专题11 圆锥曲线第三定义与点差法 微点1 圆锥曲线第三定义的应用

这是一份专题11 圆锥曲线第三定义与点差法 微点1 圆锥曲线第三定义的应用，共28页。学案主要包含了微点综述，针对训练，考点定位，思路点睛，方法点晴， 方法点睛等内容，欢迎下载使用。
微点1 圆锥曲线第三定义及其应用
【微点综述】
以圆锥曲线第三定义及中点弦斜率性质为背景的高考题、模拟题层出不穷，既有较为基础简单的小题，也有难度较大的综合题，更有能力要求极高的压轴题．它们兼具基础考查与能力检测的双重功能，无一例外都是以教材母题为“根”，以能力立意为“魂”，注重交汇性、渗透性、探究性，求新、求变、求活，生动展现了圆锥曲线第三定义内涵、外延的“来龙去脉”，体现出数学公式的结构美与和谐美．
椭圆和双曲线称为有心圆锥曲线（它们有对称中心），本专题给出了有心圆锥曲线的第三定义，并通过对第三定义的进一步研究得出相应的推广，利用第三定义及其推广简单、巧妙地解决了近年高考及模拟题中较为复杂的解析几何问题．
一、圆雉曲线第三定义（仅限于椭圆和双曲线）
平面内动点到两定点（或）的斜率乘积等于常数的点的轨迹为椭圆或双曲线．其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当时为椭圆，当时为双曲线．
由第三定义易得如下结论：
【结论1】为椭圆的长轴两端点，是椭圆上异于的任一点，则有．
证明：设，则，
又，
代入上式可得．
同理可证如下的结论2～4．
二、一次推广
【结论2】为椭圆的短轴两端点，是椭圆上异于的任一点，则有．
【结论3】为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则有．
【结论4】为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则有．
三、二次推广
【第三定义推广·思维引导1】
1．已知AB是圆的直径，点P是圆上一点，当PA，PB斜率存在时．思考：是否为定值？
【第三定义推广·思维引导2】
2．已知是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上一点．当PA，PB斜率存在时，思考：是否为定值？
3．已知是椭圆上关于原点对称的两个点，点在椭圆上．当和斜率存在时，求证：为定值．
4．已知是椭圆上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上．当PA、PB斜率存在时，求证：为定值．
5．已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值．
6．已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点在双曲线上．当、斜率存在时，求证：为定值．
【结论5】在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则有：．
【结论6】在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则有：．
【结论7】在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则有：．
【结论8】在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则有：．
总结可得如下表格：
五、典型例题
7．椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是
A．B．C．D．
8．双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上且直线斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线斜率的取值范围是
A．B．C．D．
9．已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是
A．B．C．D．
10．设椭圆的左,右顶点为是椭圆上不同于的一点,设直线的斜率分别为,则当取得最小值时,椭圆的离心率为
A．B．C．D．
11．已知是椭圆上关于原点对称的两点，若椭圆上存在点，使得直线斜率的绝对值之和为1，则椭圆的离心率的取值范围是______.
12．“过原点的直线交双曲线于，两点，点为双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值”．类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线交椭圆于，两点，点为椭圆上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值（ ）
A．B．C．D．
13．椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________.
（2022·河南郑州·三模）
14．设、分别为椭圆的左、右顶点，设是椭圆下顶点，直线与斜率之积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若一动圆的圆心在椭圆上运动，半径为．过原点作动圆的两条切线，分别交椭圆于、两点，试证明为定值．
【针对训练】
一、单选题：
（2022江苏苏州市·高三期末）
15．已知双曲线：（，）的上、下顶点分别为，，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
16．已知,是椭圆长轴的两个顶点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，且，若的最小值为1,则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
17．已知分别为椭圆（）的左、右顶点，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线的斜率分别为，若点到直线的距离为1，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
18．设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A．B．
C．D．
（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）
19．设为常数，动点分别与两定点，的连线的斜率之积为定值，若点的轨迹是离心率为的双曲线，则的值为（ ）
A．2B．-2C．3D．
20．已知A，B是双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（ ）
A．k1＋k2B．|k1－k2|
C．k1k2D．
21．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（ ）
A．存在点，使得B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值D．的范围为
22．设P为椭圆C：（）上的动点，，分别为椭圆C的左、右焦点，为的内心，则直线与直线的斜率积（ ）
A．非定值，但存在最大值且为B．是定值且为
C．非定值，且不存在定值D．是定值且为
二、填空题：
23．过抛物线上一点P(4，4)作两条直线PA，PB（点A,B在抛物线上），且它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过定点____.
（2022安徽·高三阶段练习）
24．已知直线与双曲线相交于M、N两点，双曲线C的左、右顶点分别为A、B，若直线AM与BN相交于点P，则下列说法正确的有______（填写正确命题的序号）
①实数的取值范围为或；②直线AM与直线BN的斜率之积为定值；③点P在椭圆上；④三角形PAB的面积最大值为ab.
三、解答题：
25．椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连，并延长交椭圆于，若，求椭圆的离心率．
26．已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.
(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.
有心圆锥曲线第三定义
有心圆锥曲线第三定义的推广（圆周角定理的推广）
椭
圆
平面内动点到两定点（或）的斜率乘积等于常数的点的轨迹为椭圆或双曲线．其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当时为椭圆，当时为双曲线．
为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．
为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．
双曲线
为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．
为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．
参考答案：
1．是定值
【分析】根据直径所对的圆周角为直角，即可得出答案.
【详解】解：∵AB是直径，∴，∴，
所以为定值.
2．是定值
【分析】设，，取AP中点G，得到作差化简即得解.
【详解】解：设，，取AP中点G，则．
点A和点P在椭圆上，则有
作差得，∴，
即，点O和G分别是AB和AP的中点，∴，
∴．
所以是定值.
3．证明见解析
【分析】设，，则，利用直线的斜率公式以及点在椭圆上，化简可得定值．
【详解】设，，则，，，
点A和点P在椭圆上，则有，
作差得，
，
．
4．证明见解析
【分析】设，，则，求出，，点A和点P在椭圆上利用点差法可得答案.
【详解】设，，则，
且，不同为0，
，，
点A和点P在椭圆上，则有
作差得，
∴，即．
故为定值.
5．证明见解析
【分析】设，，得到，两式作差，结合斜率公式，即可求解.
【详解】设，，则，可得，，
点和点P在双曲线上，则有，
两式作差得，
可得，即．
6．证明见解析
【分析】设，，则，利用直线的斜率公式以及点在双曲线上，化简可得定值．
【详解】设，，则，，，
点A和点P在椭圆上，则有，
作差得，
，即．
7．B
【详解】设P点坐标为，则，，，
于是，故.
∵ ∴.故选B.
【考点定位】直线与椭圆的位置关系
8．C
【详解】试题分析：根据双曲线的方程可知，的坐标分别为，，设点的坐标为，则，，且因为点在双曲线上，所以，不难发现，再结合，解得，故选C．
考点：双曲线的简单性质．
【思路点睛】本题中我们可以看到给出的两条直线具有相关性，即具有公共点，且它们各自所经过的定点，是关于原点对称的，此时不难想到两条直线的斜率之间必然会有某种关系．那么解题的关键是找出两条直线斜率之间的等式关系，再根据已知直线的斜率的取值范围，求解未知直线的斜率．
9．A
【分析】由题意，关于原点对称，设，，
，故选A.
【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质与离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用，斜率之积的范围为，得到 ，进而构造出关于的不等式，最后解出的范围.
10．D
【分析】设，利用斜率公式求得，结合在椭圆上，化简可得，令，则，利用导数求得使取最小值的，可得时，取得最小值，根据离心率定义可得结果.
【详解】由椭圆方程可得，
设，则,
则，
，
，
令，则，
，
在上递减，在上递增，
可知当时，函数取得最小值，
，
，故选D.
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式的应用，以及椭圆的离心率，利用导数求函数的最值，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
11．
【详解】分析：由是椭圆上关于原点对称的两点，易知斜率之积为定值，结合均值不等式即可建立关于的不等式，从而得到椭圆的离心率的取值范围.
详解：不妨设椭圆C的方程为,,则，
所以，,两式相减得，所以，所以直线斜率的绝对值之和为，由题意得，，所以=4，即，所以，所以.
故答案为
点睛：：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
12．B
【解析】利用椭圆与双曲线方程形式上的类似，结合椭圆方程化简即可得到的值.
【详解】“过原点的直线交双曲线于，两点，点为双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值”，
类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线[交椭圆：于，两点，若直线，的斜率均存在，则，
证明如下：
设，则，且，
设，
则，
所以
又，，
代入可得：
故选：B
【点睛】类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一 致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).
13．
【详解】当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx+m，
由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
又A（﹣2，0），由题知kAB•kAC==﹣，
则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，
则x1•x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）
=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4
=+（2+4km）+4m2+4=0
则m2﹣km﹣2k2=0，
∴（m﹣2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=﹣k.
当m=2k时，直线BC的方程为y=kx+2k=k（x+2）.
此时直线BC过定点（﹣2，0），显然不适合题意.
当m=﹣k时，直线BC的方程为y=kx﹣k=k（x﹣1），此时直线BC过定点（1，0）.
当直线BC的斜率不存在时，若直线BC过定点（1，0），B､C点的坐标分别为（1，），（1，﹣），满足kAB•kAC=﹣.
综上，直线BC过定点（1，0）.
故答案为（1，0）.
点睛：定点､定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么､“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点､定值问题同证明问题类似，在求定点､定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点､定值显现.
14．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得出，根据已知条件求出的值，即可得出椭圆的方程；
（2）由题意可知，两条切线中至少有一条切线的斜率存在，设直线的斜率存在，对切线的斜率是否为零进行分类讨论，在切线的斜率为零时，直接求出；在直线的斜率不为零时，分析可知两切线的斜率为关于的方程的两根，利用韦达定理结合弦长公式可求得，即可证得结论成立.
（1）
解：由题意可知，，，，由，即，
又，所以，椭圆的方程为.
（2）
解：设点坐标为，即．
当直线的斜率为，此时，，则直线的斜率不存在，
此时；
当直线的斜率存在且斜率不为时，设直线的方程为，直线的方程为，
设点、，联立，可得，
则，，
又圆与直线、相切，即，
整理可得，
则、为关于的方程的两根，
所以，，
所以，
.
综上：为定值．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
15．B
【解析】设点由直线，的斜率乘积为得到，则渐近线可求.
【详解】设点，又，，则 ，
所以，又因为点在双曲线上得，
所以，故，所以
则双曲线的渐近线方程为.
故选：B
16．C
【详解】设 ,则：
故：
,
当且仅当 ，即 时等号成立，
据此： ，
则： ，
离心率： .
17．B
【详解】设，则，，，又，点到的距离为，解得，故选B.
【 方法点睛】本题主要考查双曲线的方程以及几何性质、离心率的求法，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
18．C
【分析】设动点，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解.
【详解】解：设动点，则，
则，，，
直线与直线的斜率之积为定值，
，化简可得，，
故点的轨迹方程为.
故选：C.
19．A
【解析】根据题意可分别表示出动点P与两定点的连线的斜率，根据其之积为定值，求得x和y的关系式，对的范围进行分类讨论，当时，方程的轨迹为双曲线，根据圆锥曲线的标准方程可推断出离心率，从而求得λ的值．
【详解】依题意可知，整理得，
当时，方程的轨迹为双曲线，
即，
，，
，
.
故选：A
【点睛】本题主要考查双曲线的应用，考查计算能力，属于基础题.
20．C
【分析】设A(－a，0)，B(a，0)，P(m，n)(m＞0，n＞0)，计算可得k1＝，结合依次分析即得解
【详解】由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，
设P(m，n)(m＞0，n＞0)，
可得即
又k1＝，
所以k1k2＝，
所以k1k2为定值
，不为定值；
，不为定值；
，不为定值
故选：C
21．A
【分析】根据的值判断A选项；通过计算直线与直线斜率乘积判断B选项；结合椭圆的定义以及基本不等式判断C选项；结合椭圆的定义来判断D选项.
【详解】对于A，依题意，
，A选项错误.
对于B，设，则，
，为定值，B选项正确.
对于C，，
，
当且仅当时等号成立.C选项正确.
对于D，Q在椭圆外，设直线、与椭圆相交于如图所示，
则，
，，
，即，
所以
所以.D选项正确.
故选：A
22．D
【分析】根据三角形内角平分线的性质，结合斜率的公式、比例的性质、椭圆的定义进行求解即可.
【详解】如图所示，连接并延长交轴于，
由三角形内角平分线定理可知：，所以，
因此可得：.设，因此有：
，可得：，由可得：，
的坐标为：，，
，
由椭圆的定义可知：，
再由三角形内角平分线定理可知：，
由，
因此有：.
故选：D
【点睛】本题考查了椭圆的定义应用，考查了三角形内角平分线定理的应用，考查了斜率公式的应用，考查了比例的性质，考查了数学运算能力.
23．
【分析】设出点A和点B坐标，表示出直线PA，PB的斜率，利用斜率之积等于4，得到坐标之间的关系，然后表示出直线AB，找到直线AB恒过的定点.
【详解】设A，B，则kPA=，
同理，kPB=，kAB=.
因为kPA·kPB=4，所以·=4，
所以y1y2+4(y1+y2)+12=0.
所以y1y2=-12-4(y1+y2).
直线AB的方程为y-y1=，
即(y1+y2)y-y1y2=4x.
将y1y2=-12 -4(y1+y2)代入上式得:
(y1+y2)(y+4)=4(x-3)，所以直线AB恒过定点(3,-4).
故答案为：(3,-4).
24．①②
【分析】由直线与双曲线交于两点即可判断①正确；根据，得可判断②正确；由②得，进而得时，P在椭圆上，当，则点P在圆上，可判断③；当点P在椭圆的上下顶点时，直线PA与双曲线的渐近线平行
【详解】解：①由直线与双曲线交于两点，则：或，故①正确；
②由点M在双曲线C上，故设，则，即，
因为，则
又因为，所以，故②正确；
③，因为 ，，
所以，即
设，则，整理得
故当时故点P在椭圆上；
若，则点P在圆上，故③错误；
④由点P在椭圆的上下顶点时，则：，故此时直线PA与双曲线的渐近线平行，
与直线PA与双曲线有两个焦点矛盾，
故AM与BN的交点不可能位于椭圆的上下顶点，故④不成立.
故答案为：①②
25．
【分析】设，得到，结合，得到，又由，两式相减得，求得，进而求得椭圆的离心率．
【详解】设，则，且，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，
两式相减得，即，
所以，所以．
26．(I) (II) 不可能是菱形
【详解】解：(1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．
因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．
所以可设A(1，m)，
代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝±.
所以菱形OABC的面积是
|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)四边形OABC不可能为菱形．理由如下：
假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，
所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由
消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，
所以直线OB的斜率为－.
因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．