专题14 圆锥曲线切线方程 微点1 圆锥曲线切线方程的求法

这是一份专题14 圆锥曲线切线方程 微点1 圆锥曲线切线方程的求法，共27页。学案主要包含了微点综述，强化训练等内容，欢迎下载使用。
专题14 圆锥曲线切线方程 微点1 圆锥曲线切线方程的求法
专题14 圆锥曲线切线方程
微点1 圆锥曲线切线方程的求法
【微点综述】
圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式．此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高．下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的方法及常用结论．
一、圆锥曲线切线方程方法
1．向量法
在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式．在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程．
例1
1．已知圆的方程是，求经过圆上一点的圆的切线的方程．
2．变换法
设椭圆方程为，我们作变换：则可把椭圆化为单位圆：，从而可将求椭圆的切线方程问题转化为求圆的切线问题．
例2
2．求过椭圆上一点的切线方程．
3．判别式法
可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一．
思维导图：设切线方程联立切线与椭圆的方程消去（或）得到关于（或）的一元二次方程求切线斜率写出切线方程．
注意：过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．
例3
3．求经过点的双曲线：的切线的方程．
4．导数法
我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程．
例4
4．设为曲线上两点，的横坐标之和为．设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．
例5
5．证明：过椭圆C：(m>n>0)上一点Q(x0，y0)的切线方程为．
5．几何性质法
通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：
（1）若焦点为的椭圆或双曲线上有一点，则的平分线一定与圆锥曲线相切；
（2）若焦点为的抛物线上有一点，过作准线的垂线，垂足为，则的中点与的连线必与抛物线相切．
据此，我们也可以利用圆锥曲线的几何性质作出其切线，然后再求出切线的方程．
例6
6．求抛物线上经过点的切线的方程．
例7
7．过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．
例8（2022乙卷理科）
8．已知抛物线C：的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4．
(1)求p；
(2)若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
【强化训练】
（2022桃城区校级模拟）
9．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（    ）
A． B． C． D．
（2022聊城一模）
10．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（    ）
A． B． C． D．
（2022迎泽区校级月考）
11．已知圆.动点在直线上，过点引圆的切线，切点分别为，则直线过定点______.
12．过圆外一点P（4，2）向圆引切线．
(1)求过点P的圆的切线方程；
(2)若过点P的直线截圆所得的弦长为，求该直线的方程；
(3)若过P点引圆的两条切线，切点分别为、，求过切点、的直线方程．
（2021春·黑龙江期中）
13．已知点在椭圆上.若点在圆上，则圆过点的切线方程为.由此类比得椭圆在点处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
（2020．新课标Ⅰ）
14．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）
A． B． C． D．
（2022宿州期末）
15．定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
（2022金安区校级期末）
16．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题；椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．2
（2022吉安期末理）
17．过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
（2022大连期末）
18．已知为圆上一点，则过上点的切线方程为________，若为椭圆上一点，则过上点的切线方程为_____________.
（2022泸县校级一模）
19．椭圆上点P(1,1)处的切线方程是______．
（2022金安区校级模拟）
20．一般情况下，过二次曲线Ax2+By2=C（ABC≠0）上一点M（x0，y0）的切线方程为Ax0x+By0y=C，．若过双曲线上一点M（x0，y0）（x0＜0）作双曲线的切线，已知直线过点N，且斜率的取值范围是，则该双曲线离心率的取值范围是______．
（2022兴庆区校级一模）
21．已知是抛物线上的一点，过点的切线方程的斜率可通过如下方式求得在两边同时求导，得：，则，所以过的切线的斜率.试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为_________.
（2022亳州期末）
22．已知椭圆C的方程为，离心率，点P(2，3)在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程
(2)求过点P的椭圆C的切线方程
(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．
（2022福州二模）
23．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的两条切线交于点M（4，t），其中，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆上的点处的椭圆切线方程是，证明直线AB恒过椭圆的右焦点；
(3)试探究的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由．
（2022香坊区校级三模）
24．已知点，过点作抛物线的两切线，切点为.
（1）求两切点所在的直线方程；
（2）椭圆，离心率为，（1）中直线AB与椭圆交于点P，Q，直线的斜率分别为，，，若，求椭圆的方程.
（2022渝中区校级月考）
25．已知椭圆的离心率为，过点的椭圆的两条切线相互垂直.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上是否存在这样的点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为，且直线过点？若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由.
（2022杭州模拟）
26．已知曲线上任意一点到的距离比到轴的距离大1，椭圆的中心在原点，一个焦点与的焦点重合，长轴长为4．
(1)求曲线和椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在一点，经过点作曲线的两条切线（为切点）使得直线过椭圆的上顶点，若存在，求出切线的方程，不存在，说明理由．


参考答案：
1．
【分析】设切线上任意一点的坐标是，利用化简整理可得.
【详解】设切线上任意一点的坐标是，由已知得圆心，，
又，即
所以，
∴过圆上的点的圆的切线的方程是：，
又，
∴所求圆的切线的方程为．
2．
【分析】令，利用伸缩变换求得椭圆和点M在新坐标系下的方程和坐标，然后由圆的切线方程和伸缩变换公式可得.
【详解】令，则椭圆在新坐标系下的方程是：，点在新坐标系下的坐标是：，
设过圆上的点的切线方程为（易得斜率必存在），
即代入
整理得
由题意可知，，整理得
即，所以切线方程为，即：
过椭圆上一点的切线的方程是：，即：．
3．
【分析】设直线，与双曲线联立，结合判别式分析，即得解
【详解】若直线斜率不存在，过点的直线方程为：，代入可得，与双曲线有两个交点，不是切线；
若直线斜率存在，设的方程是：，即：，将它代入方程整理得：，
由已知，即，
解得：，故所求切线的方程为：，即：．
4．
【分析】在求得直线的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出点的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程．
【详解】设，则，
于是直线的斜率为，
由，得．
设，由题意可知：，解得，．
设直线的方程为，故线段的中点为，

将代入得，
当，即当时，
或，
从而可得，
因为，且，
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
所以，
所以，即，
解得，直线的方程为．
5．证明见解析
【分析】方法一：分，和，当，时，利用导数求切线方程可得；
方法二：设直线方程联立椭圆方程，利用判别式等于0求切点横坐标，然后可得切线方程.
【详解】法一：由椭圆C：，则有
当时，，求导数为：，
∴当时，．
∴切线方程为，
整理为：，
两边同时除以得：．
同理可证：时，切线方程也为．
当时，切线方程为满足．
综上，过椭圆上一点的切线方程为．
法二：当斜率存在时，设切线方程为，联立方程：
可得，化简可得：
，①
由题可得：，
化简可得：，
①式只有一个根，记作，，为切点的横坐标，
切点的纵坐标，所以，所以，
所以切线方程为：，
化简得：．
当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程，
综上：在点处的切线方程为．
6．
【分析】根据线段的垂直平分线经过点即可求得切线方程.
【详解】由抛物线可得其焦点， 准线方程为：，
过点作准线的垂线，设垂足为，则的坐标为，
又设的中点为，则的坐标为，如图所示：

故直线的方程为：，
即，
∴切线的方程为．
7．答案见解析.
【分析】根据两切线方程分别为：，，且均过均过点P，可知弦AB方程为：.
【详解】以（p＞0）为例说明．
设点是抛物线上的任意一点，
则过点且与抛物线相切的直线方程为，
联立
得：，
因为二者相切，所以，
即，
化简得：，又，
代入得：，
即抛物线在处的切线方程为.
设准线上任一点，切点分别为、，
则切线方程分别为：，
两切线均过点P，则满足，．
故过两切点的弦AB方程为：，
则弦AB过焦点．
【点睛】（1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：；
（2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．
8．(1)p＝2
(2)

【分析】（1）先求，点到圆M上的点的距离的最小值即为.
（2）求出和点到直线的距离，即得，根据的范围即可求最大值.
（1）
到圆心的距离，
所以点到圆M上的点的距离的最小值为，
解得p＝2；
（2）
由（1）知，抛物线的方程为，
即，则，
设切点，，
则易得：，①
：，②
联立①②可得，
设：，联立抛物线方程，消去y并整理可得，
∴，即，
且，，
∴
∵，
点到直线的距离，
∴③，
又点在圆M：上，
故，代入③得，
，
而，
∴当b＝5时，．
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
9．A
【分析】设，圆心C的坐标为，可得以线段为直径的圆N的方程，两圆方程作差，得两圆公共弦的方程可得答案．
【详解】因为P为直线l上的动点，所以可设，
由题意可得圆心C的坐标为，
以线段为直径的圆N的圆心为，半径为，
所以方程为，两圆方程作差，
即得两圆公共弦的方程为，，
所以直线过定点．
故选：A.
10．A
【分析】由PA⊥AC，PB⊥BC可知点A、B在以PC为直径的圆上，设点P坐标，写出以PC为直径的圆的方程，然后可得直线AB方程，再由直线方程可确定所过定点.
【详解】根据题意，P为直线l：上的动点，设P的坐标为，
过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则PA⊥AC，PB⊥BC，
则点A、B在以PC为直径的圆上，
又由C（0，0），，则以PC为直径的圆的方程为：，
变形可得：，
则有，联立可得：，变形可得：，
即直线AB的方程为，

变形可得：，则有，解可得，故直线AB过定点.
故选：A．
11．
【分析】根据题意，设的坐标为，由圆的切线的性质分析可得则、在以为直径的圆上，进而可得该圆的方程，进而分析可得直线为两圆的公共弦所在直线的方程，由圆与圆的位置关系分析可得直线的方程，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，动点在直线上，设的坐标为，
圆，圆心为，
过点引圆的切线，切点分别为，，则，，
则、在以为直径的圆上，该圆的方程为，
变形可得：，
又由、在圆上，即直线为两圆的公共弦所在直线的方程，
则有，
则直线的方程为，
则有，解可得：；
故直线恒过定点，；
故答案为：，．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、公共弦方程求法、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两圆相减可得公共弦直线方程的应用.
12．(1)x＝4或
(2)y＝2或
(3)

【分析】（1）分不存在和存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可；
（2）由弦长可得，圆心到直线距离等于，结合圆心到直线距离公式，可得解；
（3）由题意四点共圆，且PO为直径，写出圆的方程，过切点、的直线即为圆与圆的交线，求解即可.
（1）
当切线斜率不存在时，过点P（4，2）的直线为x＝4，圆心到直线距离等于半径，故x＝4为切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即．由，即
解得：，此时切线方程为．
∴过点P的圆的切线方程为x＝4或；
（2）
由（1）知，所求切线斜率存在，设直线方程为．
∵r＝4，且弦长为，∴圆心到直线的距离，
即
解得k＝0或．
∴所求直线方程为y＝2或；
（3）
由题意，
故四点共圆，且PO为直径
∵P（4，2），
∴以PO为直径的圆圆心为，半径，
故圆的方程为，
由于也在圆上，
故过切点、的直线为圆与圆的公共弦
两圆方程作差可得过、的直线方程为．
13．C
【分析】先根据点在椭圆上，求得，再类比可得切线方程.
【详解】因为点在椭圆上，
故可得，解得；
由类比可得椭圆在点处的切线方程为：
，整理可得.
故选：C.
【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.
14．D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
15．C
【解析】设，，，即可表示出的方程，又在上，即可得到，即可得到直线的方程，从而求出直线过的定点；
【详解】解：因为点在直线上，设，，，所以的方程为，又在上，所以①，同理可得②；
由①②可得的方程为，即，即，所以，解得，故直线恒过定点
故选：C
16．C
【解析】设，根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得C、D坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】设，由题意得，过点B的切线l的方程为：，
令，可得，令，可得，
所以面积，
又点B在椭圆上，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最小值为.
故选：C
【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点B的切线方程，进而求得面积S的表达式，再利用基本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.
17．A
【解析】根据类比推理，可得直线的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程.
【详解】过椭圆上的点的
切线的方程为，
即，切线的斜率为，
与直线垂直的直线的斜率为，
过点且与直线垂直的
直线方程为，
即.
故选：
【点睛】本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题.
18．         
【分析】由垂直切线可求出切的斜率，再利用点斜式可求出过上点的切线方程；利用导数的几何意义在点处切线的斜率，再利用点斜式求出直线方程
【详解】解：因为，切线与直线，
所以所求切线的斜率为，
所以所求的切线方程为，即，
得，
因为点为圆上一点，所以，
所以过上点的切线方程为；
当时，设，由得
         ∴
∴     
∴
     
     
∴过点的切线的斜率为
∴过点的切线的方程为
∵点在椭圆上，
∴，
∴，
∴， 即
，
，
∴，
∴所求的切线方程为，
当时，同理可得其切线方程为
所以过上点的切线方程为，
故答案为：；
【点睛】此题考查圆锥曲线的切线方程的求法，属于中档题
19．
【分析】由导数的几何意义即可求得切线方程.
【详解】∵椭圆，
∴y>0时，，∴，
∴x＝1时，，即切线斜率，
∴椭圆上点P(1,1)处的切线方程是，
即．
故答案为：．
20．
【分析】求得切线方程，将N代入切线方程，即可求得M点坐标，求得切线方程，根据斜率公式及离心率公式即可求得答案．
【详解】双曲线在M（x0，y0）的切线方程为，将N代入切线方程，
解得y0＝﹣2b，代入双曲线方程解得：x0＝﹣a，
则切线方程：，即y＝，
由斜率的取值范围是，即≤≤，1≤≤2，
由双曲线的离心率e＝＝，1≤≤4，
∴双曲线离心率的取值范围，
故答案为:．
【点睛】本题考查双曲线的切线方程的应用及离心率公式，考查转化思想，属于中档题．
21．
【详解】分析：结合题中的方法类比求解切线方程即可.
详解：用类比的方法对两边同时求导得，，

∴切线方程为，
整理为一般式即：.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
22．(1)；
(2)；
(3)证明见解析.

【分析】（1）根据已知条件列方程组即可求出.
（2）由直线与椭圆相切，根据判别式即可求出直线斜率.
（3）利用向量数量积证明直线与关于直线m对称即可；
【详解】（1）由题意可得：，
解得，，
∴椭圆C的方程为：；
（2）显然，过点P(2，3)的切线存在斜率，
设切线l的斜率为k，则：，
由得，
因为直线与椭圆相切，
，
化为：，解得．
∴求过点P的椭圆切线方程为．
（3）证明：∵椭圆C的方程为：，
则椭圆左右焦点分别为，，
∵过点P的椭圆切线方程为，
∴过点P的椭圆法线方程为m：，
法线的方向向量，
∵，，
∴，
，
∴直线，关于直线m对称；
∴从椭圆一个焦点发出的光线照到点P，被椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点．
【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：
①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
23．(1)
(2)证明见解析
(3)是，常数为

【分析】（1）代入点坐标，结合求解即可；
（2）根据结论设出切线方程，两条切线交于点M（4，t），可得点A、B的坐标都适合方程，求出定点坐标即可；
（3）联立直线AB与椭圆，点点距公式表示，结合韦达定理化简即得解
【详解】（1）∵椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
∴，①
，②，
由①②得：，，∴椭圆C的方程为．
（2）证明：设切点坐标，，则切线方程分别为，．
又两条切线交于点M（4，t），即，，即点A、B的坐标都适合方程，令，可得
故对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，故直线AB恒过椭圆的右焦点．
（3）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得
，即，
∴，，
不妨设，，，
同理，
∴，
∴的值恒为常数．
24．（1）；（2）.
【分析】（1）设出切点，利用切点处的导数是斜率，表示出切线方程，在切线上，求出两解，分别对应切点坐标，则方程可求.
（2）离心率为确定的一个关系；联立直线和椭圆方程，用上韦达定理，结合，再建立的一个关系，则椭圆方程可求.
【详解】解：

（1）设切点，则
切线的斜率为，
所以抛物线上过点的切线的斜率为，切线方程为，
在切线上，所以，或，
当时，；当，，
不妨设，，
所以两切点所在的直线方程.
（2）由，得，又，
所以.
，得，
，
， ，又因为，，
，，，
所以椭圆的方程.
【点睛】以直线和抛物线、椭圆的位置关系为载体，考查求直线方程、椭圆方程的方法；中档题.
25．(Ⅰ)；(Ⅱ)满足条件的点有两个.
【详解】试题分析：
(1) 结合椭圆的离心率可求得，则椭圆方程为.
(2)由题意首先求得切线方程的参数形式，据此可得直线的方程为，则点的轨迹方程为，原问题转化为直线与椭圆的交点个数，即满足条件的点有两个.
试题解析：
（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在轴上方的切点为，轴下方的切点为，
则，的直线方程为，
因为椭圆 的离心率为，
所以椭圆，
所以 ，则，
所以椭圆方程为.
（Ⅱ）设点，，，
由，即，得，
∴抛物线在点处的切线的方程为，
即，
∵，∴.
∵点在切线上，∴.①
同理，.②
综合①、②得，点，的坐标都满足方程.
∵经过，两点的直线是唯一的，
∴直线的方程为，
∵点在直线上，∴，
∴点的轨迹方程为.
又∵点在椭圆上，又在直线上，
∴直线经过椭圆内一点，
∴直线与椭圆交于两点.
∴满足条件的点有两个.
26．(1)，
(2)

【分析】(1)依据曲线和椭圆的定义求方程.
(2) 假设点M存在，设切线方程，M即在抛物线又在椭圆上找到等量关系.
【详解】（1）由曲线上任意一点到F（0，1）的距离比到x轴的距离大1，根据抛物线的定义，曲线为以F（0，1）为焦点的抛物线，则曲线：；
设椭圆的方程，由，a＝2，c＝1，，
∴椭圆：；
（2）若存在，由题意设AB方程：y＝kx+2代入，化简得，
设，，则，，①
由于，∴切线MA方程为：，
即，②同理切线MB方程为：，③
由②③得，∴M（2k，-2），
又M（2k，-2）在椭圆上，可得：k＝0，
∴M（0，-2）k＝0代入①有：，，
∴椭圆上存在一点M（0，-2）符合题意，此时两条切线的方程为．
【点睛】本题要证明切点弦过定点，设切点弦的直线方程，得到韦达定理，然后通过切点写出两条切线方程，可以得到交点的坐标，由点的特性可以求出坐标，进而求出切点，写出切线方程．