专题14 圆锥曲线切线方程 微点3 圆锥曲线切线方程综合训练

这是一份专题14 圆锥曲线切线方程 微点3 圆锥曲线切线方程综合训练，共40页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题14 圆锥曲线切线方程 微点3 圆锥曲线切线方程综合训练
专题14圆锥曲线切线方程
微点3圆锥曲线切线方程综合训练
一、单选题
1．已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
（2022·全国·高三专题练习）
2．已知点､，若过､两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（    ）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
（2022·江苏·高二专题练习）
3．设P是双曲线C：在第一象限内的动点，O为坐标原点，双曲线C在P点处的切线的斜率为m，直线OP的斜率为n，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为（   ）
A． B．2 C． D．
（2022·安徽·高二期末）
4．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点为抛物线上一动点，当取得最大值时，直线的倾斜角为（    ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
（2022·广西·浦北中学高二期中）
5．在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为__________.
（2022·广东揭阳·高三期末）
6．如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则__________.

（2022·四川资阳·高二期末）
7．过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为___________.
（2022·四川省资阳中学高二期末）
8．已知抛物线，点是的准线上一个动点，过点作的两条切线，切点分别为.则直线必然经过定点，该定点坐标为___________.
（2022·四川省成都市新都一中高二期末）
9．已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为和，若和交于点P，则的最小值为______．
（2022·河南·封丘一中高二期末）
10．过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为______．
（2022·青海·模拟预测）
11．如图，平面直角坐标系中，，，圆Q过坐标原点O且与圆L外切．若抛物线与圆L，圆Q均恰有一个公共点，则p＝______．

三、双空题
（2022·江苏苏州·高三阶段练习）
12．极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆，与点对应的极线方程为，我们还知道如果点在圆上，极线方程即为切线方程；如果点在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆，与点对应的极线方程为.如上图，已知椭圆C：，，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______；直线AB与OP交于点M，则的最小值是______.


四、解答题
（2022·全国·高三专题练习）
13．已知点是椭圆上一点是椭圆的两焦点，且满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
（2022·江苏盐城·高二期末）
14．平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．
（2022·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）
15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且，若三角形的周长为8，面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C外切于矩形，求矩形面积的最大值.
（2022·上海交大附中高三期中）
16．设椭圆：的左、右焦点分别为，．直线若与椭圆只有一个公共点，则称直线为椭圆的切线，为切点．
(1)若直线：与椭圆相切，求椭圆的焦距；
(2)求证：椭圆上切点为的切线方程为；
(3)记到直线的距离为，到直线的距离为，判断“”是“直线与椭圆相切”的什么条件？请给出你的结论和理由．
（2022·全国·高二期末）
17．已知椭圆的中心为，一个法向量为的直线与只有一个公共点．
(1)若且点在第二象限，求点的坐标；
(2)若经过的直线与垂直，求证：点到直线的距离．
（2022·陕西·交大附中模拟预测）
18．设、分别为椭圆的左、右顶点，设是椭圆下顶点，直线与斜率之积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若一动圆的圆心在椭圆上运动，半径为．过原点作动圆的两条切线，分别交椭圆于、两点，试证明为定值．
（2022·全国·高二专题练习）
19．设P为椭圆上的一个动点，过点P作椭圆的切线与圆O：相交于M、N两点，圆O在M、N两点处的切线相交于点Q.

(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若P是第一象限内的点，求OPQ面积的最大值.
（2022·陕西汉中·高二期中）
20．已知椭圆的离心率为，椭圆，椭圆的切线交椭圆于M、N两点，切点为Q.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：点Q是线段的中点.
（2022·全国·模拟预测）
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点P是直线上的动点，过点P做椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，问直线MN是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
（2022·全国·高二课时练习）
22．已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点．
（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）
23．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．
（2022·青海·海东市教育研究室一模）
24．如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.

(1)证明：直线的方程为.
(2)设为双曲线的左焦点，证明：.
（2022·贵州遵义·高二期末）
25．抛物线焦点为，过斜率为的直线交抛物线于，两点，且
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过直线上一点作抛物线两条切线，切点为，猜想直线与直线位置关系，并证明猜想.
（2022·贵州遵义·高二期末）
26．抛物线焦点为F，过F斜率为的直线l交抛物线于C，D两点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过直线上一点P作抛物线两条切线，切点为A，B．猜想直线AB与直线PF位置关系，并证明猜想．
（2022·上海交大附中高二期末）
27．如图，已知为二次函数的图像上异于顶点的两个点，曲线在点处的切线相交于点.

(1)利用抛物线的定义证明：曲线上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证：成等差数列，成等比数列；
(3)设抛物线焦点为，过作垂直准线，垂足为，求证：.
（2022·江西上饶·高二期末）
28．已知抛物线上的任意一点到的距离比到x轴的距离大1．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求重心G的轨迹方程．
（2022·全国·模拟预测）
29．已知椭圆的短轴长为，是上一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，是轴上不同的两点，直线，分别交椭圆于另一点，，若，证明：椭圆在点处的切线与的外接圆相切．
（2022·天津·一模）
30．已知椭圆，其离心率为，右焦点为，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为.
(1)求椭圆的标准方程：
(2)直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限，此直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点且，求直线的斜率.

参考答案：
1．B
【解析】根据题中所给的结论，求出过的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂直的直线之间斜率的关系求出过点且与直线垂直的直线的斜率，最后求出直线方程.
【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故选：B
【点睛】本题考查了求过点与已知直线垂直的直线方程，考查了数学阅读能力，属于基础题.
2．A
【分析】由抛物线的定义可转化等于A,B到准线距离的和，再由圆与准线相切及O是AB的中点，可得，再结合椭圆的定义即可得解.
【详解】由题设知，抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，等于
的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为，
所以，
所以抛物线焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆.
故选：A
3．D
【分析】设，则，，则，令，则，利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出.
【详解】设，则双曲线C在P点处的切线方程为：
，则，
，
，


，
令，则，
，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
得时，取最小值，
，即时，取最小值，
.
故选：D.
4．D
【分析】过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，分析可得，当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，设出直线的方程，将抛物线的方程，由可求得直线的斜率，即可求得直线的倾斜角.
【详解】抛物线的准线为，焦点为，易知点，

过点作，垂足点为，由抛物线的定义可得，
易知轴，则，所以，，
当取得最大值时，取最小值，此时最大，则直线与抛物线相切，
由图可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立可得，则，解得，
因此，直线的倾斜角为或.
故选：D.
5．
【分析】设椭圆切线，联立椭圆方程求出切线方程，利用平行线的距离判断椭圆上点到已知直线距离的最值.
【详解】令与椭圆相切，消去x整理得：，
所以，可得，显然与椭圆无交点，
当，切线为，与距离为；
当，切线为，与距离为；
所以点P到直线的距离d的最小值为.
故答案为：
6．1
【分析】根据切线方程及渐近线方程计算出关于点的表达式，再利用向量的数量积的坐标运算求解.
【详解】如下图所示，设双曲线渐近线上的点，点，
当时，过点的切线方程为，
当时，设过点的切线方程为，即，
代入双曲线方程化简为，
则且，
因为，所以，所以，
在点处的切线方程为，当也符合；
且点A，B又在切线l上
，



故答案为：1

7．
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再利用直线方程的相关知识即可求出.
【详解】抛物线可写成：且
设，则两条切线的斜率分别为
两条切线的方程为：


又两条切线过点，所以


所以直线AB的方程为：
又，所以直线AB的方程为：.
故答案为：.
8．
【详解】设，，，，，运用导数的几何意义，求得抛物线在，处的切线的方程，再由两点确定一条直线，可得的方程，进而得到恒过定点.
设，，，，，
由，即，可得，
所以抛物线在处的切线的方程为，
即，因为，可得，
因为在切线上，可得，①，
同理可得，②
综合①②可得，的坐标满足，
即直线恒过抛物线的焦点，
故答案为：
9．4
【分析】设直线：，利用韦达定理求得，设，利用判别式求得直线的方程，进而得到的坐标，从而可得，再利用基本不等式即得.
【详解】由题可知，设直线：，
直线:与联立消，得，
设，，则，，
∴，
设，
由，可得，
∴，又，
∴，
∴，即，
同理可得，
所以可得，即，
∴，
∴，当且仅当，即取等号.
故答案为：4.
10．3
【分析】设切线方程为，再联立直线于抛物线的方程，令判别式为0求解即可
【详解】设切线方程为，与抛物线方程联立可得，由，解得或代入得．
故答案为：3
11．##0.5
【分析】由两圆关系确定圆L的方程，根据抛物线与圆L恰有一个公共点且，利用导数几何意义写出该点处曲线的公切线方程，结合直线与公切线垂直关系、与公切线的距离列方程组求m值，进而可求p.
【详解】由题设，圆Q为，显然与有一个公共点，
而，由圆Q与圆L外切，则圆L的半径为，
所以圆L为，
要使与圆L恰有一个公共点且，
抛物线可得：，故过的公切线方程为，
所以，而，则，
由，即①，
又L到切线的距离为②，
联立①②并整理得：，
易知：，则.
故答案为：
12．     （或）；     .
【分析】（1）根据已知直接写出直线AB的方程；
（2）求出，再求出,利用基本不等式求解.
【详解】解：（1）由题得AB：，即，
（2），，∴的方向向量，
所以
，
即.
故答案为：；.
13．(1)椭圆的标准方程为
(2)直线方程为

【分析】（1）根据椭圆的定义得出基本量的值，得出椭圆方程；（2）椭圆是封闭图形，利用相切只有一个交点，将直线方程与椭圆方程联立有一个实数解可解得.
（1）
∵椭圆上的点A满足．
∴，解得，
∴椭圆的方程为，
把代入得．，
解得，
∴椭圆方程的标准方程为．
（2）
解法1：过A与x轴垂直的直线与椭圆不相切，因此切线的斜率存在．
设过的直线方程，由，消去y得关于x的方程：
．
令，解得，故所求的切线方程为： ．
解法2：改写直线的方程为一般式，，
相切时： ，得到，
化简得，
故所求的切线方程为： ．
14．(1)
(2)存在；

【分析】（1）根据椭圆的几何性质可知：，，即可求解；
（2）联立切线方程与椭圆方程，得根与系数的关系，根据切线垂直可得斜率相乘等于，进而得点Q在圆上，又点Q在，联立即可求解.
（1）
设点，则，
当时，OP取得最小值为，                             ．
，
则当时，FP取得最大值﹐
解得，则椭圆方程为．
（2）
设点当或时，易得过点Q作椭圆的两条切线并不垂直，
故可设过点Q的椭圆的切线方程为，
联立方程组，消元可得
由可得，
又直线过点，则﹐于是
化简可得，
由两条切线互相垂直可知，该方程的两根之积               
则，即点Q在圆上，                          
由解得，故存在点满足题意，
15．(1)
(2)12

【分析】（1）三角形的周长为8，得到，再由，可得答案；
（2）分矩形中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行、矩形的边都不与坐标轴平行，这时设直线的方程为；，则的方程为：，的方程为：，的方程为：，与椭圆方程联立，分别求得矩形的边长，求解.
（1）
由得三点共线，
因为三角形的周长为8，
所以，则，
当点为椭圆上或下顶点时面积的最大，
即，
由，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）
当矩形中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行，
矩形的两条边长分别为矩形，
此时，
当矩形的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线的方程为；，则的方程为：.
的方程为：，的方程为：.
由，得，
令得，同理得，
矩形的边长分别为，，
∴，
，
当且仅当时取等号，所以矩形面积的最大值是12.
综上所述，矩形面积的最大值是12.
16．(1)
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，消元，根据题意可得，求得即可得解；
（2）和两种情况讨论，当时，联立，证明即可；
（3）先说明必要性，根据（2）分别求出，再证明即可；再说明充分性，分和两种情况讨论，结合充分条件和必要条件的定义即可得出结论.
（1）
解：联立，消整理得，
因为直线：与椭圆相切，
所以，解得，
所以椭圆的焦距；
（2）
证明：当时，，
直线与椭圆相切；
当时，
联立，消得，
又，则，
所以，
所以，
及直线与椭圆只有一个公共点，直线与椭圆相切，
综上所述椭圆上切点为的切线方程为；
（3）
解：由（2）知，切线：，
，
则，
故，
反之，当时，存在过原点得直线，
使得，显然此时直线与椭圆不相切，
当时，
因为，
可设直线：，
此时，
则，
将直线代入椭圆方程得，
则，
所以直线与椭圆相切，
综上所述，当时，“”是“直线与椭圆相切”的充要条件；
当时，“”是“直线与椭圆相切”的必要不充分条件.
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，主要是椭圆的切线，还考查了充分条件和必要条件，综合性比较强，考查了逻辑推理能力和数据分析能力及分类讨论思想，有一定的难度.
17．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，由以及切点所在象限可求得的值，然后将的值回代二次方程，可求得切点的坐标；
（2）根据题意可得，直线的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由已知条件可得出，求出点的坐标，利用点到直线的距离公式结合基本不等式可证得结论成立
（1）
解：设直线的方程为，
联立，消去并整理得，①，
，解得，因为在第二象限，故，
代入①得，解得，进而，故．
（2）
解：根据题意可得，直线的方程为，设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
，解得，即，
且，，故．
点到直线的距离．
①当时，；
②当时，，
当且仅当时等号成立．
综合①②可得，点到直线距离．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
18．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由已知可得出，根据已知条件求出的值，即可得出椭圆的方程；
（2）由题意可知，两条切线中至少有一条切线的斜率存在，设直线的斜率存在，对切线的斜率是否为零进行分类讨论，在切线的斜率为零时，直接求出；在直线的斜率不为零时，分析可知两切线的斜率为关于的方程的两根，利用韦达定理结合弦长公式可求得，即可证得结论成立.
（1）
解：由题意可知，，，，由，即，
又，所以，椭圆的方程为.
（2）
解：设点坐标为，即．
当直线的斜率为，此时，，则直线的斜率不存在，
此时；
当直线的斜率存在且斜率不为时，设直线的方程为，直线的方程为，
设点、，联立，可得，
则，，
又圆与直线、相切，即，
整理可得，
则、为关于的方程的两根，
所以，，
所以，
.
综上：为定值．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19．(1)
(2)

【分析】（1）设，，根据P在椭圆上，得到；再由MN即为椭圆在处的切线方程也为圆O：切点弦所在直线方程求解.
（2）过P作PA⊥x轴，过Q作QB⊥x轴，得到，，，再由，利用基本不等式求解.
（1）
解：设，.
∵P在椭圆上，∴①；
椭圆在处的切线方程为：②；
又QM、QN为过点Q所引的圆O：的两条切线，
所以切点弦MN所在直线方程为：③.
其中②③表示同一条直线方程，
则，得，代入①，
得，
故点Q的轨迹方程为.
（2）
过P作PA⊥x轴，过Q作QB⊥x轴，
则，，，
所以，
又，
∴，当且仅当时，等号成立.
∴的最大值为.
20．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由椭圆的离心率为，直接列方程求出m，即可得到椭圆的标准方程；
（2）可设椭圆，分类讨论：当直线斜率不存在时，由椭圆的对称性可知点Q是线段的中点.当直线斜率存在时，设直线，，，，利用“设而不求法”得到M、N、Q三点的关系，即可证明.
（1）
椭圆的离心率为，
，解得.
椭圆的标准方程为.
（2）
由（1）知，椭圆，
当直线斜率不存在时，由椭圆的对称性可知点Q是线段的中点.
当直线斜率存在时，设直线，，，，
联立消去y得.
，即.
.
当时，直线与椭圆交于，
所以有，即.
，又点M、N、Q在一条直线上，
，即的中点坐标为.
点Q是线段的中点.
21．(1)
(2)是过定点，定点为

【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合已知条件，即可求解；
（2）将过点P做椭圆C的两条切线问题转化为两切线交点为P，设出M，N，P三点坐标及切线PM的方程，将切线PM与椭圆C联立，得到切点坐标与切线PM方程的关系，再根据PM与PN相交于点P，即点P满足PM，PN方程，得到直线MN方程，即可求解定点．
【详解】（1）由题意得解得
所以椭圆C的标准方程为．
（2）当椭圆C的切线斜率存在时，设点，，，，，
切线PM的方程为．
联立消去y整理得．
因为直线PM与椭圆C相切，
故，即，
，，
所以，，则切线PM的方程为，即，
同理，切线PN的方程为．
当椭圆C的切线斜率不存在时，切点或，
当切点为时，切线为，满足方程；
当切点为时，切线为，满足方程．
又切点，，则切线PM方程为，
切线PN方程为．因为直线PM与直线PN相交于点P，
故
由两点确定一条直线有直线MN的方程为，
整理得，
联立解得
故直线MN过定点．
22．(1)x2﹣y2＝1；
(2)证明见解析.

【分析】(1)依题意，建立关于、的方程组，解出、的值，即可求得双曲线的方程；
(2)设，，，，直线，将其与双曲线方程联立，由相切可得，化简可得，由此表示直线方程，同理可得直线方程，进而得到直线方程，由此可得证．
（1）
依题意，，解得，
：；
（2）
设，，，，直线，
由得，，
直线与双曲线相切，
且，
，
，即，
又，
，
，
，则，
直线，即，
同理，切线的方程为，
在切线、上，
，
、满足直线方程，而两点确定唯一一条直线，
直线，则当时，无论取何值，等式均成立，
点恒在直线上，故无论点在何处，直线恒过定点．
23．(1)；
(2)证明见解析，﹒

【分析】(1)由双曲线的一个焦点坐标为可求c，根据一条渐近线的倾斜角的正切值为可求，结合a、b、c的关系求解、得到双曲线方程；
(2)设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出k与m的关系．联立l与渐近线方程求出M和N的坐标，通过，化简即可．
【详解】（1）由题可知，解得，则：；
（2）由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，
令，则，则．
联立得，，
则，即．
双曲线两条渐近线方程为，
联立得，，
联立得，，

，
故的面积为定值．

24．(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A的横坐标与纵坐标，进而表达出直线的方程，化简即为结果；（2）再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论.
（1）
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，则，化简得.
因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标
，得，则，
故，则，即.
（2）
同理可得，又与均过，
所以.
故，，
，
又因为，所以，
则，
，
故，故.
【点睛】圆锥曲线中证明角度相关的问题，往往需要转化为斜率或向量进行求解.
25．(1)
(2)直线与直线垂直；证明见解析

【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线交于，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系得，再结抛物线的定义可求出，从而可得抛物线的方程，
（2）根据导数的几何意义求出切线的方程，从而可得直线的方程，再求出直线的斜率，比较两直线斜率的关系可得结论
【详解】（1）由题意知抛物线焦点为，
设直线的方程为，与抛物线交于，，
联立抛物线方程，，
所以，
所以，
又由抛物线的定义知，即，
即，所以抛物线的方程为；
（2）直线与直线垂直，理由如下：
由（1）得，，
设，，，
所以直线方程为：，
又因为点A在抛物线上，即有，
得到直线方程为；同理可得方程为：，
，经过点，则，
由两点可确定一条直线，所以所在直线方程为：，
当时，直线与直线垂直，显然成立，
当时，直线斜率，，
直线所在斜率，
则，
综上，直线与直线垂直.
【点睛】本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线的位置关系中的直线垂直问题，综合性较强，计算量大，解答时要注意利用导数的几何意义表示切线方程，关键在于利用方程思想表示出直线的方程.
26．(1)；
(2)直线AB与直线PF垂直；证明见解析.

【分析】（1）利用直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线的定义即得；
（2）设，，，利用导数的几何意义可得切线方程，进而可得直线的方程，然后分类讨论即得.
（1）
设直线l的方程为：，与抛物线交于，，
联立抛物线方程，可得，
∴，，
又由抛物线的定义知，
即，
所以抛物线的方程为；
（2）
直线AB与直线PF垂直，理由如下：
由（1）得，，
设，，，
所以直线PA方程为：，
又因为点A在抛物线上，联立，
得到直线PA方程为，
同理可得PB方程为：，
由AB两点可以确定一条直线，PA，PB经过点P，
所以AB所在直线方程为：，
当时，显然成立，
当时，直线AB斜率，PF直线所在斜率，
，直线AB与直线PF垂直；
综上，直线AB与直线PF垂直．
27．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析

【分析】（1）利用抛物线的定义证明即可；
（2）求出函数的导函数，即可得到切线方程，从而求出两直线的交点坐标，即可得证；
（3）由直线的斜率与倾斜角的关系以及两角差的正切公式计算可得；
（1）
证明：令，直线：，曲线上任意一点，又，
则点到直线的距离，
则
，
即曲线上任意一点到点的距离与到直线：的距离相等，
且点不在直线：上，
所以曲线上的每一个点都在一条抛物线上，抛物线的方程即为，焦点坐标为，准线方程为；
（2）
解：对于，则，所以，，
即过点、的切线方程分别为、，
又，，所以、，
由，解得，即，
即，，又，
所以、、成等差数列，、、成等比数列；
（3）
解：由（2）可知，，，所以，

如图，设，，与轴分别交于点、、，
则，，，
又，，
所以，






，
即，
所以；
28．(1)
(2)

【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）设直线的方程为，再联立抛物线的方程，利用韦达定理结合切线方程可得，再根据重心的坐标公式，代入韦达定理可得轨迹
（1）
由抛物线的定义可得，∴抛物线的方程为；
（2）
由题意可得直线的斜率存在，设其为k，设，则直线的方程为；代入抛物线方程得，则有，
∵，∴，∴，即①
同理可得②，①-②有，得，∴．∴
又，设，则，
消k得，所以G的轨迹方程为．
29．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由题意列出关于的方程组，解出的值，即可求出椭圆的标准方程.
（2）设椭圆在点处的切线方程为，联立椭圆方程得到关于的一元二次方程，根据直线与椭圆相切，令得到的值，又因为，利用平面几何知识分析出两直线的倾斜角互补，从而得到两直线的斜率互为相反数，借助垂直平分线的性质求的外接圆圆心的坐标，再利用圆心和切点的连线与切线垂直即可证明.
（1）
由题意得，得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）
设椭圆在点处的切线方程为，
由，可得，
所以，
化简得，解得，
所以的方程为，即．
因为，所以直线，的倾斜角互补，
所以直线，的斜率均存在且均不为零并互为相反数，
设直线的方程为，
由，可得，
设，线段的中点为，
则，，
所以线段的垂直平分线的方程为．①
由直线的斜率为，同理可得线段的垂直平分线的方程为．②
由①+②得，由①-②得，
所以的外接圆圆心的坐标为，
则直线的斜率，
又，所以，故，
所以的外接圆与直线相切，
所以椭圆在点处的切线与的外接圆相切．
30．(1)
(2)

【分析】（1）由已知可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，列出韦达定理，求出点、的坐标，进而求出点的坐标，由已知可得出，可求得，结合可求得的值.
（1）
解：由题意可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为：.
（2）
解：由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，
联立，消去并整理，得，
，可得，
由韦达定理可得，，
，则点，
因为点在第一象限，则，则，直线的方程为，
在直线的方程中，令可得，即点，易知点，
，则直线的方程为，
联立可得，即点，
因为，，即，即，可得，则，
将代入可得，则，
，解得.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角形面积之间的等量关系求出直线的斜率，解题的关键在于求出点的坐标，将三角形面积的等量关系转化为两点坐标之间的关系，进而构建等式求解.