专题11 圆锥曲线第三定义与点差法 微点3 圆锥曲线第三定义与点差法综合训练

这是一份专题11 圆锥曲线第三定义与点差法 微点3 圆锥曲线第三定义与点差法综合训练，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
微点3 圆锥曲线第三定义与点差法综合训练
一、单选题：
1．椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为（ ）
A．B．3C．D．
4．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为
A．8B．4C．2D．1
6．已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知A，B，P是双曲线上不同的三点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且是关于x的方程的两个实数根，若，则双曲线C的离心率是
A．2B．C．D．
8．双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题
（2022·辽宁·高三期中）
9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A．
B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值
C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个
D．△PF1F2的面积为
三、填空题：
10．已知A、B、P为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线PA、PB的斜率记为，则的最小值为_____
11．已知是椭圆和双曲线的公共顶点，其中，是双曲线上的动点，是椭圆上的动点（都异于），且满足（），设直线的斜率分别为，若，则_______.
12．已知，是椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、，则_________．
13．已知、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于原点对称，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率___________．
四、解答题
14．已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
15．椭圆，过点的直线和相互垂直（斜率存在），分别是和的中点．求证：直线过定点．
16．已知双曲线，过点B(1，1)能否作直线m，使m与已知双曲线交于Q1，Q2两点，且B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
（2022·辽宁实验中学模拟预测）
17．已知点，动点与点，连线的斜率之积为，过点的直线交点的轨迹于，两点，设直线和直线的斜率分别为和，记
(1)求点的轨迹方程
(2)是否为定值?若是，请求出该值，若不是，请说明理由．
18．已知椭圆的左焦点为，不过坐标原点O且不平行于坐标轴的直线l与椭圆C有两个交点A，B，线段的中点为Q，直线的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点F的直线m交椭圆C于点M，N，且满足，求直线m的方程.
（2022·安徽蚌埠·三模）
19．如图，椭圆：内切于矩形，其中，与轴平行，直线，的斜率之积为，椭圆的焦距为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上的点，满足直线，的斜率之积为，其中为坐标原点.若为线段的中点，则是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.
20．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为
(1)若直线平分线段，求的值；
(2)当时，求点到直线的距离；
(3)对任意，求证：．
21．已知椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知两点，及椭圆，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，设线段的中点为，连接，试问当为何值时，直线过椭圆的顶点？
（Ⅲ） 过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于，求证：．
参考答案：
1．A
【分析】设，求得，得到，结合，即可求得直线斜率的取值范围.
【详解】由题意，椭圆：的左、右顶点分别为，
设，则，
又由，可得，
因为，即，可得，
所以直线斜率的取值范围.
故选：A.
2．A
【分析】由椭圆可知其左右顶点，设出P点坐标代入椭圆方程，利用斜率公式可得，再利用已知求出直线斜率的取值范围是，，即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
由椭圆可知其左顶点，右顶点．
设，，则得．
记直线的斜率为，直线的斜率为，则
直线斜率的取值范围是，，
直线斜率的取值范围是，
故选：A
3．B
【分析】求出的坐标，进而求出直线的方程，联立椭圆方程后，求出点坐标，代入斜率公式，可得答案.
【详解】椭圆的左、右顶点分别为、，
点坐标为，点坐标为，
又直线的斜率为，
直线的方程为：，
代入椭圆方程可得：，
设点坐标为，则，解得，，
故直线斜率，
故选:B．
4．A
【分析】由三角恒等变换化简可得，设出的坐标，在两个三角形中表示出和，再由点在椭圆上化简可得的关系，进而求出离心率．
【详解】因为可得，即，
而在三角形中，，所以上式可得
而，
所以可得，即，
由题意可得，，设，，
可得，由椭圆的对称性设在第一象限，如图所示：
在中，，
在中，，
所以，
所以可得，
所以离心率
故选：．
5．B
【详解】由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以 ,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为4.选B.
点睛:本题主要考查了双曲线的有关计算,涉及到的知识点有平面向量中线定理,直线斜率的计算公式,基本不等式等,属于中档题. 首先得出原点为线段AB的中点,再求出直线PA,PB斜率的表达式, 算出为定值,再由基本不等式求出最小值.
6．D
【分析】设出点，点的坐标，求出斜率，将点，的坐标代入方程，两式相减，再结合，即可求得离心率．
【详解】设，，
因为点A，连线经过坐标原点，根据双曲线的对称性，则，
所以．
因为点A，在双曲线上，所以，
两式相减，得，
所以，所以．
故选：D.
7．B
【解析】设P，A点坐标，确定B点坐标，利用韦达定理有，利用斜率公式及P,A在双曲线上建立方程组，即可得出结果.
【详解】设点的坐标为，点的坐标为，因为，所以点的坐标为，
因为，所以，即，又，在双曲线:上，所以，，两式相减得，即，又因为，所以，所以，所以，，选B．
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列方程消元得到a,b,c的关系式是关键，考查运算求解能力，属于中档题.
8．B
【解析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.
【详解】设代入双曲线方程作差有:
，
有，
所以，
故选：B．
【点睛】本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.
9．BC
【分析】对于A：利用双曲线定义分析判断；对于B：设，利用斜率公式计算得，再根据点在双曲线上得，整理代入运算；对于C：因为，结合题意只能或，再结合图象及性质分析判断；对于D：根据定义结合余弦定理整理得，再结合面积公式整理判断．
【详解】根据双曲线的定义可得：，A错误；
设，则，即
∵，则
∴，B正确；
不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知
若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一
若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一
根据双曲线的对称性可知使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；
不妨P在第一象限，则
∴
则
D不正确；
故选：BC．
10．
【分析】可得A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），则mn4，再利用不等式求解．
【详解】∵满足（O为坐标原点），∴A，B关于原点对称，
设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），则，，
直线PA，PB的斜率记为m，n，满足mn4，
则，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
11．
【详解】如图所示，
∵满足，其中（），
∴，∴，，三点共线．
设，，，则，，
∴，，∵，
∴，
∴，故答案为.
点睛：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、向量的平行四边形法则、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题；由满足，利用向量的平行四边形法则可得：，，三点共线，设，，分别利用点在双曲线与椭圆上结合斜率计算公式，再利用整体代换思想可求得 结果.
12．0
【分析】依题意可得，即点，，三点共线，设，，即可得到与，从而得解.
【详解】解：依题意、为椭圆和双曲线的公共顶点，
、分别为双曲线和椭圆上不同于、的动点，
由，，
即，
可得，则点，，三点共线．
设，，
则，
同理可得，
，，，
，
．
故答案为：．
13．
【详解】根据题意，设，，则，
∴．
∵，，
∴两式相减可得．
∵，∴，
故．
14．
【分析】设弦的两个端点分别为，利用点差法可得，联立直线和椭圆，
即可得的范围
【详解】设弦的两个端点分别为，的中点为.
则，（1），（2）
得：，
.
又，.
由于弦中点轨迹在已知椭圆内，
联立
故斜率为的平行弦中点的轨迹方程：
15．证明见解析
【分析】根据已知条件及中点坐标公式，利用点差法得出斜率的关系及直线方程联立，
分类讨论，结合直线的点斜式和斜截式方程即可求解.
【详解】由题意可知，设AB直线为，，,则
因为分别是的中点，所以，
因为在椭圆上，
所以，由，得，即
，于是有，
所以，
，解得，∴．
（1）当时，点即是点，此时，直线MN为轴．
（2）当时，将上式点坐标中的换成，同理可得．
①当直线MN不垂直于轴时，直线MN的斜率，
其方程，化简得，
∴直线MN过定点．
②当直线MN垂直于轴时，，此时，，直线MN也过定点．
综上所述，直线MN过定点．
16．不存在，理由见解析
【分析】利用点差法求出直线的斜率，从而可求出直线方程，然后检验将直线方程代入双曲线方程中，消去，求出判别式是否大于零，若大于零，存在，若小于等于零，不存在
【详解】设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，
代入双曲线方程得
两式相减得，(x1＋x2)(x1－x2)＝ (y1＋y2)(y1－y2).
∵B(1，1)为Q1Q2的中点，∴.
∴直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
联立，消去y得2x2－4x＋3＝0.
∵，
∴所求直线不存在.
17．(1)
(2)是，
【分析】（1）点，由，化简即得所求，要注意去掉不符合题意的点（2）由题意，直线斜率不为0，设，，联立直线与曲线方程，消元之后利用韦达定理可得以及，而，将代入即可求解
(1)
设点，由题意
整理得
(2)
由题意，直线斜率不为0
设，设
由 得
则
所以


所以为定值
18．(1)
(2)或
【分析】（1）设，，代入椭圆的方程，利用点差法求得，进而求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）当直线m的斜率存在时，设直线，联立方程组求得，利用弦长公式，结合点到直线的距离公式，结合三角形面积列出方程，求得的值，得出直线方程，当直线的斜率不存在时，得到直线为，即可求解.
（1）
解：由题意，椭圆C的左焦点为，所以，
设，，由题意可得，，
则，即.
因为，所以，即，所以，
所以椭圆C的方程为.
（2）
解：当直线m的斜率存在时，设直线，点，，
联立方程组，整理得，
可得，，
所以，
点O到直线m的距离为，
因为，即，
所以，即，
又因为，
所以，即，
所以直线m为：.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时满足题目条件，
综上可得，直线的方程为：或.
19．(1)
(2)是定值，定值为
【分析】（1）由题意求出直线，的斜率，即可求出，又因为焦距为2，即可就出椭圆的标准方程.
（2）方法一：联立直线与椭圆的方程由可求出，又因为：，又点，在椭圆上，代入即可求出答案.
方法二：由，是椭圆上的点，可得，
联立直线与椭圆的方程由可求出，代入化简得，即可求出答案.
(1)
由题意，，则，所以，，所以，
解得：，，∴椭圆的标准方程为.
(2)
（方法一）设，，则.
设直线：，由，得：，
，
由，得，
代入化简得：.
∵
，
又点，在椭圆上，∴，，即，
∵，
∴.∴.
即为定值.
（方法二）由，是椭圆上的点，可得，
把代入上式，化简，
得，，
.
20．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由于直线平分线段，故直线过线段的中点，求出的中点，又直线过原点，即可求出斜率.
（2）将直线的方程代入椭圆方程得可求出的坐标，进一步求出直线的方程，采用点到直线的距离即可求出点到直线的距离.
（3）设直线，的斜率分别为，．因为在直线上，所以，从而，即可求出，即可证明.
（1）
由题设知，，，
故，，所以线段中点坐标为．
由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，
所以．
（2）
直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，
因此，，，
于是，，直线的斜率为1，故直线的方程为．
因此，．
（3）
设，，，，则，，，
，，，，
，，，．
设直线，的斜率分别为，．
因为在直线上，所以，
从而
．
因此，所以．
21．（Ⅰ）； (Ⅱ) 或或；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）连接，根据三角形中位线性质和垂直关系可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；
（Ⅱ）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，同时根据得到的范围；利用中点坐标公式可整理得到直线方程；分别将椭圆顶点代入直线方程中构造方程求即可得到满足题意的的值；
（Ⅲ）方法一：设，则，，可得直线方程和过且垂直于的直线方程，通过两条直线方程可整理得到两直线交点在椭圆上，即点，由此可得结论；
方法二：设，则，，得到直线方程，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，进而得到点坐标，利用可证得结论.
【详解】（Ⅰ）由题意知：椭圆的右焦点，连接，
分别为中点，，；
，
，，又，
，即，又，
，，椭圆的方程为：.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：椭圆；
设直线代入得：；
则，解得：；
设，，，，
则，，
①当时，，则直线过椭圆的两个顶点；
②当时，则，直线的方程为：，
不满足直线方程，则直线不过；
若直线过椭圆的右顶点，则，即，
，解得：或（不满足，舍去）；
若直线过椭圆的左顶点，则，即，
，解得：或（不满足，舍去）；
综上所述：当或或时，直线过椭圆的顶点.
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）得：椭圆，
设，则，，则直线…①，
过点且与垂直的直线方程为…②，
①②并整理得：，又在椭圆上，，
，即①，②两直线的交点在椭圆上，即为点，．
方法二：由（Ⅰ）得：椭圆，
设，则，，，，
直线，由得：；
，
，，则．
，则，．
【点睛】思路点睛：本题考查圆锥曲线中的直线与椭圆的综合应用问题；本题证明两条直线垂直的基本思路有两个：1.利用两点连线斜率公式得到两直线的斜率，通过斜率乘积为得到垂直关系；2.利用两直线方程确定两直线交点坐标所满足的轨迹方程，从而通过交点的位置确定垂直关系成立.