专题9 圆锥曲线第二定义的应用 微点3 圆锥曲线第二定义的应用综合训练

这是一份专题9 圆锥曲线第二定义的应用 微点3 圆锥曲线第二定义的应用综合训练，共26页。试卷主要包含了抛物线具有以下光学性质，已知F是抛物线C，阿基米德等内容，欢迎下载使用。
专题9 圆锥曲线第二定义的应用 微点3 圆锥曲线第二定义的应用综合训练
专题9 圆锥曲线第二定义的应用
微点3 圆锥曲线第二定义的应用综合训练
（2022九龙坡区校级月考）
1．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（    ）
A． B．8 C．12 D．
2．已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=
A． B． C． D．
（2022·山东济宁·一模）
3．过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若，则线段BC的中点到准线的距离为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且，则线段AB的长为（    ）

A．5 B．6 C． D．
（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模）
5．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线和之间的距离为，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
（2022·四川广安·一模）
6．已知F是抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线交于点M，若，则（    ）
A． B． C． D．3
（2022·山西·怀仁一中一模）
7．如图，已知抛物线，圆，过C点的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则等于（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8
（2022·四川遂宁·模拟预测）
8．已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线的准线交于点，若，则（    ）
A．3 B． C． D．
9．点F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线C于两点（点A在第一象限），过A、B分别作抛物线C的准线的垂线段，垂足分别为M、N，若，则直线的斜率为（    ）

A．1 B． C．2 D．
10．阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P.给出如下结论，其中正确的为（    ）
（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；
（2）点P的坐标是；
（3）的边所在的直线方程为；
（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）.


A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
（2021·山西太原·一模）
11．已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于，两点，点是线段的中点，以为直径的圆与轴相交于，两点，若，则（    ）
A． B． C． D．
（2022濮阳模拟）
12．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（　　）
A． B．8 C． D．4

13．过抛物线(>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于
A．2 B． C． D．
（2022滑县校级模拟）
14．过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为
A． B． C．1 D．
15．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．
16．过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．
17．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于_______．
18．设,分别为椭圆的左,右焦点,A为椭圆C的右顶点,O为坐标原点,点M在椭圆C上,若线段上一个靠近点的三等分点N在y轴上,若的周长为8,则________．
19．过抛物线：的焦点作直线与交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则__________．
（2022·辽宁·模拟预测）
20．已知，为双曲线的左、右焦点，以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，，，则双曲线的标准方程为______．
（2022宁德期中）
21．已知椭圆过焦点的直线与椭圆C交于A，B两点（点A位于轴上方），若，则直线的斜率的值为__________．
22．已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点．若，则________________．
23．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，，，，且，则___________.

24．已知点A（），设点F为椭圆的右焦点，点M为椭圆上一动点，求的最小值，并求此时点M的坐标．
25．若是双曲线的两个焦点．

(1)若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；
(2)能否在双曲线的左支上找到一点，使是到左准线的距离与的等比中项？若能，求出的坐标，若不能，说明理由．
26．已知为抛物线的焦点，点为其上一点，与关于轴对称，直线与抛物线交于异于的两点，，.
（1）求抛物线的标准方程和点的坐标；
（2）判断是否存在这样的直线，使得的面积最小.若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，请说明理由.
（2022·江苏·滨海八滩中学模拟预测）
27．已知抛物线：，焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．

（1）求抛物线的方程；
（2）若，求的最小值．


参考答案：
1．B
【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.
【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为．
故选：B．
2．D
【详解】将y=k(x+2)代入y2=8x,得
k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.
设交点的横坐标分别为xA,xB,
则xA+xB=-4,①
xA·xB=4.
又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,
|FA|=2|FB|,
∴2xB+4=xA+2.
∴xA=2xB+2.②
∴将②代入①得xB=-2,
xA=-4+2=-2.
故xA·xB==4.
解之得k2=.
而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D.

3．B
【分析】由向量的关系可得线段|AB|，|BF|的关系，结合抛物线的定义，可求出直线AB的倾斜角，进而求出直线的斜率，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出B，C横坐标之和，进而求出线段BC的中点到准线的距离．
【详解】由抛物线的方程可得焦点，渐近线的方程为：，
由，可得
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图示：作垂直于准线于，
准线交x轴与N,则 ,

故，故 ,
而x轴，故,
所以直线的倾斜角为 ，
所以直线的方程为，
设，，，，
联立，整理可得：，
可得，
所以的中点的横坐标为3，
则线段的中点到准线的距离为 ，
故选：B．
4．C
【分析】设在准线上的射影分别为，根据点是的中点， ，取得，
设，根据相似求得，再结合焦点弦的性质，即可求解.
【详解】设在准线上的射影分别为，准线与轴交于，则，
由于点是的中点，且，
根据抛物线的定义，可得，所以，
设，则，即，解得，
所以，
即的长为.
故选：C.

【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及其应用，其中解答中熟记抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.
5．B
【分析】写出直线AF、BF的方程，求出，，由，解出p.
【详解】抛物线的焦点.
由,所以直线AF的方程为，即，
联立，得，解得：或，可得：.
同理直线BF的方程为，即，
联立，解得：.
所以，解得：.
故选：B
6．B
【分析】过点作准线的垂线交于点，则，过点作准线的垂线交于点，则，利用三角形相似即可求解．
【详解】解：如图，过点作准线的垂线交于点，由抛物线的定义有，过点作准线的垂线交于点，则，
，，
根据，可得，
．，即，
，

故选：B．
7．A
【分析】设，，由抛物线的焦半径公式求得，，按直线斜率存在和不存在分类讨论，斜率不存在时直接求出，斜率存在时，设出直线方程，代入抛物线方程后应用韦达定理得结论．
【详解】圆，点C与抛物线的焦点重合，设，，所以，，
∴．
①当直线l的斜率不存在时，，∴；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(),
与抛物线方程联立消y，得，
∴．
综上，.
故选：A．
8．A
【分析】设，，，联立抛物线，应用韦达定理及已知条件求、，结合抛物线的定义求、，即可求目标式的值.
【详解】设，，直线.
联立抛物线得：，则.
由直线与抛物线准线交于，则.
由得：，即，则.
∴，，，
故选：A.
9．D
【分析】令，根据抛物线焦点弦的性质可得，
可得，由勾股定理可得，再根据等面积法求出，即可求出抛物线的焦点坐标与点坐标，最后利用斜率公式计算可得；
【详解】解：如图令，易知：．
．

因为




所以抛物线方程为，焦点坐标

，（舍去），所以

故选：D
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，焦点弦的性质的应用，属于中档题.
10．D
【分析】设，，，由导数的几何意义得切线斜率，
利用焦点弦性质得，正确；
写出切线方程，联立求出点坐标，得（2）错误；
用两点坐标表示出，写出直线方程，并化简可得（3）正确；
设为抛物线弦的中点，立即得（4）正确；
【详解】由题意设，，，由，得，则，所以，，若弦过焦点，∴，∴，∴，故（1）正确；
以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，联立消去得，将代入，得，所以，故（2）错误；
设为抛物线弦的中点，的横坐标为，因此则直线平行于轴，即平行于抛物线的对称轴，故（4）正确；设直线的斜率为，故直线的方程为，化简得，故（3）正确，
故选：D.．
【点睛】本题考查直线与抛物线相交，考查导数的几何意义，焦点弦性质，考查学生的推理论证能力，属于中档题．
11．A
【分析】法2由，求得AB的坐标，进而得到的中点M的坐标，写出圆的方程，令，求得P，Q的坐标， 然后利用求解.法2．由法1得的中点的横坐标为，半径，再由求解.
【详解】如图所示：

法1：由抛物线的焦点坐标可得，所以，
所以抛物线的方程为：，
设直线的方程为：，设，，设A在轴上方，
联立，整理可得：，
可得：①，
由，即，
可得，代入①可得：，
所以，
代入抛物线的方程可得：，，
即，，
所以的中点，
所以，即圆的直径为，
所以圆的方程为，
令，可得，
所以，，
所以，
所以，
法2．由法1可得的中点的横坐标为，半径，
所以
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题关键是求得弦AB中点的坐标.
12．C
【分析】将直线方程代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值．
【详解】F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．
由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，
∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
13．C
【分析】设PQ直线方程是则x1，x2是方程的两根，借助韦达定理即可得到的值．
【详解】抛物线转化成标准方程：，
焦点坐标，准线方程为，
设过的直线方程为，
，整理得．
设，，，
由韦达定理可知：，，
，
，
根据抛物线性质可知，，，
，
的值为，


故选：C．
【点睛】涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
14．D
【分析】当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，推导出=；当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），CD：y=﹣（x﹣1）．分别利用弦长公式求出|AB|、|CD|的长度，由此能推导出=为定值．
【详解】由椭圆，得椭圆的右焦点为F（1，0），
当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，
则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，
则=；
当直线AB的斜率存在时，
设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），则 CD：y=﹣（x﹣1）．
又设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立方程组，
消去y并化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，
∴，
∴|AB|===，
由题知，直线CD的斜率为﹣，
同理可得|CD|=．
∴=为定值．
故选D．
【点睛】本题考查定值的证明，考查弦长公式的运用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，难度较大．
15．8
【分析】先确定抛物线中，焦点F(1，0)，再利用定义计算，即得结果.
【详解】抛物线y2＝4x中，，焦点F(1，0)，而直线AB过焦点F(1，0)，
故根据抛物线定义可知.
故答案为：8.
16．##
【分析】设，，利用“设而不求法”求弦长即可.
【详解】∵椭圆方程为，∴焦点分别为，，
∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°，∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y，得．设，，可得，，
∴，因此，．
故答案为:．
17．
【详解】设A（，）B（，）由，，（）；∴由抛物线的定义知

18．
【分析】根据椭圆的定义可求得,再过点M作轴于点P,根据三角形相似的性质可得,进而求得点的坐标,再根据三角形相似的性质可得.
【详解】由题意知椭圆的焦点在x轴上,的周长为8,则,解得,
则．又因为,所以．过点M作轴于点P．
又因为线段的一个靠近点的三等分点N在y轴上,所以,所以,
所以,,将代入中,得,
解得（舍去）,即,所以．

故答案为：
【点睛】本题主要考查了椭圆中根据三角形的性质求解线段长度的问题,需要结合椭圆的基本量关系,结合三角形相似的性质求解.属于中档题.
19．2
【分析】由题意可得所作直线存在斜率，设直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理可得，的值，进而可得中点坐标，求出的中垂线方程，令，可得点横坐标，进而得的值，再由焦点弦公式可得的值，即可得答案.
【详解】解：由题知抛物线的焦点为，且所作直线存在斜率，
可设方程为，即，

设，将直线与抛物线联立，
消去可得，则．
进一步得，得中点坐标，
所以线段的中垂线方程为，
令，得点横坐标，
所以，
利用焦点弦公式可得．
故．
故答案为：．
【点睛】解决与抛物线焦点弦有关问题的关键在于充分利用抛物线的定义，并从几何角度进行观察分析，找到简捷的解题方法．记住常见的过焦点弦长度．对于，过焦点的弦．还有焦点在其他位置的抛物线的焦点弦长度．
20．
【分析】先把用a表示出来，解出a、b、c，写出双曲线的标准方程.
【详解】由双曲线定义得
又，解得：，，
∵为以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点，
∴
∴，
解得：，∴，故双曲线标准方程为：．
故答案为：
【点睛】椭圆、双曲线的焦点三角形，通常把各边用a、b、c表示出来，解三角形.
21．
【解析】由题可得，联立直线与椭圆，利用韦达定理建立关系即可求出.
【详解】由题，点A位于轴上方且，则直线l的斜率存在且不为0，
，设，则可得，
设直线l方程为，
联立直线与椭圆可得，
，，
，解得，
则直线的斜率为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
22．
【分析】由题意设双曲线的方程为，直线为，即，
联立方程，设，由，得，由根与系数的关系求解即可
【详解】因为，
所以，双曲线的方程为，
设过左焦点且斜率为的直线为，即，
与双曲线联立得，
设，则，
因为，
所以，
所以，
消去得，
化简得，即，
因为，
所以，
故答案为：
23．
【分析】分别过点，作准线的垂线，交准线于、两点，，由题意可得，所以，即可求出的值，再利用，平行线分线段成比例即可求解.
【详解】
如图：分别过点，作准线的垂线，交准线于、两点，
设，则，
由双曲线的定义可得：，所以，
在中，，
因为，，
所以，可得，
设准线与轴相交于点，因为，所以即，
可得：，
故答案为：.
24．最小值为10，点M的坐标为
【分析】过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M，则，故的最小值为|AN|的长，从而得出答案.
【详解】如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M．

∵椭圆的离心率，∴由第二定义得，
的最小值为|AN|的长，且，
的最小值为10，此时点M的坐标为．
25．(1)
(2)不能，理由见解析

【分析】（1）根据双曲线的几何性质列方程求解即可；
（2）根据双曲线准线的性质和等比中项的性质，列方程求出 ，再根据三角形两边之和大于第三边判断可以求解.
（1）
是双曲线的两个焦点，则，
点到它的一个焦点的距离等于10，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或（舍去），
即点到另一个焦点的距离为；
（2）
根据题意，
，
解得，
又，从而，矛盾，符合条件的点不存在；
综上， ，符合条件的点不存在.
26．（1）；（2）最小值，此时直线的方程为
【详解】试题分析：（1）由题意知，得出抛物线的方程，由，得出，，根据，得，由此能求出点坐标；（2）由题意知直线的斜率不为，设直线的方程为，联立方程组，设两个交点，由得，由此能求出当时有最小值，此时直线方程为.
试题解析：（1）由题意知，故抛物线方程为

∵
∴
∴
（2）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为
联立方程组
设两个交点，由，整理得，此时，恒成立.故直线的方程可设为从而直线过定点.
又∵
∴的面积
∴当时有最小值，此时直线的方程为.
点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：
①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
②利用基本不等式求出参数的取值范围；
③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
27．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）    根据抛物线的定义知，，
∵，从而可求出，进而可得结果；（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，根据韦达定理，弦长公式将用 表示，换元后利用基本不等式可得结果.
试题解析：（1）根据抛物线的定义知，，
∵，
∴，
∴．
（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，
∵，即，
∴，即，
∴，
∴，，
，
，
∴，
令，，则．
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求解的.