湖北省随州市广水市永阳学校2022-2023学年上学期八年级数学期末模拟卷3(含答案)

这是一份湖北省随州市广水市永阳学校2022-2023学年上学期八年级数学期末模拟卷3(含答案)，共14页。试卷主要包含了下列运算中不正确的是，若x2+x﹣12＝，如图，在平面直角坐标系中，B等内容，欢迎下载使用。
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2022-2023广水市永阳学校八年级数学期末模拟卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；命题人：熊兵
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得 分


一．选择题（共10小题）
1．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠2 D．x＝2
2．下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．新型冠状病毒的直径大约为0.000000125米，0.000000125用科学记数法表示为（　　）
A．0.125×106 B．0.125×10﹣6 C．1.25×107 D．1.25×10﹣7
4．如图，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列运算中不正确的是（　　）
A．3a2•2ab2＝6a3b2 B．（a3）4＝a12
C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 D．a10÷a5＝a2
6．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．若x2+x﹣12＝（x+p）（x+q），则p，q的值分别为（　　）
A．p＝3，q＝4 B．p＝﹣3，q＝4 C．p＝3，q＝﹣4 D．p＝﹣3，q＝﹣4
8．小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（　　）

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
9．有若干个数，第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，…，第n个数记为an，若a1＝﹣，从第2个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数，则a1+a2+a3+a4+…+a359+a360的值是（　　）
A．230 B．350 C．530 D．650
10．如图，在平面直角坐标系中，B（0，1），C（0，﹣1），D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，DM⊥AC于M，BD交AC于点N．下列说法正确的是（　　）
①∠ABD＝∠ACD；②AD平分∠CAE；③AD＝ND；④＝2；

A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．②③④

第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人
得 分


二．填空题（共6小题）
11．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 　 　边形．
12．已知2a＝4，2b＝16，计算2a+b＝　 　．
13．若一个三角形两条边的长分别是3，5，第三条边的长是整数，则该三角形周长的最大值是 　 　．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若∠BAC＝105°，则∠MAN＝　 　．

15．已知关于x的多项式x2+mx+9是一个完全平方式，则常数m的值为 　 　．
16．如图，△ABC与△AB'C'关于直线l对称，连接对称点B和B'、C和C'，分别交l于点D、E，已知∠ABC＝90°，AB＝BC，若BB'＝14，CC'＝8，则AE的长为 　 　．

评卷人
得 分


三．解答题（共8小题）
17．（1）计算：（2m2n﹣1）2÷3m3n﹣5；
（2）解方程：．
18．化简与求值：
（1）（6a2b﹣4ab+2ab2）÷（﹣2ab）；
（2）先化简：（+）÷，再从﹣1、0、1中选一个合适的x的值代入求值．
19．尺规作图（不写作法，但保留作图痕迹）
如图：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝40°
（1）作∠B的平分线交AC于点D；
（2）作BC边上的高AE；
（3）在完成作图后，图中∠CAE＝　 　°．

20．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：AB∥DF．

21．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，直线l经过点C，过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于E．
（1）如图1，求证：
①△ACD≌△CBE；
②AD+BE＝DE．
（2）如图2，AD+BE＝DE还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明．

22．某工厂对零件进行检测，引进了检测机器．已知一台检测机的工作效率相当于一名检测员的12倍．若用这台检测机检测900个零件要比10名检测员检测这些零件少3小时．
（1）求一台零件检测机每小时检测零件多少个？
（2）现有一项零件检测任务，要求不超过8小时检测完成2720个零件．该厂调配了2台检测机和20名检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务？
23．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图（1）中阴影部分的面积为S1，图（2）中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝　 　；S2＝　 　；写出上述过程所揭示的乘法公式：　 　；

（2）直接应用：利用这个公式计算：
①（﹣x﹣y）（y﹣x）；
②102×98；
（3）拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：
（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．
24．（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，并连接CN．求证：
①△BAM≌△CAN，
②AB＝CN+CM．
（2）【类比探究】如图2，在等边△ABC中，若点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，则AB＝CN+CM是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB，CN，CM三者之间的数量关系，并给予证明．



2022-2023广水市永阳学校八年级数学期末模拟卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠2 D．x＝2
【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
2．下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
3．新型冠状病毒的直径大约为0.000000125米，0.000000125用科学记数法表示为（　　）
A．0.125×106 B．0.125×10﹣6 C．1.25×107 D．1.25×10﹣7
【考点】科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000125＝1.25×10﹣7．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．如图，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有
【分析】利用中线定义可得DB＝DC，再表示两个三角形周长，进而可得答案．
【解答】解：∵AD为中线，
∴DB＝DC，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：
（AB+AD+BD）﹣（AD+DC+AC）＝AB+AD+BD﹣AD﹣DC﹣AC＝AB﹣AC＝2020﹣2018＝2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形中线的性质．
5．下列运算中不正确的是（　　）
A．3a2•2ab2＝6a3b2 B．（a3）4＝a12
C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 D．a10÷a5＝a2
【考点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【分析】根据单项式的乘法、幂的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可．
【解答】解：A、3a2•2ab2＝6a3b2，故本选项错误；
B、（a3）4＝a12，故本选项错误；
C、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项错误；
D、a10÷a5＝a5，故本选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
6．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．菁优网版权所有
【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为（x+1）天，快马所需的时间为（x﹣3）天，利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵规定时间为x天，
∴慢马所需的时间为（x+1）天，快马所需的时间为（x﹣3）天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，
∴可列出方程×2＝．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．若x2+x﹣12＝（x+p）（x+q），则p，q的值分别为（　　）
A．p＝3，q＝4 B．p＝﹣3，q＝4 C．p＝3，q＝﹣4 D．p＝﹣3，q＝﹣4
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则解答即可．
【解答】解：∵x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝（x+p）（x+q），
∴p＝﹣3，q＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，掌握十字相乘法因式分解是解此题的关键．
8．小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（　　）

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【考点】完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
【分析】图②的面积可以整体表示为（a+b）2，也可将各部分求和表示为（a﹣b）2+4ab，由此可得此题结果．
【解答】解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，
∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故选：C．
【点评】此题考查对完全平方公式几何意义的理解，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义．
9．有若干个数，第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，…，第n个数记为an，若a1＝﹣，从第2个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数，则a1+a2+a3+a4+…+a359+a360的值是（　　）
A．230 B．350 C．530 D．650
【考点】规律型：数字的变化类；倒数；有理数的混合运算．菁优网版权所有
【分析】根据1与它前面那个数的差的倒数，即an+1＝，即可求得a2，、a3、a4、…，然后根据得到结果出现的规律计算即可．
【解答】解：a1＝﹣；
a2＝＝；
a3＝＝4；
a4＝＝﹣；
…
所以数列以﹣，，4三个数一循环，
∴a1+a2+a3+a4+…+a359+a360＝（﹣）×360÷3＝530，
故选：C．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律
10．如图，在平面直角坐标系中，B（0，1），C（0，﹣1），D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，DM⊥AC于M，BD交AC于点N．下列说法正确的是（　　）
①∠ABD＝∠ACD；②AD平分∠CAE；③AD＝ND；④＝2；

A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．②③④
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【分析】①根据点B和点C的坐标可得OB＝OC，从而可知OD是BC的垂直平分线，可得BD＝CD，再利用等腰三角形的三线合一性质证明∠BDC＝2∠BDO，易得∠BAC＝∠BDC，最后利用三角形内角和证明∠ABD＝∠ACD；
②要证明AD平分∠CAE，想到利用角平分线性质定理的逆定理，所以过D作DF⊥BE于F，只要证明DM＝DF即可，易证△BDF≌△CDM，根据全等三角形的性质得到DM＝DF；
③要使AD＝ND，就要使∠DAN＝∠AND，由②得∠DAE＝∠DAN，而∠DAE＝∠ABD+∠ADB，∠AND＝∠ABD+∠BAC，由①得∠BAC＝∠BDC，所以只要判断∠BDC与∠ADB是否相等即可；
④根据全等三角形的性质得到BF＝CM，易证△AMD≌△AFD，得到AF＝AM，由于BF＝AF+AB＝AM+AB，CM＝AC﹣AM，于是得到AM+AB＝AC﹣AM，求得AC﹣AB＝2AM，于是得到结论．
【解答】解：①∵B（0，1），C（0，﹣1），
∴BO＝CO＝1
∵OD⊥BC，
∴OD是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠BDC＝2∠BDO，
∵∠BAC＝2∠BDO
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ANB＝∠CND，
∴∠ABD＝∠ACD，
故①正确，
②过D作DF⊥BE于F，如图：

∵BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，∠CMD＝∠BFD＝90°
∴△BDF≌△CDM（AAS），
∴DM＝DN，
∴AD是∠CAE的角平分线，
故②正确，
③∵∠AND＝∠ABD+∠BAC，∠BAC＝∠BDC，
∴∠AND＝∠ABD+∠BDC，
∵∠DAE＝∠ABD+∠ADB，∠DAE＝∠DAN，
∴∠DAN＝∠ABD+∠ADB，
∵∠ADB≠∠BDC，
∴∠AND≠∠DAN，
∴AD≠ND，
故③不正确；
④∵DM＝DF，AD＝AD，
∴Rt△AMD≌Rt△AFD（HL），
∴AM＝AF，
∵△BDF≌△CDM，
∴BF＝CM，
∵BF＝AF+AB＝AM+AB，CM＝AC﹣AM，
∴AM+AB＝AC﹣AM，
∴AC﹣AB＝2AM，
∴＝2，
故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 　十二　边形．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，
解得n＝12．
故多边形是十二边形．
【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
12．已知2a＝4，2b＝16，计算2a+b＝　64　．
【考点】同底数幂的乘法．菁优网版权所有
【分析】原式逆用同底数幂的乘方法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵2a＝4，2b＝16，
∴原式＝2a×2b＝4×16＝64，
故答案为：64
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．若一个三角形两条边的长分别是3，5，第三条边的长是整数，则该三角形周长的最大值是 　15　．
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
【解答】解：∵5﹣3＜第三边＜3+5，
即：2＜第三边＜8；
所以最大整数是7，
所以周长的最大值为3+5+7＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若∠BAC＝105°，则∠MAN＝　30°　．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】利用基本作图得到DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，则MA＝MB，NA＝NC，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠MAN．
【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴MA＝MB，NA＝NC，
∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠MAN＝∠BAC﹣∠MAB﹣∠NAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∴∠MAN＝∠BAC﹣（180°﹣∠BAC）＝2∠BAC﹣180°＝2×105°﹣180°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，利用基本作图判断DE、GF分别垂直平分AB和AC是解决问题的关键．
15．已知关于x的多项式x2+mx+9是一个完全平方式，则常数m的值为 　±6　．
【考点】完全平方式．菁优网版权所有
【分析】根据完全平方式的定义解决此题．
【解答】解：∵x2±6x+9是完全平方式，
∴m＝±6．
故答案为：±6．
【点评】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键．
16．如图，△ABC与△AB'C'关于直线l对称，连接对称点B和B'、C和C'，分别交l于点D、E，已知∠ABC＝90°，AB＝BC，若BB'＝14，CC'＝8，则AE的长为 　10　．

【考点】轴对称的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【分析】利用轴对称的性质，全等三角形的性质一一判断即可．
【解答】解：如图，过点C作CT⊥BB′于点T．

∵△ABC与△AB′C′关于直线l对称
∴BD＝B′D＝7，CE＝EC′＝4，
∵∠CTD＝∠TDE＝∠DEC＝90°，
∴四边形CEDT是矩形，
∴DT＝CE＝4，DE＝CT，
∴BT＝BD﹣DT＝7﹣4＝3，
∵∠CTB＝∠BDA＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，∠BCT+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠BCT，
在△BDA和△CTB中，
，
∴△BDA≌△CTB（AAS），
∴CT＝BD＝7，BT＝AD＝3，
∴DE＝CT＝7，
∴AE＝AD+DE＝3+7＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查轴对称变换，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三．解答题（共8小题）
17．（1）计算：（2m2n﹣1）2÷3m3n﹣5；
（2）解方程：．
【考点】解分式方程；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．菁优网版权所有
【分析】（1）本题考查幂的运算和解分式方程的能力，注意积的乘方，幂的乘方同底数幂指数的乘法除法等运算法则．
（2）中的最简公分母为（x﹣2），去分母时不要漏乘常数项，结果要检验．
【解答】解：（1）原式＝4m4n﹣2÷3m3n﹣5＝mn3．
（2）方程两边同乘（x﹣2），得3﹣x﹣2（x﹣2）＝﹣1．
解得：x＝．
经检验：x＝是原方程的解．
【点评】进行幂的运算时要注意运算法则的应用，解分式方程要注意验根．
18．化简与求值：
（1）（6a2b﹣4ab+2ab2）÷（﹣2ab）；
（2）先化简：（+）÷，再从﹣1、0、1中选一个合适的x的值代入求值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】（1）利用多项式除以单项式的运算法则进行计算；
（2）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后结合分式有意义的条件选取合适的x的值，代入求值．
【解答】解：（1）原式＝6a2b÷（﹣2ab）﹣4ab÷（﹣2ab）+2ab2÷（﹣2ab）
＝﹣3a+2﹣b；
（2）原式＝[]•（x+1）（x﹣1）
＝•（x+1）（x﹣1）
＝x2+1，
∵（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x≠±1，
∴x可取0，
此时原式＝02+1＝1．
【点评】本题考查整式的除法运算，分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握多项式除以单项式的运算法则，分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
19．尺规作图（不写作法，但保留作图痕迹）
如图：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝40°
（1）作∠B的平分线交AC于点D；
（2）作BC边上的高AE；
（3）在完成作图后，图中∠CAE＝　20　°．

【考点】作图—复杂作图；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【分析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线即可；
（2）利用基本作图过A点作BC的垂线即可；
（3）先根据三角形高的定义得到∠AEB＝90°，再利用三角形外角性质得到∠ACE＝70°，然后利用互余计算∠CAE的度数．
【解答】解：（1）如图，射线BD即为所求；

（2）如图，线段AE即为所求；
（3）∵AE为BC边的高，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ACE＝∠ABC+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：AB∥DF．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】由SSS证明△ABC≌△DFE即可，由全等三角形的性质得出∠ABC＝∠DFE，证出AB∥DF．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
∴∠ABC＝∠DFE，
∴AB∥DF，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；证明三角形全等是解决问题的关键．
21．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，直线l经过点C，过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于E．
（1）如图1，求证：
①△ACD≌△CBE；
②AD+BE＝DE．
（2）如图2，AD+BE＝DE还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）①证出∠DAC＝∠BCE，根据AAS可证明△ACD≌△CBE；
②由全等三角形的性质可得出结论；
（2）证明△ACD≌△CBE（AAS），由全等三角形的性质可得出AD＝CE，CD＝BE，则可得出结论．
【解答】（1）证明：①∵∠ACB＝90°，AD⊥l于D，BE⊥l于E，
∴∠DAC+∠DCA＝∠BCE+∠DCA，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
②∵△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝AD+BE．

（2）解：（1）中的结论不成立；
新的结论为：DE＝AD﹣BE；
证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ACD+∠BCE，
∴∠DAC＝∠BCE；
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
即DE＝AD﹣BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
22．某工厂对零件进行检测，引进了检测机器．已知一台检测机的工作效率相当于一名检测员的12倍．若用这台检测机检测900个零件要比10名检测员检测这些零件少3小时．
（1）求一台零件检测机每小时检测零件多少个？
（2）现有一项零件检测任务，要求不超过8小时检测完成2720个零件．该厂调配了2台检测机和20名检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）首先设一名检测员每小时检测零件x个，则一台零件检测机每小时检测零件12x个，根据等量关系：10名检测员检测900个零件所用的时间﹣检测机检测900个零件所用的时间＝3小时，列出分式方程，求解即可；
（2）设该厂再调配a台检测机才能完成任务，由不等关系：2台检测机和20名检测员工作8小时检测的零件数+a台检测机工作5小时检测的零件数≥2720个零件，列出不等式，解不等式取最小整数解即可．
【解答】解：（1）设一名检测员每小时检测零件x个，
由题意得：﹣＝3，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是分式方程的解，且符合题意，
则12x＝12×5＝60，
答：一台零件检测机每小时检测零件60个；
（2）设该厂再调配a台检测机才能完成任务，
由题意得：（2×60+20×5）×8+60a×（8﹣3）≥2720，
解得：a≥3.2，
∵a为正整数，
∴a的最小值为4，
答：该厂至少再调配4台检测机才能完成任务．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图（1）中阴影部分的面积为S1，图（2）中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝　a2﹣b2　；S2＝　（a+b）（a﹣b）　；写出上述过程所揭示的乘法公式：　a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　；

（2）直接应用：利用这个公式计算：
①（﹣x﹣y）（y﹣x）；
②102×98；
（3）拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：
（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．
【考点】平方差公式的几何背景；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）配上因式（3﹣1）后，连续利用平方差公式进行计算，得出答案．
【解答】解：（1）图（1）中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2，图（2）中阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此其面积为S2＝（a+b）（a﹣b），由于图1、图2阴影部分的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①原式＝（﹣x﹣y）（﹣x+y）
＝（﹣x）2﹣y2
＝x2﹣y2；
②原式＝（100+2）×（100﹣2）
＝1002﹣22
＝10000﹣4
＝9996
（3）原式＝（3﹣1）（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1
＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1

＝（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1

＝（38﹣1）×（38+1）×（316+1）+1

＝（316﹣1）×（316+1）+1

＝（332﹣1）+1
＝．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积是正确解答的前提．
24．（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，并连接CN．求证：
①△BAM≌△CAN，
②AB＝CN+CM．
（2）【类比探究】如图2，在等边△ABC中，若点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，则AB＝CN+CM是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB，CN，CM三者之间的数量关系，并给予证明．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）①据等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°，证明△BAM≌△CAN；
②根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；
（2）仿照（1）证明△BAM≌△CAN（SAS），得出BM＝CN，则可得出结论．
【解答】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS）；
②∵△BAM≌△CAN，
∴BM＝CN，
∴AB＝BC＝BM+CM＝CN+CM；
（2）解：AB＝CN+CM不成立，AB＝CN﹣CM，
由（1）可知，∠BAC＝∠MAN，
∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∴AB＝BC＝BM﹣CM＝CN﹣CM．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．