专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用

专题16  圆锥曲线焦点弦  微点3  圆锥曲线焦点弦长公式及其应用

专题16  圆锥曲线焦点弦

微点3  圆锥曲线焦点弦长公式及其应用

【微点综述】

过圆锥曲线焦点的直线与该圆锥曲线相交于两点，则称这两个交点间的线段为圆锥曲线的焦点弦．关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线方程（如）代入圆锥曲线方程，化为关于（或）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式（或）求出弦长．这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐．利用圆锥曲线定义及余弦定理等导出圆锥曲线的焦点弦长公式较为简捷．

一、圆锥曲线倾斜角式焦点弦长公式

1．椭圆的倾斜角式焦点弦长公式

例1

1．如图，为椭圆的左、右焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求弦长．

【结论1】椭圆的倾斜角式焦点弦长公式：

（1）为椭圆的左、右焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则；

（2）为椭圆的上、下焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则．

说明：特殊情形，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长．

2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式

例2

2．设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于，两点，求弦长．

可得如下结论2：

【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：

（1）为双曲线的左、右焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则．

（2）为双曲线的上、下焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则．

说明：特殊情形，当倾斜角为时，即为双曲线的通径，通径长．

例3

3．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求弦长．

3．抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式

例4

4．如图，抛物线与过焦点的直线相交于两点，若的倾斜角为，求弦长．

【结论3】抛物线的焦点弦长：．

例5

5．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．

由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握．

由以上讨论可以得到圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式

【结论4】圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：

设直线过圆锥曲线焦点且交圆锥曲线于两点，若已知直线倾斜角为，设圆锥曲线通径为，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：．

例6

6．过双曲线的右焦点作倾斜角为直线，交双曲线于两点，求弦长．

二、圆锥曲线夹角式焦点弦长公式

下面先利用双曲线的第二定义推导出双曲线的焦点弦长公式，在相关计算中就更为简捷．

先看例题：

例7

7．已知点F和直线l是离心率为e的双曲线C的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为p．过点F的弦AB与曲线C的焦点所在的轴的夹角为，则有．

【结论5】双曲线的夹角式弦长公式：

已知点F和直线l是离心率为e的双曲线C的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为p．过点F的弦AB与曲线C的焦点所在的轴的夹角为，则有．

注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区分焦点在轴上还是轴上．

例8

8．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求弦长．

三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式

1．椭圆的坐标式焦点弦长公式

例9

9．已知椭圆，若过左焦点的直线交椭圆于两点，求．

【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：

（1）椭圆的焦点弦长公式：

（过左焦点）； （过右焦点），即；

（2）椭圆的焦点弦长公式：

（过上焦点）；（过下焦点），即．

例10

10．已知椭圆的左右焦点分别为，，若过点及的直线交椭圆于A，B两点，求．

2．双曲线的坐标式焦点弦长公式

例11

11．设双曲线，其中两焦点坐标为，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．

我们有如下结论：

【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：

（1）双曲线的焦点弦长公式：

同支弦；异支弦，统一为：；

（2）双曲线的焦点弦长公式：

同支弦；异支弦，统一为：．

3．抛物线的坐标式焦点弦长公式

由抛物线的定义易得

【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：

（1）抛物线的焦点弦长公式：；

（2）抛物线的焦点弦长公式：；

（3）抛物线的焦点弦长公式：；

（4）抛物线的焦点弦长公式：．

【强化训练】

12．已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为

A． B． C． D．

13．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则

A．1 B． C． D．2

14．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P=_____.

15．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为__________.

16．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为________.

17．过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则_______________________．

18．已知是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为________________

19．已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点．若，则________________．

20．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P=_____.

21．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为__________.

22．已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为____.

23．过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且，则点M到直线NF的距离为___________.

24．已知椭圆，若过左焦点的直线交椭圆于，两点，且，两点的横坐标之和是，求．

25．过椭圆椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，|AB|=7，求直线方程．

26．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于、两点，求弦长．

27．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交双曲线于A，B两点，求的面积

28．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．

29．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若过点及F1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积.

30．过双曲线的左焦点引直线交双曲线于A，B两点，|AB|=48，求直线方程．

31．已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若，求椭圆方程．

32．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且.求四边形面积的最小值.

参考答案：

1．

【分析】由椭圆定义，结合余弦定理即可得出．

【详解】连结，，设，，

由椭圆定义得，，

在中，由余弦定理得，即，

则，解得．

同理在中，由余弦定理可求得，

则弦长．

2．答案见解析

【分析】分别讨论当直线与双曲线的交点在同一支上或在两支上时的焦半径长度，结合焦点三角形的性质可得解.

【详解】当时，如图1，直线与双曲线的两个交点，在同一支上，

连接，，设，，

由双曲线定义可得，，

由余弦定理可得整理可得，同理，

则可求得弦长．

当或时，如图2，直线与双曲线的两个交点，不在同一支上，

连接，，设，，

由双曲线定义可得，，

由余弦定理可得整理可得，

同理，，

则可求得弦长，

因此焦点在轴的焦点弦长公式：

.

3．

【分析】利用公式计算可得；

【详解】解：双曲线中，，，所以，

利用公式，代入得．

4．

【分析】设，，可得，，利用焦半径公式可构造方程求得，由可得结果.

【详解】设，，则，，

由抛物线定义知：，，

，，

.

5．

【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.

【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，

又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：

代入抛物线方程消去y并化简得，

解法一：解得   

所以

解法二：

设，则,

过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.

故答案为：

【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.

6．8

【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长．

【详解】由双曲线得，又

所以．

7．答案见解析

【分析】结合双曲线的定义，通过讨论焦点F内分、外分弦AB两种情况，即可证明．

【详解】设点A，B，F在准线上的射影分别为，，H，与曲线C的焦点所在的轴交于点H．过点F作HF的垂线交直线于点M，交直线于点N．由双曲线的定义得，，．

（1）当焦点F内分弦AB时，如图，

，，

因此，，

所以焦半径，焦半径，

所以．

（2）当焦点外分弦时，如图，

，

，

所以，，

焦半径，焦半径，

所以．

综合（1）（2）知，．

8．

【分析】利用公式计算可得；

【详解】解：双曲线中，，，所以，

利用公式，代入得．

9．，e是椭圆的离心率

【分析】由焦半径公式即可得焦点弦公式

【详解】设，由焦半径公式得：，e是椭圆的离心率，两式相加得．

【点睛】（1）只需要两根和，即可求得弦长．

（2）椭圆的焦点弦长公式：

（过左焦点）；（过右焦点），其中e是椭圆的离心率．

椭圆的焦点弦长公式：

（过上焦点）；（过下焦点），其中e是椭圆的离心率．

10．

【分析】由椭圆的焦点弦长公式可得，写出直线AB的方程，联立椭圆方程，即可由韦达定理得出，即可求.

【详解】由题意，，，

则直线AB的方程为，即，

令，则，，

直线方程与椭圆方程联立， 得：，

所以．

【点睛】（1）从椭圆的标准方程看出焦点的位置，合理选择椭圆的焦点弦长公式．

（2）一般弦长公式对椭圆的焦点弦长仍然适用，但是计算繁琐，直接利用椭圆的焦点弦长公式就更为简捷．

11．答案见解析

【分析】讨论弦AB所在直线的斜率k存在,以及直线与同支、异支相交，结合第二定义即可得到弦长.

【详解】（1）当弦AB所在直线的斜率k存在时， 设直线AB为y = k( x- c) ，

双曲线方程可化为①，

将直线y = k( x- c) 代入①整理得，，

设，

当时， 弦AB的两个端点同在右支曲线上(如图1) ， 于是

∴，

当时， 弦AB的两个端点在左右两支曲线上(如图2) ， 于是

．

（2）当弦AB所在直线的斜率k不存在时， 弦AB 与x 轴垂直，．

12．A

【分析】过A，B分别作右准线的垂直AM，AN，垂足分别为M,N,再过B作BH垂直AM垂足为H，设|BF|=x,则|AF|=4x,根据双曲线的第二定义可知

|AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM|-|BN|=3ex,由于直线l的倾斜角为,所以

，所以 .

13．B

【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得

设坐标分别为，则

因为，所以，从而有 ①

再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ②

由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B

14．2

【详解】设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，把y＝x－代入y2＝2px，得x2－3px＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2．

15．

【分析】由题意，根据点斜式写出直线方程，联立双曲线方程，由韦达定理及弦长公式即可求解．

【详解】解：由题意，，直线斜率，

所以直线方程为，代入得，

设，则，

又，

，

故答案为：.

16．8

【分析】先求出右焦点，写出直线的参数方程，联立双曲线方程，通过参数的几何意义解决即可.

【详解】将双曲线方程化为，易得，

设过右焦点，倾斜角为的直线参数方程为 （t为参数），

，，

将直线的参数方程代入双曲线方程得，

故，.

故答案为：8.

17．

【详解】

故答案为：.

18．

【详解】设椭圆C的焦点在x轴上，如图所示，则B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则＝(c，－b)，＝(xD－c，yD)，

∵＝2，∴

∴

∴＋＝1，即e2＝，∴e＝．

19．

【分析】由题意设双曲线的方程为，直线为，即，

联立方程，设，由，得，由根与系数的关系求解即可

【详解】因为，

所以，双曲线的方程为，

设过左焦点且斜率为的直线为，即，

与双曲线联立得，

设，则，

因为，

所以，

所以，

消去得，

化简得，即，

因为，

所以，

故答案为：

20．2

【详解】设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，把y＝x－代入y2＝2px，得x2－3px＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2．

21．

【分析】由题意，根据点斜式写出直线方程，联立双曲线方程，由韦达定理及弦长公式即可求解．

【详解】解：由题意，，直线斜率，

所以直线方程为，代入得，

设，则，

又，

，

故答案为：.

22．16

【解析】设出直线方程为，，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理，由弦长公式求得弦长，用，代替得弦长，求出，用基本不等式求得最小值．

【详解】由题意抛物线焦点为，

显然直线的斜率都存在且都不为0，设直线方程为，，

由，得，所以，，

，

同理可得．

所以，当且仅当时等号成立．

故答案为：16．

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交弦长问题，解题方法是设而不求思想方法，即设出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得得，然后由弦长公式求得弦长．

23．

【分析】根据题意，求出MF的方程，联立MF方程和抛物线方程求得M坐标，求出N的坐标，再求出NF的方程，利用点到直线距离距离公式即可求解.

【详解】由题可知，，：，

MF方程与抛物线方程联立得，，解得.

，

，，

∴，，即，

∴M到直线NF的距离为.

故答案为：.

24．

【分析】利用椭圆焦半径公式求得焦点弦长.

【详解】由已知得，， ，

所以离心率，

.

25．或

【分析】设直线AB的倾斜角为，由焦点弦公式可得斜率，即可得解.

【详解】椭圆即，左焦点为，

设直线AB的倾斜角为，则由焦点弦弦长公式可得

，解得，

所以该直线的倾斜角为，

则直线AB：或，

即或.

26．8

【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长．

【详解】由双曲线得，又

所以．

27．

【分析】求出直线方程，求出点到直线AB的距离，再根据结论求出，进而求出三角形面积.

【详解】的焦点坐标为，，

所以直线方程为，即，

点到直线AB的距离，

又，

所以.

28．

【分析】利用双曲线焦点弦公式求解即可.

【详解】双曲线的，，，

由双曲线焦点弦公式可得，由已知，

代入得.

29．

【分析】设出直线方程，求出点到直线AB的距离，再根据结论求出，进而求出三角形面积.

【详解】直线的方程为， 设其倾斜角为，则，，所以，，

由椭圆方程，可得，，，的坐标为，

到直线AB的距离，， 所以．

所以的面积为.

30．或或或

【分析】由题意，明确双曲线的三个参数，求得左焦点坐标，分别讨论直线斜率存在与不存在的情况，联立方程，由韦达定理，结合弦长公式，可得答案.

【详解】由双曲线方程，可得，则，

故双曲线左焦点的坐标为，

当过左焦点的直线斜率不存在时，可得方程为，代入，

可得，解得，易知，不符合题意；

当过左焦点的直线斜率存在时，可设方程为，

联立方程可得，消去可得，

由题意，，解得，

设，则，

即，

由，则，，两边分别平方可得：，整理可得：，，解得或，即或，

故直线方程为或或或.

31．(1)

(2)

【分析】（1）由圆锥曲线焦点弦的重要公式求解.

（2）由圆锥曲线焦点弦的弦长公式求解.

（1）

圆锥曲线焦点弦的重要公式，因为，直线的倾斜角为，

所以，，

所以，解得.

（2）

将，代入圆锥曲线的焦点弦的弦长公式得，

，即，解得，

因为，，解得，

所以椭圆方程为：.

32．.

【分析】分类讨论直线的斜率存在与否，当斜率存在时，联立直线和椭圆方程，根据弦长公式可求，进而根据基本等式即可求解面积的最小值，当无斜率时，可求面积为4，进而可求最小值.

【详解】当直线斜率存在且不为0时，设方程为：，联立，

设,则，

由弦长公式可得；

因为,故，进而可得

所以四边形的面积为

,

因为，即，

，当且仅当时，等号成立，

当直线斜率不存在或者为0时，此时四边形的面积为

∴四边形面积的最小值为.