专题15 圆锥曲线焦点三角形 微点3 圆锥曲线焦点三角形内切圆问题

专题15  圆锥曲线焦点三角形  微点3  圆锥曲线焦点三角形内切圆问题

专题  圆锥曲线焦点三角形

微点3  圆锥曲线焦点三角形内切圆问题

【微点综述】

在圆锥曲线的考查中，焦点三角形是考查椭圆与双曲线第一定义的良好载体．焦点三角形结合圆，这样的试题难度一定不会小，往往还涉及中位线、角平分线、中垂线、相似等平面几何的知识．本文归纳椭圆、双曲线焦点三角形内切圆的相关性质，并作进一步的引申和推广．

一、椭圆焦点三角形内切圆的重要性质

椭圆的焦点三角形指的是椭圆上一点与椭圆的两个焦点所连接成的三角形．椭圆的焦点三角形问题，可以将椭圆定义和性质、三角形的几何性质以及解三角形等进行有机结合．圆是平面几何中非常重要的研究对象，焦点三角形的内切圆问题对于问题转化能力、几何性质的应用能力、数形结合能力提出了更高维度的要求，是解析几何综合问题重点考察内容之一．

下面先看椭圆焦点三角形内切圆的三个性质：

如图1，椭圆的标准方程为，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，的内切圆圆心为，且圆与三边相切于点．设，则有如下性质：

【性质1】．

【性质2】，其中为椭圆的离心率．

图1

证明：由切线长定理得：，则

，

又根据椭圆定义得，因此，性质 1 得证．

下面证明性质2．

设的内切圆半径为，由内切圆性质得轴，当点在第一象限时，则．根据切线长定理，①，

根据椭圆的第二定义得到焦半径公式：，

②，

由①②得：．

，

．

当时，，同理，

由得．当时，，

．

综上，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点时性质2恒成立．

【评注】性质1和性质2的证明采用的是“算两次”的方法．性质1中对算式先利用切线长定理进行化简，再根据椭圆定义进行整理，从而构造方程并求解．性质 2 内心横坐标利用切线长定理和椭圆焦半径公式对算两次构造方程，内心纵坐标利用焦点三角形面积的两种表述算两次求解．

【性质3】椭圆焦点三角形的旁切圆与所在直线相切与顶点，当P点位于左侧时，旁切圆在左侧切点是左顶点，在右侧时候，切点是右顶点．

证明：，，∴，

∴，因此A为切点．

图2

二、椭圆焦点三角形内切圆的重要性质的应用

(一) 定值问题

1．已知椭圆左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为，则___________________．

2．已知椭圆的左、右焦点分别为F1 、F2，P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，点I、G分别为△PF1F2的内心、重心．当IG恒与轴垂直时，椭圆的离心率是_______.

3．已知椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，的内心为，若内切圆半径为，则___________________．

(二) 轨迹问题

4．已知椭圆左、右焦点分别为为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为，求点的轨迹方程．

圆锥曲线的定义、曲线方程、性质存在着诸多联系，很多性质并不是孤立的，所以我们可以试着将椭圆焦点三角形内切圆性质研究思路应用到双曲线中，得到类似的性质．下面我们研究双曲线焦点三角形内切圆的性质．

三、双曲线焦点三角形内切圆的重要性质

【性质1】如图6，已知为双曲线的左、右焦点，则的内切圆与轴切于双曲线的顶点；且当点为双曲线左支时，切点为左顶点；且当点为双曲线右支时，切点为右顶点．

证明：设双曲线的焦点三角形的内切圆且三边，，于点A，B，C，双曲线的两个顶点为，，，

∵，∴，∴A在双曲线上，

又∵A在上，A是双曲线与x轴的交点即点（或）．

图6                                图7

【性质2】双曲线的标准方程为，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上异于实轴端点的任意一点，的内切圆圆心为，且圆与三边相切于点．设，则．

证明：由切线长定理得：，则

，

又根据双曲线定义得，因此．

轴，，又．

【评注】性质2的证明逻辑上同样是利用“算两次”构造方程求解．同理可得， 为双曲线的左支上异于实轴端点的任意一点，．若点为双曲线的上异于实轴端点的动点， 内心的轨迹为或， 且．

【性质3】如图3，已知为双曲线的左、右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于两点，若的内切圆圆心分别为，半径分别为，则（1）在直线上；（2）．

图3

从以上性质的证明过程中可以看出，这些性质的背后隐含着椭圆的定义、双曲线的定义、内切圆的定义、三角形全等、切线长定理、中位线定理等基础知识；性质的证明需要具有一定的数学抽象、逻辑推理与数学运算能力，可以考查学生对应核心素养维度的发展水平．另外证明过程中用到了数形结合、转化与化归、类比等数学思想方法．这些都是学生应该掌握的基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验，说明该考点不超纲，可以作为命题的出发点．

四、双曲线焦点三角形内切圆的重要性质的应用

5．双曲线的左、右焦点分别、，P为双曲线右支上的点，的内切圆与x轴相切于点C，则圆心I到y轴的距离为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为I，过作直线PI的垂线，垂足为B，则点B的轨迹是（    ）

A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．双曲线

7．已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切x轴于点M，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．点是双曲线右支上一点，分别为左、右焦点.的内切圆与轴相切于点.若点为线段中点，则双曲线离心率为（   ）

A． B．2 C． D．3

解析几何是数学中最有魅力的内容之一，方程是描述曲线性质的语言，曲线又是方程特征的直观体现．圆锥曲线作为解析几何的核心内容，包含特有的对称美和统一美，其离心率是圆锥曲线统一美的集中体现，随着离心率的量变，圆锥曲线的形状也会随之发生质变．本文所研究的椭圆的焦点三角形的内心坐标和椭圆上点的坐标关系同样与离心率相关，展示着圆锥曲线的美妙和神奇．结合椭圆的焦点三角形的重要性质可以解决很多比较棘手的定值问题以及轨迹问题，同样可以将研究方法进行推广来探究双曲线是否也有类似的结论和性质．解析几何的魅力在于本身知识体系的深度、交叉内容的广度以及思想方法的灵活多样，相信随着研究的深入可以得到更多有趣且优美的结论．

【强化训练】

9．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为双曲线的中心，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则下列结论成立的是(　　)

A．|OA|＞|OB| B．|OA|＜|OB|

C．|OA|＝|OB| D．|OA|与|OB|大小关系不确定

10．已知点P是双曲线左支上除顶点外的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，，，双曲线离心率为e，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知点P为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，是左、右焦点，连接，作的旁切圆（与线段延长线及延长线均相切），其圆心为，则动圆圆心的轨迹所在曲线是（    ）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）

12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【评注】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率．

（2022·江苏苏州·模拟预测）

13．已知是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一个动点，若的内切圆半径的最大值是，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

（2022·江西·景德镇一中高一期末）

14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（    ）

A． B． C． D．

（2022·江西·上高二中模拟预测）

15．已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（       ）

A． B． C． D．

（2022·湖北·高二月考）

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

17．椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，曲线，在第一象限交于点是内切圆圆心，O为坐标原点，垂直射线于点，，则点坐标是___________________．

18．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，满足，该双曲线的离心率为___________________．

（2022·全国·高二专题练习）

19．已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为 ________．

（2022·四川达州·高二期末）

20．已知，是双曲线的左､右焦点，P为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e，则___________.

（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）

21．已知双曲线分别为其左､右焦点，若点P在双曲线的右支上，且的内切圆圆心的横坐标为1，则该双曲线的离心率为___________.

参考答案：

1．2

【分析】运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合切线的性质，即可求得．

【详解】由椭圆标准方程得：，

因为为椭圆上异于长轴端点的动点，由椭圆定义可得，所以，

如图所示，设的内切圆与 ，分别相切于点，，．则

由圆的切线性质可得，，，

所以，所以，

，所以．

故答案为：2.

2．

【详解】设则

根据垂心和内心的性质知,

故

而，

 因此，

而由轴，知，代入解得（舍去）或

因此，椭圆的离心率

3．

【分析】不妨设在第一象限，设内切圆的半径为，内心，则，根据等面积法求出，再代入椭圆方程求出，即可求出直线的方程，再由点到直线的距离公式求出，最后由两点间的距离公式计算可得.

【详解】由椭圆标准方程得：，离心率．不妨设在第一象限，

设内切圆的半径为，内心，则，

则，所以，即，解得，

代入椭圆的方程可得，解得或（舍去），所以，

所以，即，则到的距离，

即，解得或（舍去），

所以，．

故答案为：

4．

【分析】设，利用性质找出之间的坐标的关系，利用在椭圆上即可得到的横纵坐标的关系.

【详解】如图，设，圆与三边相切于点．由性质2得：，解得．，代入可得所求点的轨迹方程为．

5．D

【分析】设三角形内切圆的切点为，，，其中在轴上，那么，又，所以转换后可得，又，由此能求出圆心到轴的距离．

【详解】解：因为双曲线，所以

设三角形内切圆的切点为，，，其中在轴上，

由内切可得，

那么，又

所以，

又，

所以点的横坐标为4，点的横坐标也为4，

故圆心到轴的距离为4．

故选：D．

6．B

【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把，转化为，从而求得点A的横坐标．再在三角形中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形中，利用中位线定理得出，即可得到结论．．

【详解】、，内切圆与轴的切点是点，

，及圆的切线长定理知，，设内切圆的圆心横坐标为，则，；，

在中，由题意得，于，延长交于点，易得PB是的中垂线，故点B是线段的中点，在三角形中，

有：．

即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

故选：B．

7．C

【分析】由已知点的坐标求得，根据内切圆性求得点坐标，然后由数量积的坐标运算计算．

【详解】在双曲线上，可得，∴、，

如图，设，内切圆与x轴的切点是点M，、与内切圆的切点分别为N、H，

∵由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，

故，即，设内切圆的圆心横坐标为x，

则点M的横坐标为x，故，∴，

∴，

故选：C．

8．B

【分析】设的内切圆圆心为 ，边 上的切点分别为结合切线段长相等及双曲线的定义，可得，可得的横坐标为，由点为线段中点，可得，从而可得离心率.

【详解】设的内切圆圆心为 ，边 上的切点分别为

易见 横坐标相等，

则

由即

得 即，

记的横坐标为，则，

于是 ，得，

由点为线段中点，知.

故选:B.

9．C

【详解】由于点Q为三角形PF1F2内切圆的圆心，故过点F2作PQ的垂线并延长交PF1于点N，易知垂足B为F2N的中点，连接OB，则|OB|＝|F1N|＝(|F1P|－|F2P|)＝a，又设内切圆与PF1，PF2分别切于G，H，则由内切圆性质可得|PG|＝|PH|，|F1G|＝|F1A|，|F2A|＝|F2H|，故|F1P|－|F2P|＝|F1A|－|F2A|＝2a，设|OA|＝x，则有x＋c－(c－x)＝2a，解得|OA|＝a，故有|OA|＝|OB|＝a，故选C.

10．B

【分析】在中，由正弦定理可得边角关系，结合两角和与差的正弦公式以及正弦的二倍角公式，以及弦切互化即可求解.

【详解】在中，由正弦定理得：,

进而可得，即，

由于

所以

∴

，

∴，

∴．

故选：B．

11．A

【分析】先根据已知条件画出图象，然后由切线长相等定理得到3组线段相等，再由椭圆的定义结合相等的线段进行变换即可得到点满足的条件.

【详解】如图,画出圆M，切点分别为E、D、G，由切线长相等定理知，，，

根据椭圆的定义知，

∴

，   ∴，，即点G与右顶点重合，

∴点在轴上的射影是右顶点，点的轨迹是过右顶点且垂直于轴的一条直线（除去点）.

故选:A．

12．A

【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.

【详解】因为，所以，

如图，在上取一点M，使得，连接，则，

则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，

所以，

设，则，

由椭圆定义可知：，即，所以，

所以，，

故点A与上顶点重合，

在中，由余弦定理得：

，

在中，，

解得：，

所以椭圆离心率为.

故选：A

【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.

13．B

【分析】依题意可得，，，设内切圆的半径为，根据等面积法得到，即可得到的最大值，从而求出，即可求出椭圆的离心率；

【详解】解：由椭圆，可得，，，则，

如图，

设内切圆的半径为，

，

，则，

要使内切圆半径最大，则需最大，

，

又内切圆半径的最大值为，即，解得，所以．

则椭圆的离心率

故选：B．

14．C

【分析】由分析可得，根据内切圆性质结合双曲线定义分析可得切点D为双曲线的右顶点，在中，由勾股定理列式求解.

【详解】，即为，即为，可得．所以．

根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，．

又，所以．

设，则，所以，

所以切点D为双曲线的右顶点，所以，

．

在中，由勾股定理得，

整理得，即，解得，

又因为，所以C的离心率为，

故选：C．

15．D

【分析】延长到且，延长到且，结合向量的线性关系知是△的重心，根据重心和内心的性质，进而得到，由双曲线定义得到齐次方程，即可求离心率.

【详解】如下图示，延长到且，延长到且，

所以，即，

故是△的重心，即，又，

所以，而是的内心，则，

由，则，故，即.

故选：D

【点睛】关键点点睛：利用向量的线性关系构造重心，结合重心和内心的性质得到，再根据双曲线定义得到双曲线参数的齐次方程.

16．C

【分析】设的内切圆圆心为，结合双曲线定义可求得为双曲线的右顶点，设，则，利用二倍角正切公式可构造关于的齐次方程，解方程即可求得离心率.

【详解】

设的内切圆圆心为，且与三边相切于点，

，，，

由双曲线定义知：，

，又，

，，为双曲线的右顶点，即的横坐标为，

又的内切圆半径为，，

设，则，

，，

，整理可得：，

，解得：或，又，.

故选：C.

17．

【分析】先确定椭圆、双曲线的方程，求得的坐标，利用等面积求得圆心的纵坐标，再利用点到直线的距离，可求圆心的横坐标，从而可得结论.

【详解】是内切圆圆心, 是的角平分线，又垂直射线于点，交于点,,为的中点，为的中点，且, ,

由题意，，∴

∵椭圆与双曲线有公共焦点，

∴，

∴，∴椭圆方程为：，双曲线方程为，联立方程可得．

设内切圆的半径为，圆心坐标为，则由等面积可得，∴，∵的方程为，∴由到直线的距离等于可得，

∴圆心坐标为．

故答案为：.

18．2

【分析】首先确定P点在左支上，作出的内切圆M，内切圆M切于A点，

证明点A为双曲线的左顶点，从而根据得到，

从而得到，求出离心率.

【详解】因为，所以，

所以，故P点在左支上，

作的内切圆M，设内切圆M与切于点C，与切于点B，该内切圆M切于A点，

连接，则，

且平分，平分，

接下来证明点A为双曲线的左顶点，

由双曲线的定义可知：，因为，

所以，设点A坐标为，

则，解得：，故点A为双曲线的左顶点，

∵，

∴，

∴

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：2

19．##

【分析】设的内切圆与，的切点分别为，，然后根据切线长定理结合双曲线的定义列方程可求出，从而可求出离心率

【详解】设的内切圆与，的切点分别为，，

由切线长定理可知，，，

又，

所以

由双曲线的定义可知，

所以，又，

所以双曲线的离心率为．

故答案为：

20．

【分析】根据双曲线的定义，设，结合利用余弦定理可得，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径的表达式，进而列式求解离心率即可

【详解】由题意，设，因为，故，即，根据双曲线的定义有，故.所以的面积为.又，故.故内切圆半径满足，解得.又的外接圆半径满足，故，由题意，即，所以，故，故，解得

故答案为：

21．3

【分析】利用三角形内切圆性质及双曲线的定义求得，再由双曲线参数关系求c，即可得离心率.

【详解】设的内心为I，过I作轴于H.

由三角形内切圆的性质知：①.

又②，③，

由①②③得：.

∴，故离心率.

故答案为：3