2023年中考数学一轮复习三角形专题《第六节 锐角三角函数及其应用》专练（通用版）

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点对点·本节内考点巩固30分钟
1. 已知∠A 为锐角，且sinA＝eq \f(\r(3),2)，那么∠A 等于( )
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
2. 在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列结论正确的是( )
A. b＝a·sinA B. b＝a·tanA C. c＝a·sinA D. a＝c·csB
3. 如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为( )
A. 3sinα米 B. 3csα米 C. eq \f(3,sinα) 米 D. eq \f(3,csα) 米
第3题图 第4题图
4. (全国视野创新题推荐)如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是( )
A. 在南偏东75°方向处 B. 在5 km处
C. 在南偏东15°方向5 km处 D. 在南偏东75°方向5 km处
5. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为( )
A. eq \f(4,3) B. eq \f(3,4) C. eq \f(3,5) D. eq \f(4,5)
第5题图
6. 已知港口N在观测站M的正南方向，某航海船从港口N出发沿北偏西30°方向航行到点P处，再沿北偏东72°方向航行到观测站M，以下符合条件的示意图是( )
7. 如图，已知轮船甲在A处沿北偏东65°的方向匀速航行，同时轮船乙在点A的南偏东40°方向的点B处沿某一方向航行，速度与甲轮船的速度相同．若经过一段时间后，两艘轮船恰好相遇，则轮船乙的航行方向为( )
A. 北偏西40° B. 北偏东40° C. 北偏西35° D. 北偏东35°
第7题图 第8题图
8. 如图，在点A处测得点B处的仰角是________．(用“∠1或∠2或∠3或∠4”表示)
9. 计算：sin30°＋cs30°·tan60°＝____．
10. 如图，OA的方向是北偏东15°，OC的方向是北偏西40°，若∠AOC＝∠AOB，则OB的方向是________．
第10题图
11. 如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在点C测得旗杆顶端A的仰角∠BCA＝30°，沿旗杆方向向前走了20米到D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA＝60°，则旗杆AB的高度是________米．
第11题图 第12题图
12. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，csC＝eq \f(3,5).则AB边的长为________．
13. 如图，在△ABC中，sinB＝eq \f(1,3)，tanC＝eq \f(\r(2),2)，AB＝3，则AC的长为________．
第13题图 第14题图
14. 如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，C点的仰角为45°，点P到建筑物的距离PD＝20米，则BC＝________米．(结果用根式表示)
15. 如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°.已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1∶eq \r(3)(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度．(结果精确到0.1米)(参考数据：eq \r(3)≈1.73，eq \r(2)≈1.41)

16. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝eq \f(1,3)，AD＝1.
(1)求BC的长；
(2)求tan∠DAE的值．
点对线·板块内考点衔接5分钟
如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处测得∠ADB＝45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，测得∠1＝53°，求隧道BC长．(参考数据：sin53°≈eq \f(4,5)，cs53°≈eq \f(3,5)，tan53°≈eq \f(4,3))
参考答案
第六节 锐角三角函数及其应用
点对点·本节内考点巩固
1. D
2. D
3. A 【解析】由题知sinα＝eq \f(BC,AB).已知AB＝3米，则BC＝ABsinα＝3sinα米．
4. D 【解析】如解图，根据“上北下南，左西右东”，将平面划分为四块，每块分为6份，每一份为15°(相邻两条射线的夹角)，相邻两个圆之间相差1 km，∴目标A的位置是从里向外数第5条线，即5 km处，方向为东偏南15°，或南偏东75°，故选D.
第4题解图
5. D 【解析】如解图，取格点D，使CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，AD＝3，CD＝4，∴由勾股定理得AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(32＋42)＝5.在Rt△ACD中，sin∠BAC＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(4,5).
第5题解图
6. C
7. D 【解析】如解图，设经过一段时间后，两艘轮船在点C处相遇，则AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA.∵轮船甲沿北偏东65°方向航行，点B在点A的南偏东40°方向，∴∠CAB＝180°－65°－40°＝75°，过点B作BE∥AD交AC于点E，则∠ABE＝∠BAD＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝35°，即轮船乙的航行方向为北偏东35°.
第7题解图
8. ∠4 9. 2
10. 北偏东70° 【解析】∵OA的方向是北偏东15°，OC的方向是北偏西40°，∴∠AOC＝15°＋40°＝55°.∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOB＝55°，15°＋55°＝70°.∴OB的方向是北偏东70°.
11. 10eq \r(3) 【解析】由题意得，∠ADB＝60°，∠C＝30°，CD＝20，∴∠DAC＝∠ADB－∠C＝30°，∴AD＝CD＝20，∴AB＝AD·sin∠ADB＝10eq \r(3)米．
12. eq \f(16,5) 【解析】如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，在Rt△ADC中，AC＝2，csC＝eq \f(3,5)，∴CD＝AC·csC＝2×eq \f(3,5)＝eq \f(6,5)，∴AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(22－（\f(6,5)）2)＝eq \f(8,5).在Rt△ADB中，∠B＝30°，AD＝eq \f(8,5)，∴AB＝2AD＝2×eq \f(8,5)＝eq \f(16,5).
第12题解图
13. eq \r(3) 【解析】如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D.∵AB＝3，sinB＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,3)，∴AD＝1. ∵tanC＝eq \f(AD,DC)＝eq \f(\r(2),2)，∴DC＝eq \r(2).∴AC＝eq \r(AD2＋DC2)＝eq \r(12＋（\r(2)）2)＝eq \r(3).
第13题解图
14. (20eq \r(3)－20) 【解析】由题意得，在△BDP中，∠BDP＝90°，∠BPD＝60°，PD＝20米，∴BD＝PD·tan∠BPD＝20tan60°＝20eq \r(3)(米)，在△CDP中，∠CDP＝90°，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20米，∴BC＝BD－CD＝(20eq \r(3)－20)米．
15. 解：如解图，过点D作DF⊥BC，交直线BC于点F，过点D作DG⊥AB，交AB于点G，则四边形DGBF为矩形，DF＝GB，DG＝FB.
∵山坡的坡度i＝1 ∶eq \r(3)，
∴DF ∶FC＝1 ∶eq \r(3).
∴DF ∶FC ∶CD＝1 ∶eq \r(3) ∶2.
∵CD＝10米，
∴DF＝5米，FC＝5eq \r(3)米．
∵CE＝10米，
∴BE＝DG－FC－CE＝(DG－5eq \r(3)－10)米．
∵∠ADG＝30°，
∴DG＝eq \f(AG,tan30°)＝eq \r(3)AG.
∵∠AEB＝60°，
∴tan∠AEB＝tan60°＝eq \f(AB,EB).
∵AB＝AG＋GB＝AG＋DF＝(AG＋5)米，
∴eq \r(3)＝eq \f(AG＋5,EB)＝eq \f(AG＋5,DG－5\r(3)－10)＝eq \f(AG＋5,\r(3)AG－5\r(3)－10).
解得AG＝5eq \r(3)＋10.
∴AB＝AG＋GB＝5eq \r(3)＋10＋5≈23.7米．
答：楼房AB的高度是23.7米．
第15题解图
16. 解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝eq \f(1,3)，AD＝1，
∴AB＝eq \f(AD,sinB)＝3，
∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝2eq \r(2)，
∴BC＝BD＋DC＝2eq \r(2)＋1；
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝eq \f(1,2)BC＝eq \r(2)＋eq \f(1,2)，
∴DE＝CE－CD＝eq \r(2)＋eq \f(1,2)－1＝eq \r(2)－eq \f(1,2)，
∴tan∠DAE＝eq \f(DE,AD)＝eq \f(\r(2)－\f(1,2),1)＝eq \r(2)－eq \f(1,2).
点对线·板块内考点衔接
解：如解图，过点E作EF⊥AC交AC于点F.
在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴AB＝AD＝600米．
∵DE∥AC，AD⊥BC，EF⊥AC，
∴四边形ADEF为矩形．
∴EF＝AD＝600米，AF＝DE＝500米．
在Rt△EFC中，∠CEF＝53°，
∴tan∠CEF＝eq \f(CF,EF)＝eq \f(4,3).
∴CF＝800米．
∴BC＝CF－BF＝CF－(AB－AF)＝700米．
答：隧道BC的长为700米．
解图