，若，则__________

【答案】

【分析】分和，并结合集合元素的互异性求解即可.

【详解】解：因为，

所以，若，则可得或2，

当时，，不满足互异性，舍去，

当时，，满足题意;

若，则，此时，不满足互异性，舍去；

综上

故答案为：

15．已知幂函数（为常数）过点，则的最大值为__________.

【答案】

【分析】由已知可得，代入可得，，平方后根据的取值范围即可求出答案.

【详解】由已知可得，所以，所以.

则，.

因为，

所以，当时，有最大值4.

所以，所以的最大值为2.

故答案为：2.

16．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】设，则原题等价于时，，而时，.当时，根据二次函数的性质可得，，分为和结合即可得出；当时，根据一次函数的性质分别解出以及时的范围，取交集可得.最后取并集即可得出结果.

【详解】设，

因为当时，，而时，，

但当时，恒成立，

故时，，而时，，

①当时，因为二次函数，故，

的另一个实数解为，故，即.

此时，

故，，

因为与符号相同，所以恒成立.

若，此时在上恒成立，

故在上恒成立，此时，

若，当时，恒成立，与题设矛盾，

综上，；

②当时，此时，

但当时，恒成立，故时，，而时，.

当时，要使恒成立，则应有，即，所以；

当时，要使恒成立，显然，在上单调递减，所以，即.

所以，当时，要使时，恒成立，应有.

综上所述，的取值范围为.

又满足，所以的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．设全集，集合.

(1)当时，求；

(2)从下面三个条件中任选一个，求实数的取值范围.

①，②；③.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据得出，然后求出集合的补集，将集合化简，然后利用交集的定义即可求解；

(2) 选①可得，然后分和两种情况进行讨论即可求解.选②可得，后面同①；选③可得，后面同①.

【详解】（1）当时，集合，则，

又因为，

则

（2）选①，因为，则，所以分和两种情况：

当时，则有，

当时，则有，解得：，

综上：实数的取值范围为：.

选②，由可得：，所以分和两种情况：

当时，则有，

当时，则有，解得：，

综上：实数的取值范围为：.

选③，由可得：，所以分和两种情况：

当时，则有，

当时，则有，解得：，

综上：实数的取值范围为：.

18．（1）化简：；

（2）已知关于的方程的两个根为和，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】(1)根据诱导公式和同角三角函数基本关系式即可求解；

(2)根据同角三角函数基本关系式和完全平方公式即可求解.

【详解】（1）原式.

（2）由题意可知.

又，则.

，

即.

19．某同学用“五点法”作函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

(1)求函数的解析式及函数在上的单调递减区间；

(2)若存在成立，求的取值范围.

【答案】(1)；；

(2).

【分析】（1）根据给定的表格，求出，进而求出解析式及单调减区间作答.

（2）求出函数在区间上的最小值，结合给定条件求出范围作答.

【详解】（1）由表格知，，，解得，

所以函数的解析式为；

当时，，由得：，

所以在上的单调减区间为.

（2）因为存在成立，即成立，

由（1）知，，当时，，

因此当时，，则有，

所以的取值范围是.

20．已知函数.

(1)解关于的不等式；

(2)求函数的最小值.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据对数函数的性质和分式不等式的解法即可求解；（2）根据对数加减法计算和换元法，结合二次函数的特点和分析参数范围以及单调性即可求解.

【详解】（1）不等式可化为：,

所以0，

即,

解得或，

所以不等式的解集为.

（2）

当时，

则.

①若，则在单调递减，则的最小值为.

②，

当，即时，在单调递增，则的最小值为.

当，即时，在单调递减，在单调递增，则的最小值为.

综上：当时，;

当时，;

当时，.

21．已知函数为偶函数，其中是自然对数的底数，.

(1)证明：函数在上单调递增；

(2)函数，在区间上的图象与轴有交点，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数的单调性定义证明求解；

（2）根据图象与轴有交点，可得函数有零点，即对应方程有根，利用换元法数形结合求解.

【详解】（1）由于是偶函数，则，代入化简得

故，

当时，

设任意的，则

，

当时，，则

即，故函数在上单调递增.

（2），

令，由（1）知在上单调递增.

所以在上单调递增，则，

因为，所以有解，

则在上有解，

又因为函数在上单调递增，

所以，所以故的取值范围为

22．定义在上的奇函数其中，且，其中是自然对数的底数，.

(1)当时，求函数的解析式；

(2)若存在，满足，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式；

（2）由函数解析式，根据的范围分类讨论：，，，分别得出的关系，把化为的函数，从而得其范围．

【详解】（1）是奇函数

，则.

当时，

又是奇函数，则

当时，

又是奇函数，则

因为是定义在上的奇函数，则.

故,

（2）若，则由，有，且，

从而有

若，则由，有，而

所以等式不成立.

若，则由，有，即，且

从而有

综上：的取值范围为