专题15 圆锥曲线焦点三角形 微点4 圆锥曲线焦点三角形综合训练

这是一份专题15 圆锥曲线焦点三角形 微点4 圆锥曲线焦点三角形综合训练，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题15 圆锥曲线焦点三角形 微点4 圆锥曲线焦点三角形综合训练
专题16 圆锥曲线焦点三角形
微点4 圆锥曲线焦点三角形综合训练
一、单选题
（2022·福建漳州·高二期末）
1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
（2022·福建南平·高二期末）
2．椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（    ）
A．个 B．个 C．个 D．个
（2022·江西鹰潭·高二期末）
3．椭圆C：的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的面积为（    ）
A．48 B．40 C．28 D．24
（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）
4．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（    ）
A．6 B． C．8 D．
（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末）
5．椭圆的左右焦点为､，为椭圆上的一点，，则△的面积为（    ）
A．1 B． C． D．2
（2022北京市第五十七中学高月考）
6．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（    ）
A．离心率 B．的周长为18
C．直线与直线斜率乘积为定值 D．若，则的面积为8
（2022黑龙江·大庆中学高二期末）
7．已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
（2022·山西运城·高二期末）
8．已知点是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ）
A．与双曲线的实轴长相等
B．的面积为
C．双曲线的离心率为
D．直线是双曲线的一条渐近线
（2022·内蒙古赤峰·高三期末）
9．已知双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，的内切圆的圆心为，则（    ）
A． B． C． D．
（2022·广东·执信中学高三阶段练习）
10．已知双曲线C的离心率为是C的两个焦点，P为C上一点，，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022·广西玉林·模拟预测）
11．已知双曲线的左，右焦点为，P为双曲线右支上的一点，，I是的内心，则下列结论错误的是（    ）
A．是直角三角形 B．点I的横坐标为1
C． D．的内切圆的面积为
（2022·天津和平·高二期末）
12．双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
（2022·全国·高三专题练习）
13．是双曲线右支上的一点，，是左，右焦点，，则的内切圆半径为（    ）
A． B．
C． D．
14．设P是双曲线=1(a>0，b>0)上的点，F1､F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2的面积是7，则a+b等于（    ）
A．3+ B．9+ C．10 D．16
15．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（    ）
A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x
二、多选题
16．已知为双曲线（，）右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，是的内心，双曲线的离心率为，，，的面积分别为，，，且，下列结论正确的为（    ）
A． B．
C．在定直线上 D．若，则或
（2022福建福州·高三）
17．已知P是双曲线在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，的面积为．则以下结论正确的是（    ）
A．点P的横坐标为
B．
C．的内切圆半径为1
D．平分线所在的直线方程为
（2022江苏省天一中学高三）
18．已知点P是双曲线的右支上一点，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（     ）
A．点P的横坐标为 B．的周长为
C．大于 D．的内切圆半径为
（2022·广东·模拟预测）
19．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点双曲线C右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（    ）
A．若，则S＝
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为
三、填空题
20．设是椭圆的两个焦点，是C上一点，且满足的面积为则的取值范围是____.
21．设为椭圆:的两个焦点．为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为_____.
22．双曲线的左、右焦点分别为、，点在上且，为坐标原点，则_______．
23．已知椭圆中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
24．已知椭圆C的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，，则此椭圆的标准方程为___________.
四、解答题
25．已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点，椭圆C的另一个焦点是，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆：，动圆P的圆心P在椭圆C上并且与圆外切，直线l是圆P和圆的外公切线，直线l与椭圆C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求三角形F1AB的面积.
26．已知双曲线C的方程为，其左、右焦点分别为，，且，双曲线C的一个焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）P是双曲线C上一点，O是坐标原点，且，求的面积．
（2020·江西南昌市·莲塘实验中学）
27．已知点P是双曲线上的一点，点和为左、右焦点，若．
（1）求的面积；
（2）求点P的坐标．
（2022定远县育才学校高三）
28．已知，分别是双曲线的左､右焦点，P为双曲线右支上除右顶点之外的一点.
（1）若，求的面积
（2）若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆的圆心轨迹方程.
（2022全国高二课时练习）
29．已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点.
（1）求的值；
（2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.





参考答案：
1．B
【分析】求出，可知为等腰三角形，取的中点，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】在椭圆中，，，则，所以，，
由椭圆的定义可得，
取的中点，因为，则，
由勾股定理可得，

所以，.
故选：B.
2．A
【分析】由的面积的最大值时，点P在短轴的顶点处，求得，有，继而有，则有，由此可得选项.
【详解】解：因为的面积的最大值时，点P在短轴的顶点处，所以，即，
又，所以，所以，则，所以，所以此椭圆上使得为直角的点有个，
故选：A.
3．D
【分析】根据给定条件结合椭圆定义求出，再判断形状计算作答.
【详解】椭圆C：的半焦距，长半轴长，由椭圆定义得，
而，且，则有是直角三角形，，
所以的面积为24.
故选：D
4．B
【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出
【详解】解：由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B
5．C
【分析】由椭圆方程可得，结合余弦定理求得，最后根据三角形面积公式求△的面积.
【详解】∵点是椭圆上的一点，､是焦点，
∴，即①，
∵在△中，
∴②，
①-②得：，.
故选：C.
6．D
【分析】根据离心率的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；求出可判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出可判断D.
【详解】由，可得，，，
A，离心率，故A正确；
B，的周长为，故B正确.
C，设，，故C正确；
D，，，
又因为，所以，
即，解得,
所以，故D错误.
故选：D
7．D
【分析】由可得为直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解
【详解】由题意，故为直角三角形，
，
又，
，
又为直角三角形，故，
，
即，
.

故选：D.
8．B
【分析】由题意及双曲线的定义可得，的值，进而可得A不正确，计算可判断B正确，再求出，的关系可得C不正确，求出，的关系，进而求出渐近线的方程，可得D不正确．
【详解】因为，又由题意及双曲线的定义可得：，
则，，所以A不正确；
因为在以为直径的圆上，所以，
所以，所以B正确；
在△中，由勾股定理可得，
即，所以离心率，
所以C不正确；
由C的分析可知：，故，所以渐近线的方程为，
即，所以D不正确；
故选：B．
9．A
【分析】根据题意得，，，，进而在中，利用等面积法得的内切圆的半径，再设的内切圆与边相切于点，进而在中结合勾股定理求解即可.
【详解】解：因为双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，
所以，，，
因为，所以，
设的内切圆的半径为，
则，即，解得，
如图，设的内切圆与边相切于点，则，，
所以，
所以
故选：A

10．B
【分析】根据双曲线的定义，在中，运用余弦定理，并结合和的面积建立方程，解出方程即可
【详解】根据双曲线的定义，可得：
又：
解得：，
双曲线C的离心率为，则有：
在中，由余弦定理，可得：
则有：
的面积为，可得：
解得：
故双曲线C的实轴长为：2
故选：B
11．D
【分析】由双曲线的定义得，，设，由余弦定理可求解，即可判断出，再由等面积法计算内接圆的半径，即可得点的坐标和面积，写出点坐标，利用距离公式可求解出.
【详解】由已知可得，，设，则，得，所以，即，所以，所以A正确；设内接圆半径为，则，得，所以I的坐标为，面积为所以B正确，D错误；由题意，，所以C正确；
故选：D.

12．C
【分析】设，，可得，中再利用余弦定理可得，由面积公式即可求得答案.
【详解】，所以，，，
在双曲线上，设，，
①，
由，在中由余弦定理可得：
，
故②，
由①②可得，
直角的面积.
故选：C.
13．D
【分析】根据双曲线的定义和余弦定理求得，继而有，设的内切圆半径为r，由等面积法可求得答案.
【详解】解：由双曲线定义可得，即，又，由余弦定理得，，
设的内切圆半径为r，则，
.
故选：D.
14．A
【解析】由∠F1PF2=90°，利用三角形的面积公式，椭圆的定义，勾股定理以及离心率分别列出方程，解出．
【详解】由题意，不妨设点P是右支上的一点，|PF1|=m，|PF2|=n，则∴a=3，c=4.
∴b=.∴a+b=3+.
故选：A
15．D
【分析】由M是三角形外心可得，根据圆周角与圆心角关系得∠F1PF2＝，根据余弦定理、双曲线的定义得，由三角形面积公式，即可确定的数量关系，写出渐近线方程即可.
【详解】由△PF1F2的外心M，知：，
∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，
在△中，，而，
∴，即，
∴，而，
∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：利用外接圆的性质求∠F1PF2，由余弦定理、双曲线的定义及三角形面积公式求焦点三角形的面积，进而确定双曲线参数的数量关系.
16．BC
【分析】设三角形内切圆半径为，根据，利用等面积法，可判断选项ABD，利用圆的切线长定理和双曲线的定义可判断选项C；
【详解】如图所示：
设三角形内切圆半径为，因为，则，，，所以，得，故A错误，B选项正确，D选项显然错误；
C选项中，设圆与三边，，切点分别为，，，则，由双曲线定义有，从而.又，，所以，设，，（为双曲线的半焦距），所以，解得，即点在定直线上，所以C选项正确，
故选：BC.
【点睛】关键点点睛；本题关键由内切圆的信息，联想到利用等面积法和切线长定理，结合双曲线的定义而得解.
17．BCD
【分析】求得双曲线的，不妨设，，运用三角形的面积公式求得的坐标，运用两直线的夹角公式可得，由两点间距离公式求得周长，再利用三角形的面积公式和等面积法即可求出，由二倍角的正切公式可求出平分线所在的直线斜率，得出方程.
【详解】双曲线中的，
不妨设，，
的面积为，，解得，
由，可得，故A错误；
由，且，则，
则，即，故B正确；
，则的周长为，
设的内切圆半径为，
则，即，解得，故C正确；
设平分线所在的直线为，
可得，解得，
则平分线所在的直线的方程为，即，故D正确.
故选：BCD.
18．ABD
【分析】设的内心为，连接，设，利用的面积为20，可求得P点坐标；的周长为，借助P点坐标，可得解；利用，可求得，可研究范围；可求得内切圆半径r.
【详解】设的内心为，连接，

双曲线：中的，，，
不妨设，，，
由的面积为20，可得，即，
由，可得，故A符合题意；
由，且，，
则，
则的周长为，故B符合题意；
可得，，
则，
则，故C不符合题意；
设的内切圆半径为，可得，
可得，解得，故D符合题意．
故选：ABD．
【点睛】本题关键借助P点坐标利用弦长公式求得周长，利用斜率求得夹角，用等积法求得内切圆半径.
19．ACD
【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式求解，对于B，由焦点三角形的面积公式求出，再由以双曲线的定义和勾股定理列方程组可求得结果，对于C，当为直角三角形时，求出临界值进行判断，对于D，利用相关点法结合重心坐标公式求解
【详解】由，得，则
焦点三角形的面积公式，将代入可知，故A正确．
当S＝4时，，由，可得，故 B错误．
当时，S＝4，当时，，因为为锐角三角形，所以，故C正确．
设，则，由题设知，则，所以，故D正确．
故选：ACD
20．
【解析】根据的面积列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】依题意，，所以，则，而，所以.由于，，根据二次函数的性质可知：，所以，所以，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
21．0
【分析】因为的内心I的纵坐标为，所以可知道的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，可得到三角形的面积，接着根据焦点三角形的面积确定，进而求出答案.
【详解】如图，

由题意知的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，
即，
又由焦点三角形的面积，
所以，所以，所以.
【点睛】本题主要考查通过焦点三角形的面积公式，确定的余弦值，熟悉公式的运用是解决本题的关键.
22．
【分析】先根据双曲线的焦点三角形公式，求出三角形面积，然后求，把代入，求得，最后根据勾股定理，可得到本题的答案.
【详解】设点，，则，，，又， ，如下图，过点P作x轴垂线，垂足为M，则有，所以，即， ，代入得， ，
.
故答案为：

【点睛】本题主要考查双曲线的焦点三角形问题，主要考查学生的计算能力，难度适中.
23．
【分析】根据椭圆方程求出，由余弦定理和椭圆定义求出，再根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】由，可知a＝2，b＝，所以c＝，从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，
即＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，②
由①②联立可得|PF1|＝.
所以.
故答案为：.
24．
【分析】先利用椭圆的对称性得到四边形为平行四边形，再利用解三角形得到平行四边形的边长，再利用椭圆的定义及的关系进行求解.
【详解】由题意，设椭圆C的方程为 (a＞b＞0)（如图所示），

连接BF2，由椭圆的对称性易得四边形AF1BF2为平行四边形，
由∠AF1B＝120°，得∠F2AF1＝60°，又AF2⊥F1F2，
设|AF2|＝|BF1|＝m(m＞0)，则|F1F2|＝，|AF1|＝2m，
又，
解得，又由，
，
得，，，
所以椭圆C的方程为.
故答案为：.
25．（1）；（2）.
【分析】（1）求出点坐标，根据可求出，点坐标代入椭圆标准方程可求得答案；
（2）由可得到，当圆P的半径最长时，其方程为，l与x轴的交点为Q，由直线与圆相切得到直线的斜率，再根据弦长公式和三角形的面积公式可得答案.
【详解】（1）设椭圆方程（），点M在直线上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点，则点.
.即，，所以，
又，解得
椭圆C的方程为.
（2）设动圆P的半径为R，点P的坐标为，，，
由已知，得，当且仅当圆P的圆心为时，.
所以当圆P的半径最长时，其方程为，
因为直线l是圆P和圆的外公切线，所以直线l的倾斜角不为且不平行于x轴，
设l与x轴的交点为Q，则，可求得，
设l：，由l与圆相切得，解得.
当时，将代入并整理得，，
解得，所以，
当时，由图形的对称性可知.
又点F1到直线l的距离，所以三角形F1AB的面积为.
26．（1）；（2）1.
【分析】（1）由焦距得，由焦点到渐近线的距离为1可得关系，从而求得，再由求得得双曲线方程；
（2）由，得为直角三角形且，结合双曲线的定义求得，从而得三角形面积．
【详解】解：（1）依题意，知，.
不妨设双曲线的右焦点到渐近线的距离为1，渐近线方程即，
则，∴，∴
∴双曲线的标准方程为.
（2）在中，∵是边，上的中线且，
∴为直角三角形且.
∵是双曲线上一点，∴
平方，得，
其中，
∴
∴
27．（1）；（2）或或或.
【解析】（1）利用双曲线定义以及余弦定理，可求解出的值，然后根据三角形的面积公式求解出的面积；
（2）根据，结合（1）的结果，可求解出点的纵坐标，然后将纵坐标代入双曲线方程，则横坐标可求，则点坐标可求.
【详解】（1）由双曲线方程可知：，
因为，且，
所以，所以，
所以；
（2）因为，所以，
所以，所以，所以，
所以点坐标为：或或或.
【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为，焦点为，且，则有：
（1）椭圆的焦点三角形的面积为：（为短轴长度一半）；
（2）双曲线的焦点三角形的面积为：（为虚轴长度一半）.
28．（1）面积为；（2）.
【分析】（1）设，，由双曲线定义得，再由余弦定理得的关系式，两者结合可求得，从而可得三角形面积；
（2）设内切圆与x轴的切点是点H，内切圆的圆心为点M，，与内切圆的切点分别为A，B，根据双曲线的定义可求得，再由椭圆的焦点坐标及双曲线过点求得，即可得轨迹方程．
【详解】解：（1）设，，由双曲线的定义可得，
由余弦定理得，
，
所以，
的面积为.
（2）如图所示，，，

设内切圆与x轴的切点是点H，内切圆的圆心为点M，
，与内切圆的切点分别为A，B，
由双曲线的定义可得，
即，
又，，，
所以，
即.
设点M的横坐标为x，则点H的横坐标为x，
所以，即.
因为双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，
所以，，
所以，，
故内切圆的圆心轨迹方程为.
【点睛】结论点睛：本题考查双曲线的定义的应用，若为双曲线的右支上任一点，是双曲线的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的内切圆圆心是，则轴，若在左支，则轴．
29．（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）根据椭圆和双曲线的焦点即可列出式子求解；
（2）设出直线的方程，与椭圆联立，利用韦达定理可表示出三角形的面积，即可求出最值.
【详解】解：（1）由题意：，
，解得即
（2）由（1）知，曲线，点，
设直线的方程为：，
联立得：，
，又，，
设，
，，
，
面积，
令，，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.