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2022-2023学年湖北省武汉市八年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年湖北省武汉市八年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市八年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 下面有个汽车标致图案，其中没有轴对称图形为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 2，3，4
C. 3，4，7 D. 4，5，10
3. 五边形的对角线共有（ ）条
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
4. 如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（ ）
A. 80° B. 40° C. 62° D. 38°
5. 如图，图中x的值为（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 75°
6. 如图，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，BE 与 CD 交于 O，OB＝OC，则图中全等三角形共有（ ）
A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对
7. 在△ABC与△DEF中，下列各组条件，没有能判定这两个三角形全等的是（ ）
A. AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B. AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠F
C. AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D. AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F
8. 已知OD平分∠MON，点A、B、C分别在OM、OD、ON上(点A、B、C都没有与点O重合)，且AB=BC, 则∠OAB与∠BCO的数量关系为（ ）
A ∠OAB+∠BCO=180° B. ∠OAB=∠BCO
C. ∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D. 无法确定
9. 如图，在△ABE中，∠BAE＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝CE，则∠B的度数是( )
A. 45° B. 60° C. 50° D. 55°
10. 如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（ ）
A 35° B. 40° C. 45° D. 50°
二、填 空 题：(每题3分，共18分)
11. 三角形的一边是5，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是________.
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
13. 如图，小明用直尺和圆规作一个角等于已知角，则说明的依据是______．
14. 如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度．
15. 如图△ABO的边OB在x轴上，∠A=2∠ABO，OC平分∠AOB，若AC=2，OA=3，则点B的坐标为_________
16. 已知△ABC中，∠B=30°, AD为高, ∠CAD=30°, CD=3, 则BC=_________
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 已知：△ABC中，∠B=2∠A，∠C=∠A-20°，求∠A的度数.
18. 如图所示，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，连接AC、DF，且AC=DF，BF=CE，求证：AB=DE．
19. 如图，△ABC中,∠A＝60°,P为AB上一点， Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D, PD=DQ,证明：△ABC为等边三角形.
20. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，点M在BC上，AB＝BM，CM＝CD，点N为AD的中点，求证：BN⊥CN．
21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2,1），B（-1,3），C（-3,2）
（1）作出△ABC关于x轴对称的△；
（2）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（3）点P（a，a-2）与点Q关y轴对称，若PQ=8，则点P的坐标为 ；
22. 如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD
求证：(1) △BEF为等腰直角三角形 ；（2) ∠ADC＝∠BDG.
23. 如图，△ABC和△ADE中,AB=AD,AC=AE, ∠BAC＝∠DAE,BC交DE于点O，∠BAD=a.
(1)求证：∠BOD= a.
(2)若AO平分∠DAC, 求证：AC=AD；
(3)若∠C=30°，OE交AC于F,且△AOF为等腰三角形，则a= .
24. 如图，在轴负半轴上，点的坐标为，点在射线上.
（1）求证：点为的中点.
（2）在轴正半轴上有一点，使，求点坐标.
（3）如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，，点为内角平分线的交点，，分别交轴正半轴、轴正半轴于，两点，于点，记的周长为.求证.
2022-2023学年湖北省武汉市八年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 下面有个汽车标致图案，其中没有是轴对称图形为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义以及性质进行判断即可．
【详解】A． 属于轴对称图形，正确；
B． 属于轴对称图形，正确；
C． 没有属于轴对称图形，错误；
D． 属于轴对称图形，正确；
故C．
本题考查了轴对称图形的问题，掌握轴对称图形的定义以及性质是解题的关键．
2. 下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（ ）
A 1，2，3 B. 2，3，4
C. 3，4，7 D. 4，5，10
【正确答案】B
【详解】A. ∵1+2=3，∴ 1，2，3没有能组成三角形；
B. ∵2+3>4, ∴ 2，3，4能组成三角形；
C. ∵3+4=7，∴3，4，7没有能组成三角形；
D. ∵4+5<10, ∴ 4，5，10没有能组成三角形；
故选B.
3. 五边形的对角线共有（ ）条
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】C
【详解】根据多边形的对角线的规律，n边形的一个顶点处有n-3条对称轴，总共有条对角线，故可求五边形的对角线的条数为5条.
故选C.
点睛：此题主要考查了多边形的对角线的条数，利用多边形的对角线的条数的规律：n边形的一个顶点处有n-3条对称轴，总共有条对角线，代入计算即可.
4. 如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（ ）
A. 80° B. 40° C. 62° D. 38°
【正确答案】D
【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，可求∠E=∠B=180°-∠A-∠C=38°．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠C＝62°，
∴∠F＝∠C＝62°，∠D＝∠A＝80°，
∴∠E＝180°−∠D−∠F＝180°−80°−62°＝38°，
故选：D．
此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
5. 如图，图中x的值为（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 75°
【正确答案】B
【详解】由外角的性质得，
x+70=(x+10)+x
解之得
x=60°.
故选B
点睛：本题考查了三角形外角的性质及一元方程的几何应用，根据三角形的一个外角等于和它没有相邻的两个内角的和列方程求解即可.
6. 如图，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，BE 与 CD 交于 O，OB＝OC，则图中全等三角形共有（ ）
A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对
【正确答案】C
【分析】认真观察图形,找着已知条件在图形上的位置,判定方法进行找寻,由OB=OC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,得△BOD≌ΔCOE,进一步得其它三角形全等.
【详解】解:CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,
∠BDO=∠CEO=90,
在△BOD和ΔCOE中,
△BOD≌△COE(AAS).
进一步得△ADO≌△AEO, △ABO≌△ACO，△ABE≌△ACD共4对.
故选C.
主要考查全等三角形的判定,做题时,从已知开始全等的判定方法由易到难逐个找寻,要没有重没有漏.
7. 在△ABC与△DEF中，下列各组条件，没有能判定这两个三角形全等的是（ ）
A. AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B. AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠F
C. AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D. AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F
【正确答案】B
【分析】
【详解】利用全等三角形的判定定理，分析可得：
A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS证明△ABC与△DEF全等；
B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，对应边没有对应，没有能证明△ABC与△DEF全等；
C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA证明△ABC与△DEF全等；
D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS证明△ABC与△DEF全等；
故选B
点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA没有能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8. 已知OD平分∠MON，点A、B、C分别在OM、OD、ON上(点A、B、C都没有与点O重合)，且AB=BC, 则∠OAB与∠BCO的数量关系为（ ）
A. ∠OAB+∠BCO=180° B. ∠OAB=∠BCO
C. ∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D. 无法确定
【正确答案】C
【详解】根据题意画图，可知当C处在C1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO；当点C处在C2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.
故选C.
9. 如图，在△ABE中，∠BAE＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝CE，则∠B的度数是( )
A. 45° B. 60° C. 50° D. 55°
【正确答案】C
【分析】已知MN是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AC=EC，所以∠CAE=∠E，由三角形外角的性质可得∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB=2∠E，在△ABC中，根据三角形的内角和定理求得∠E=25°，即可求得∠B=2∠E=50°.
【详解】∵MN是AE的垂直平分线，
∴AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，
∵AB＝CE，
∴∠B=∠ACB=2∠E，
在△ABC中，∠BAE+∠B+∠E=180°，
∴105°+2∠E+∠E=180°
即∠E=25°.
∴∠B=2∠E=50°.
故选C.
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，求得∠E=25°是解决本题的关键.
10. 如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（ ）
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
【正确答案】A
【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质求解．
【详解】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，∠MPN=110°
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，
同理可得：∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N=∠OP1M，
∴∠P1OP2=180°-110°=70°，
∴∠AOB=35°，
故选A．
考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P1OP2是等腰三角形是．
二、填 空 题：(每题3分，共18分)
11. 三角形的一边是5，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是________.
【正确答案】5
【详解】根据三角形的三边关系，可知第三边的范围为4＜第三边＜6，由于第三边为整数，可求得第三边的长为5.
故答案为5.
点睛：此题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是根据三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，求出第三边的范围即可.
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【正确答案】8
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n-2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案：8．
13. 如图，小明用直尺和圆规作一个角等于已知角，则说明的依据是______．
【正确答案】SSS
【分析】根据作一个角等于已知角的过程可判断，即可得出结论．
【详解】作一个角等于已知角的过程中，，，，
则，判定依据为，故有，
故．
本题考查作一个角等于已知角过程理解及全等三角形的判定，理解作图过程中的相等线段是解题关键．
14. 如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度．
【正确答案】80
【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
15. 如图△ABO的边OB在x轴上，∠A=2∠ABO，OC平分∠AOB，若AC=2，OA=3，则点B的坐标为_________
【正确答案】（5,0）
【详解】如图，过O作OA=OD=3，并连接CD，
由OC为公共边，OC平分∠AOD， 根据SAS判定△AOC≌△DOC，根据全等三角形的性质可得AC=CD=2，∠CDO=∠A=2∠CBO，因此可知∠DCB=∠CBO，再根据等角对等边，可得DC=DB=2，所以OB=2+3=5，即点B的坐标为（5，0）.
故答案为（5，0）.
16. 已知△ABC中，∠B=30°, AD为高, ∠CAD=30°, CD=3, 则BC=_________
【正确答案】12或6
【详解】根据题意，可得如图所示的图形：
当AD在三角形的内部时，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由∠C1AD=30°，AD为高，可得AC1==2C1D=6，然后在△ABC1中，可得BC1=12；
当AD在三角形的外部时，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由∠C2AD=30°，AD为高，可得AC2==2C2D=6，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定与性质可知BC2=6.
故答案为12或6.
点睛：此题主要考查了30°直角三角形的性质，解题时要根据题意分为高在三角形的内部和三角形的外部，两种情况，然后根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质求解即可.
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 已知：△ABC中，∠B=2∠A，∠C=∠A-20°，求∠A的度数.
【正确答案】50°.
【详解】试题分析：根据题意，设∠A的度数为x°，然后分别表示处∠B、∠C，再根据三角形的内角和列方程求解即可.
试题解析：设∠A=x度，则∠B=2x度，∠C=x°-20°，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+x-20=180，
∴x=50，
即∠A=50°.
18. 如图所示，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，连接AC、DF，且AC=DF，BF=CE，求证：AB=DE．
【正确答案】证明见解析
【详解】试题分析：证明三角形△ABC△DEF,可得＝.
试题解析：
证明：∵＝，
∴BC=EF,
∵⊥，⊥，
∴∠B=∠E=90°，AC=DF,
∴△ABC△DEF,
∴AB=DE.
19. 如图，△ABC中,∠A＝60°,P为AB上一点， Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D, PD=DQ,证明：△ABC为等边三角形.
【正确答案】证明见解析.
【详解】试题分析：过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．
试题解析：如图，过P作PE∥BQ交AC于E，
∴∠EPD=∠Q，
在△EPD和△CQD中，
∵
∴△EPD≌△CQD（ASA），
∴PE=CQ，∵PA=CQ，∴PE=PA，∴∠PEA=∠A=60°，
∵PE∥BQ，∴∠PEA=∠ACB=60°∴∠A=∠ACB=∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形.
点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
20. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，点M在BC上，AB＝BM，CM＝CD，点N为AD的中点，求证：BN⊥CN．
【正确答案】证明见解析.
【详解】试题分析：延长BN、CD交于点E，根据同旁内角互补，两直线平行，可证AB∥CD，然后根据平行线的性质得到∠BAD=∠ADE，再根据全等三角形的判定“ASA”证得△ABN≌△EDN，得出BN=EN，AB=DE，进而得到CB=CE，根据等腰三角形的“三线合一”的性质得证.
试题解析：如图，延长BN、CD交于点E，
∵∠ABC=150°，∠BCD=30°，∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，∴∠BAD=∠ADE，
在△ABN和△EDN中，
∵
∴△ABN≌△EDN（ASA），
∴BN=EN，AB=DE，又∵AB=BM，∴DE=BM，
∵CM=CD，∴CB=CE，∵BN=EN，∴CN⊥BN.
21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2,1），B（-1,3），C（-3,2）
（1）作出△ABC关于x轴对称的△；
（2）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（3）点P（a，a-2）与点Q关y轴对称，若PQ=8，则点P的坐标为 ；
【正确答案】（1）见解析；（2）（2，-1），（-1，-3）；（3）（4， 2）或（-4，-6）.
【详解】试题分析：（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（3）先根据对称的性质求出点P的横坐标，进而可得出结论．
(1)如图所示：
（2）点的坐标为（2，-1），点的坐标为 （-1，-3） ；
（3）∵点P（a，a-2）与点Q关y轴对称，PQ=8，
∴a=4或a=−4，
∴a-2=2或a-2=−6，
P的坐标为 （4， 2）或（-4，-6） ；
点睛：本题考查了平面直角坐标系中点的对称特征，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.
22. 如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD
求证：(1) △BEF为等腰直角三角形 ；（2) ∠ADC＝∠BDG.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）连接DE，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出CF=EF，CD=DE，推出CD=ED=BD，根据直角三角形的判定推出△BEF是直角三角形，求出∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°，∠CAF=∠ECB，根据全等三角形的判定定理得出△ACF≌△CBE，根据全等三角形的性质得证；
（2）作∠ACB的平分线交AD于M，根据ASA推出△ACM≌△CBG得出∠ADC=∠M，CD=BM，根据SAS推出△DCM≌△DBG，求出∠M=∠BDG，即可得出答案.
试题解析：（1）连接DE，
∵点E、C关于AD对称，∴AD为CE的垂直平分线，
∴CD=DE，∵D为CB中点，∴CD=DE=DB，
∴∠DCE=∠CED，∠DEB=∠DBE，
∵∠DCE+∠CED+∠DEB+∠DBE=180°，
∴∠CEB=90°，
∵∠ECB+∠ACF=90°，∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠ECB=∠CAF，
在△ACF和△CBE中，
∵
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴CF=BE，右∵CF=EF，∴EF=EB，
∴△EFB为等腰直角三角形.
（2）作∠ACB的平分线交AD于M，
在△ACM和△CBG中，
∵
∴△ACM≌△CBG（ASA），
∴CM=BG，
在△DCM和△DBG中，
∵
∴△DCM≌△DBG（SAS），
∴∠ADC=∠GDB.
23. 如图，△ABC和△ADE中,AB=AD,AC=AE, ∠BAC＝∠DAE,BC交DE于点O，∠BAD=a.
(1)求证：∠BOD= a.
(2)若AO平分∠DAC, 求证：AC=AD；
(3)若∠C=30°，OE交AC于F,且△AOF为等腰三角形，则a= .
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）40°或20°
【分析】（1）根据全等三角形的判定“SAS”证得△ABC≌△ADE，然后根据全等的性质，可得∠B=∠D，再根据三角形的内角和定理得证结论；
（2）过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N，由（1）知△ABC≌△ADE，根据全等三角形的面积相等，证得AM=AN，从而AO为∠DAC的平分线，根据ASA证得△ABO≌△AEO，可得AB=AE，然后得证；
（3）由题意可分为OA=OF和OA=AF两种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）在△ABC和△ADE中，
∵
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠B=∠D，
∴∠BOD=∠BAD=α，
（2）过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N，
∵△ABC≌△ADE，
∴S△ABC=S△ADE，
∴，
∵BC=DE，
∴AM=AN，
∴AO平分∠BOE，
∵AO平分∠DAC，
∴∠DAO=∠，
∴∠BAO=∠EAO，
在△ABO和△AEO中，
∵
∴△ABO≌△AEO（ASA），
∴AB=AE，
∵AB=AD，AC=AE，
∴AC=AD，
（3）当AO=AF时，a=40°，
当OA=OF时，a=20°，
故答案为40°或20°.
24. 如图，在轴负半轴上，点坐标为，点在射线上.
（1）求证：点为的中点.
（2）在轴正半轴上有一点，使，求点的坐标.
（3）如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，，点为的内角平分线的交点，，分别交轴正半轴、轴正半轴于，两点，于点，记的周长为.求证.
【正确答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.
【分析】（1）过点作轴于点.根据B、E两点坐标，证得≌，即有，，故为的中点.
（2）过点作交的延长线于点，过点作轴于点，易证≌，得到D点坐标，设的坐标为，利用建立方程，解方程即可
（3）连接，，易证≌，得到和，由角平分线性质，求得，再过点作于点，在上截取，可证≌与≌，得到，得到周长
【详解】（1）过点作轴于点.∵，，
∴，∴≌，
∴，∴为的中点.
（2）过点作交的延长线于点，过点作轴于点，
∵，
∴，∴可证≌，∴的坐标为，
设的坐标为，∵，
∴，∴，∴.
（3）连接，，∵点为内角平分线的交点，
∴平分，平分.
∴≌.∴.同理可得.
∵平分，平分，，∴.
∴.∴.
过点作于点，在上截取，可证≌.
∴，，∴，可证≌.
∴.
∴.
即.
本题主要考查全等三角形的证明与性质，涉及等角等边代换，难度较大，本题的关键在于能够正确做出辅助线，找到全等三角形.
2022-2023学年湖北省武汉市八年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、精心选择，一锤定音（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. 2a2+a=3a3 B. （-a）3•a2=-a6 C. （-a）2÷a=a D. （2a2）3=6a6
3. 在长为10cm，7cm，5cm，3cm的四根木条，选其中三根组成三角形，则能组成三角形的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若点P（，3）与点Q（1，）关于y轴对称，则（ ）.
A. B. C. D.
5. 若分解因式结果是，则=( )
A. 1 B. C. D. 2
6. 如图，AC与BD相交于点O，∠D=∠C，添加下列哪个条件后，仍没有能使△ADO≌△BCO的是（ ）
A. AD=BC B. AC=BD C. OD=OC D. ∠ABD=∠BAC
7. 如果多项式x+1与x2-bx+c的乘积中既没有含x2项，也没有含x项，则b， c的值是（ ）
A. b=c=1 B. b=c=-1 C. b=c=0 D. b=0, c=1
8. 如图，在△ABE中，∠BAE＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝CE，则∠B的度数是( )
A. 45° B. 60° C. 50° D. 55°
9. 如图，OM平分∠AOB，MCOA，MD⊥OA于D，若∠OMD=75°，MC=8，则MD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上，且∠DOE=90°，DE交OC于P，下列结论：① AD=CE②∠CDO=∠BEO③OC=DC+CE④ AD+BE=DE ⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍．其中正确的个数有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、细心填一填，试试自己的身手（共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 一个多边形内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是________．
12. 若是一个完全平方式，则k=___________．
13. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD=AD ，AB=BD，则∠B的度数为__________．
14. 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式_____________________．
15. 如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为______
16. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．
三、用心做一做，显显自己的能力！（共8小题，满分72分）
17. 计算与化简
（1）(-4ab3)(-ab) - (-ab2)2 （2）(3x+2)(3x-2)﹣5x(x-1)﹣(2x-1)2
18. 分解因式：
（1）2ma2﹣8mb2． （2） 3x3+12x2+12x
19. 已知，，求：(1) ；(2).
20. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在y轴上找出一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，找出一点A2，使△A2BC与△ABC关于直线BC对称，直接写出点A2的坐标．
21. 如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N．
（1）求证：△ANC等腰三角形；
（2）试判断BN与CD数量关系，并说明理由．
22. 如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
23. 已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
(1)如图1，若点O在边BC上，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：AB=AC；
(2)如图，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
(3)若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．
24. 如图（1），直线AB与x轴负半轴、y轴的正半轴分别交于A、B、OA、OB的长分别为a、b，且满足a2﹣2ab+b2=0．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图（2）过坐标原点作直线OQ交直线AB于第二象限于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ、BN⊥OQ，若AM=7，BN=4，求MN的长；
（3）如图（3），E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角三角形ADE，P为BE的中点，延长DP至F，使PF=DP，连结PO，BF，试问DF、PO是否存在确定的位置关系和数量关系？写出你的结论并证明．
2022-2023学年湖北省武汉市八年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、精心选择，一锤定音（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、没有是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、没有是轴对称图形，故本选项错误；
D、没有是轴对称图形，故本选项正确．
故选B．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. 2a2+a=3a3 B. （-a）3•a2=-a6 C. （-a）2÷a=a D. （2a2）3=6a6
【正确答案】C
【详解】试题分析： A、2a2与a没有是同类项，没有能合并，错误；
B、（-a）3•a2=-a5，错误；
C、（-a）2÷a=a，正确；
D、（2a2）3=8a6，错误；
故选C．
考点：1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法；4．幂的乘方与积的乘方．
3. 在长为10cm，7cm，5cm，3cm的四根木条，选其中三根组成三角形，则能组成三角形的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【分析】根据任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形．
【详解】依题意，有以下四种可能：
（1）选其中10cm，7cm，5cm三条线段符合三角形的成形条件，能组成三角形
（2）选其中10cm，7cm，3cm 三条线段没有符合三角形的成形条件，没有能组成三角形
（3）选其中10cm，5cm，3cm 三条线段没有符合三角形的成形条件，没有能组成三角形
（4） 选其中7cm，5cm，3cm 三条线段符合三角形的成形条件，能组成三角形
综上，能组成三角形的个数为2个
故选：B．
本题考查了三角形的三边关系定理，熟记三边关系定理是解题关键．
4. 若点P（，3）与点Q（1，）关于y轴对称，则（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】∵点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称，
∴m=-1，n=3.
故选C.
点睛：点P关于轴的对称点的坐标为；关于轴的对称点的坐标为；关于原点的对称点的坐标为.
5. 若分解因式的结果是，则=( )
A. 1 B. C. D. 2
【正确答案】C
【分析】根据因式分解的结果，利用多项式乘以多项式法则化简，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值．
详解】解：∵x2+mx+n
=（x+2）（x﹣1）
=x2+x﹣2，
∴m=1，n=﹣2，
则m+n=1﹣2=﹣1，
故选：C．
本题考查了因式分解-十字相乘法，解题的关键是掌握利用因式分解求解一元二次方程．
6. 如图，AC与BD相交于点O，∠D=∠C，添加下列哪个条件后，仍没有能使△ADO≌△BCO的是（ ）
A. AD=BC B. AC=BD C. OD=OC D. ∠ABD=∠BAC
【正确答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项进行判断即可.
【详解】由题意可知，在△ADO和△BCO中，已经有：∠D=∠C，∠AOD=∠BOC，各选项中添加的条件可知：
A选项中，当添加AD=BC后，已有条件，可由“AAS”证得△ADO≌△BCO；
B选项中，当添加AC=BD后，已有条件，没有能证明△ADO≌△BCO；
C选项中，当添加OD=OC后，已有条件，可由“ASA”证得△ADO≌△BCO；
D选项中，当添加∠ABD=∠BAC后，已有条件，可先证得△ABD≌△BAC，从而得到AD=BC，再由“AAS”可证得△ADO≌△BCO；
故选B.
7. 如果多项式x+1与x2-bx+c的乘积中既没有含x2项，也没有含x项，则b， c的值是（ ）
A. b=c=1 B. b=c=-1 C. b=c=0 D. b=0, c=1
【正确答案】A
【详解】∵，
∴由题意可得： ，解得： ，
即.
故选A.
点睛：多项式中没有含某个项，则说明该项的系数为0.
8. 如图，在△ABE中，∠BAE＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝CE，则∠B的度数是( )
A. 45° B. 60° C. 50° D. 55°
【正确答案】C
【分析】已知MN是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AC=EC，所以∠CAE=∠E，由三角形外角的性质可得∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB=2∠E，在△ABC中，根据三角形的内角和定理求得∠E=25°，即可求得∠B=2∠E=50°.
【详解】∵MN是AE的垂直平分线，
∴AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，
∵AB＝CE，
∴∠B=∠ACB=2∠E，
在△ABC中，∠BAE+∠B+∠E=180°，
∴105°+2∠E+∠E=180°
即∠E=25°.
∴∠B=2∠E=50°.
故选C.
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，求得∠E=25°是解决本题的关键.
9. 如图，OM平分∠AOB，MCOA，MD⊥OA于D，若∠OMD=75°，MC=8，则MD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】C
【分析】作ME⊥OB于E，根据MD⊥OA，求出∠MOD=15°，根据角平分线的定义，求出∠AOB的度数，根据平行线的性质得到∠ECM=∠AOB=30°，根据直角三角形的性质求出EM，根据角平分线的性质，即可求解．
【详解】解：如图，作ME⊥OB于E，
∵MD⊥OA，∠OMD=75°，
∴∠MOD=15°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠MOD=30°，
∵MCOA，
∴∠ECM=∠AOB=30°，
∴EM=MC=4，
∵OM平分∠AOB，MD⊥OA，ME⊥OB，
∴MD=ME=4．
故选：C．
本题主要考查了含30度角的直角三角形，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
10. 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上，且∠DOE=90°，DE交OC于P，下列结论：① AD=CE②∠CDO=∠BEO③OC=DC+CE④ AD+BE=DE ⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍．其中正确的个数有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，
∴∠A=∠B=45°，CO⊥AB，∠OCE=∠ACB=45°，CO=AB=AO，
∴∠A=∠OCE，∠AOD+∠DOC=∠AOC=90°，
又∵∠COE+∠DOC=∠DOE=90°，
∴∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE，
∴AD=CE（故①正确），∠ADO=∠CEO，
∴DC+CE=DC+AD=AC>OC（故③错误），∠CDO=∠BEO（故②正确）；
∵AC=BC，AD=CE，
∴DC=BE，
∴AD+BE=DC+CE>DE（故④错误）；
∵△AOD≌△COE，
∴S四边形DOEC=S△COE+S△COD=S△AOD+S△COD=S△ACO=S△ABC，
∴S△ABC=2 S四边形DOEC（故⑤正确）.
综上所述，正确的结论共有3个.
故选C.
二、细心填一填，试试自己的身手（共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 一个多边形内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是________．
【正确答案】十
【分析】设这个多边形有条边，则其内角和为 外角和为再根据题意列方程可得答案．
【详解】解：设这个多边形有条边，则其内角和为 外角和为
故十．
本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握利用多边形的内角和与外角和定理列一元方程解决问题是解题的关键．
12. 若是一个完全平方式，则k=___________．
【正确答案】±8
【分析】根据平方项可知是x和4的完全平方式，再根据完全平方公式的乘积二倍项列式求解即可．
【详解】解：∵x2+kx+16是一个完全平方式，
∴kx＝±2×4•x，
解得k＝±8．
故±8．
本题考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是求解的关键．
13. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD=AD ，AB=BD，则∠B的度数为__________．
【正确答案】36°
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，
故36°．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
14. 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式_____________________．
【正确答案】a2-b2=(a+b)(a-b)
【详解】因为左图阴影部分的面积是由大正方形的面积减去小正方形的面积,即为,
右图阴影部分的面积可利用梯形的面积公式可得:,故答案为:.
15. 如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为______
【正确答案】120°或75°或30°##120°或30°或75°##75°或120°或30°##75°或30°或120°##30°或75°或120°##30°或120°或75°
【分析】根据当△OPD是等腰三角形,分三种情况讨论进而根据等腰三角形的性质即可求得∠ ODP的度数
详解】解：∵∠AOB=60° ，OC平分∠AOB，∴∠AOC= 30°，
①当D在D1处时，OD=PD，
∴∠AOP=∠OPD= 30° ，
∴∠ODP= 180°-30°-30°= 120°；
②当D在D2处时，OP=OD，
则∠OPD=∠ODP=×（180°-30°）= 75°；
③当D在D3处时，OP=DP，
则∠ODP=∠AOP= 30°．
综上，当△OPD是等腰三角形时，∠ ODP的度数为120°或75°或30°．
本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
16. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．
【正确答案】8
【分析】连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM＋DM＝AM＋DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB＋DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
【详解】解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM＋MD＝MD＋AM．
∴当点M位于点M′处时，MB＋MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB＋AD＝2＋6＝8,
故8．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．
三、用心做一做，显显自己的能力！（共8小题，满分72分）
17. 计算与化简
（1）(-4ab3)(-ab) - (-ab2)2 （2）(3x+2)(3x-2)﹣5x(x-1)﹣(2x-1)2
【正确答案】（1）；（2）9x-5.
【详解】试题分析：
（1）按单项式乘法法则和正整数指数幂的运算性质计算即可；
（2）按多项式的乘法法则乘法公式计算即可；
试题解析：
（1）原式=；
（2）原式=
=
=.
18. 分解因式：
（1）2ma2﹣8mb2． （2） 3x3+12x2+12x
【正确答案】（1）2m(a+2b)(a-2b)；(2)3x(x+2)2.
【详解】试题分析：
（1）先提公因式，再用平方差公式分解即可；
（2）先提公因式，再用完全平方公式分解即可；
试题解析：
（1）原式=；
（2）原式=.
19. 已知，，求：(1) ；(2).
【正确答案】(1)25;(2)±7.
【详解】试题分析：
（1）由“完全平方公式”变形，把化为：即可利用已知条件求出的值；
（1）由“完全平方公式”可得：，先求出的值，再开方即可求得的值.
试题解析：
（1）∵，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴.
20. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在y轴上找出一点P，使得PA+PB值最小，直接写出点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，找出一点A2，使△A2BC与△ABC关于直线BC对称，直接写出点A2的坐标．
【正确答案】(1)作图见解析；（2）P（0，2.5）；（3）A2（-6，0）．
【分析】（1）在坐标系中分别画出点A、B、C的对称点A1、B1、C1，再顺次连接三点就可得所求三角形；
（2）连接AB1与y轴相交，交点即为所求的点P，然后利用点A、B1的坐标求出直线AB1的解析式，即可求得点P的坐标；
（3）画出点A关于直线BC的对称点A2，再连接A2C和A2B即可得到所求三角形，根据图形写出点A2的坐标即可；
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1为所求三角形；
（2）由（1）可知，点B、B1关于y轴对称；连接A、B1交y轴于点P，则点P为所求点，
设直线AB1的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-1，5），B1（1，0），
∴ ，解得，
∴直线AB1的解析式为：y=-x+，
∴P（0，2.5）；
（3）如上图所示，点A2为所求点，其坐标为：（-6，0）．
21. 如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N．
（1）求证：△ANC为等腰三角形；
（2）试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）BN=CD，理由见解析.
【详解】试题分析：
（1）由AD平分∠BAC交BC于D，可得∠DAB=∠DAC；由CN⊥AD交AD于H可得∠AHN=∠AHC=90°；两者由三角形内角和定理可得∠ANH=∠ACH，即可得AN=AC，从而得到△ANC是等腰三角形；
（2）连接DN，先证△AND≌△ACD，得到DN=DC，∠AND=∠ACD=2∠B=∠B+∠NDB，从而可得DN=BN，由此即可得到CD=BN.
试题解析：
（1）∵CN⊥AD，
∴∠AHN=∠AHC=90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠NAH=∠CAH，
又∵在△ANH和△ACH中
∠AHN+∠NAH+∠ANH=180°，∠AHC+∠CAH+∠ACH=180°
∴∠ANH=∠ACH，
∴AN=AC，
∴△ANC为等腰三角形；
（2）BN=CD，理由如下：如图：连接ND
∵△AND和△ACD中： ，
∴△AND≌△ACD（ASA），
∴DN=DC，∠AND=∠ACD，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠AND=2∠B
又∵△BND中，∠AND=∠B+∠NDB，
∴∠B=∠NDB，
∴=ND，
∴BN=CD．
22. 如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
【正确答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论．
【详解】（1）证明：平分
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB，
；
②，
平分
（2）
理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE，
，∠DBC=∠ABC，
又
又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，
∴．
本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键．
23. 已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
(1)如图1，若点O在边BC上，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：AB=AC；
(2)如图，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
(3)若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）没有一定成立，见解析．
【分析】（1）求证AB=AC，就是求证∠B=∠C， 利用斜边直角边定理（HL）证明Rt△OEB≌Rt△OFC即可；
（2）首先得出Rt△OEB≌Rt△OFC，则∠OBE=∠OCF，由等边对等角得出∠OBC=∠OCB，进而得出∠ABC=∠ACB，由等角对等边即可得AB=AC；
（3）没有一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，AB≠AC．
【详解】（1）证明： ∵点O在边BC上，OE⊥AB，OF⊥AC，点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（3）解：没有一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC，否则AB≠AC．（如示例图）
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
24. 如图（1），直线AB与x轴负半轴、y轴的正半轴分别交于A、B、OA、OB的长分别为a、b，且满足a2﹣2ab+b2=0．
（1）判断△AOB形状；
（2）如图（2）过坐标原点作直线OQ交直线AB于第二象限于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ、BN⊥OQ，若AM=7，BN=4，求MN的长；
（3）如图（3），E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角三角形ADE，P为BE的中点，延长DP至F，使PF=DP，连结PO，BF，试问DF、PO是否存在确定的位置关系和数量关系？写出你的结论并证明．
【正确答案】（1）△AOB是等腰直角三角形；（2）3；（3）OP=DF，OP⊥DF．证明见解析.
【分析】（1）由a2﹣2ab+b2=0可得a=b，从而可得OA=OB，∠AOB=90°可得△AOB是等腰直角三角形；
（2）由已知条件易证△AMO≌△O，由此可得ON=AM=7，OM=BN=4，从而可得：MN=ON-OM=7-4=3；
（3）如下图，连接OD，OF，由已知条件易证△BPF≌△EPD，由此可得：BF=ED，∠FBP=∠DEP，△AED是等腰直角三角形及其它已知条件可证得：BF=AD，∠FBO=∠DAO=90°，AO=BO可证得：△FBO≌△DAO从而可得∠FOB=∠DOA，OD=OF，进一步可证得∠DOF=90°，由此可得△DOF是等腰直角三角形，而OP是其斜边DF上的中线，故可得OP=DF，OP⊥DF.
【详解】（1）△AOB是等腰直角三角形，理由如下：
∵a2-2ab+b2=0
∴（a-b）2=0，
∴a=b，即OA=OB
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形
（2）解：∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠O=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
又∵∠MAO+∠MOA=90°，
∴∠MAO=∠BON，
在△AMO和△O中： ，
∴△AMO≌△O（AAS），
∴ON=AM=7，OM=BN=4，
∴MN=ON-OM=7-4=3；
（3）OP=DF，OP⊥DF，理由如下：
连接OD，OF，
∵P为BE的中点，
∴BP=EP，
在△BPF和△EPD中
∴△BPF≌△EPD（SAS）
∴BF=ED，∠FBP=∠DEP，
又∵△AED是等腰直角三角形，
∴AD=ED，∠DEA=∠DAE=45°，
∴BF=AD，
∴∠FBP=∠DEP=180°-45°=135°，
又∵△AOB和△ADE是等腰直角三角形，
∴OB=OA，∠DEA=∠DAE=45°，
∴BF=AD，
∴∠FBO=∠FBP-∠ABO=135°-45°=90°，
∠DAO=∠DAE+∠BAO=45°+45°=90°，
∴∠FBO=∠DAO=90°，
在△FBO和△DAO中
∴△FBO≌△DAO（SAS）
∴∠FOB=∠DOA，OD=OF，
∴∠DOF=∠DOB+∠BOF=∠DOB+∠DOA=∠AOB=90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
又∵PF=DP，
∴OP=DF，OP⊥DF．
本题第3问的解题关键是由“点P在DF上，要讨论OP与DF的位置及数量关系”想到连接OD、OF构造出△DOF，然后由已知条件通过证△BPF≌△EPD，△FBO≌△DAO来证明△DOF是等腰直角三角形来得到结论.
2022-2023学年湖北省武汉市八年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 下面有个汽车标致图案，其中没有轴对称图形为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 2，3，4
C. 3，4，7 D. 4，5，10
3. 五边形的对角线共有（ ）条
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
4. 如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（ ）
A. 80° B. 40° C. 62° D. 38°
5. 如图，图中x的值为（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 75°
6. 如图，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，BE 与 CD 交于 O，OB＝OC，则图中全等三角形共有（ ）
A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对
7. 在△ABC与△DEF中，下列各组条件，没有能判定这两个三角形全等的是（ ）
A. AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B. AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠F
C. AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D. AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F
8. 已知OD平分∠MON，点A、B、C分别在OM、OD、ON上(点A、B、C都没有与点O重合)，且AB=BC, 则∠OAB与∠BCO的数量关系为（ ）
A ∠OAB+∠BCO=180° B. ∠OAB=∠BCO
C. ∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D. 无法确定
9. 如图，在△ABE中，∠BAE＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝CE，则∠B的度数是( )
A. 45° B. 60° C. 50° D. 55°
10. 如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（ ）
A 35° B. 40° C. 45° D. 50°
二、填 空 题：(每题3分，共18分)
11. 三角形的一边是5，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是________.
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
13. 如图，小明用直尺和圆规作一个角等于已知角，则说明的依据是______．
14. 如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度．
15. 如图△ABO的边OB在x轴上，∠A=2∠ABO，OC平分∠AOB，若AC=2，OA=3，则点B的坐标为_________
16. 已知△ABC中，∠B=30°, AD为高, ∠CAD=30°, CD=3, 则BC=_________
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 已知：△ABC中，∠B=2∠A，∠C=∠A-20°，求∠A的度数.
18. 如图所示，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，连接AC、DF，且AC=DF，BF=CE，求证：AB=DE．
19. 如图，△ABC中,∠A＝60°,P为AB上一点， Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D, PD=DQ,证明：△ABC为等边三角形.
20. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，点M在BC上，AB＝BM，CM＝CD，点N为AD的中点，求证：BN⊥CN．
21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2,1），B（-1,3），C（-3,2）
（1）作出△ABC关于x轴对称的△；
（2）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（3）点P（a，a-2）与点Q关y轴对称，若PQ=8，则点P的坐标为 ；
22. 如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD
求证：(1) △BEF为等腰直角三角形 ；（2) ∠ADC＝∠BDG.
23. 如图，△ABC和△ADE中,AB=AD,AC=AE, ∠BAC＝∠DAE,BC交DE于点O，∠BAD=a.
(1)求证：∠BOD= a.
(2)若AO平分∠DAC, 求证：AC=AD；
(3)若∠C=30°，OE交AC于F,且△AOF为等腰三角形，则a= .
24. 如图，在轴负半轴上，点的坐标为，点在射线上.
（1）求证：点为的中点.
（2）在轴正半轴上有一点，使，求点坐标.
（3）如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，，点为内角平分线的交点，，分别交轴正半轴、轴正半轴于，两点，于点，记的周长为.求证.
2022-2023学年湖北省武汉市八年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 下面有个汽车标致图案，其中没有是轴对称图形为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义以及性质进行判断即可．
【详解】A． 属于轴对称图形，正确；
B． 属于轴对称图形，正确；
C． 没有属于轴对称图形，错误；
D． 属于轴对称图形，正确；
故C．
本题考查了轴对称图形的问题，掌握轴对称图形的定义以及性质是解题的关键．
2. 下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（ ）
A 1，2，3 B. 2，3，4
C. 3，4，7 D. 4，5，10
【正确答案】B
【详解】A. ∵1+2=3，∴ 1，2，3没有能组成三角形；
B. ∵2+3>4, ∴ 2，3，4能组成三角形；
C. ∵3+4=7，∴3，4，7没有能组成三角形；
D. ∵4+5<10, ∴ 4，5，10没有能组成三角形；
故选B.
3. 五边形的对角线共有（ ）条
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】C
【详解】根据多边形的对角线的规律，n边形的一个顶点处有n-3条对称轴，总共有条对角线，故可求五边形的对角线的条数为5条.
故选C.
点睛：此题主要考查了多边形的对角线的条数，利用多边形的对角线的条数的规律：n边形的一个顶点处有n-3条对称轴，总共有条对角线，代入计算即可.
4. 如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（ ）
A. 80° B. 40° C. 62° D. 38°
【正确答案】D
【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，可求∠E=∠B=180°-∠A-∠C=38°．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠C＝62°，
∴∠F＝∠C＝62°，∠D＝∠A＝80°，
∴∠E＝180°−∠D−∠F＝180°−80°−62°＝38°，
故选：D．
此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
5. 如图，图中x的值为（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 75°
【正确答案】B
【详解】由外角的性质得，
x+70=(x+10)+x
解之得
x=60°.
故选B
点睛：本题考查了三角形外角的性质及一元方程的几何应用，根据三角形的一个外角等于和它没有相邻的两个内角的和列方程求解即可.
6. 如图，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，BE 与 CD 交于 O，OB＝OC，则图中全等三角形共有（ ）
A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对
【正确答案】C
【分析】认真观察图形,找着已知条件在图形上的位置,判定方法进行找寻,由OB=OC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,得△BOD≌ΔCOE,进一步得其它三角形全等.
【详解】解:CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,
∠BDO=∠CEO=90,
在△BOD和ΔCOE中,
△BOD≌△COE(AAS).
进一步得△ADO≌△AEO, △ABO≌△ACO，△ABE≌△ACD共4对.
故选C.
主要考查全等三角形的判定,做题时,从已知开始全等的判定方法由易到难逐个找寻,要没有重没有漏.
7. 在△ABC与△DEF中，下列各组条件，没有能判定这两个三角形全等的是（ ）
A. AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B. AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠F
C. AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D. AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F
【正确答案】B
【分析】
【详解】利用全等三角形的判定定理，分析可得：
A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS证明△ABC与△DEF全等；
B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，对应边没有对应，没有能证明△ABC与△DEF全等；
C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA证明△ABC与△DEF全等；
D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS证明△ABC与△DEF全等；
故选B
点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA没有能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8. 已知OD平分∠MON，点A、B、C分别在OM、OD、ON上(点A、B、C都没有与点O重合)，且AB=BC, 则∠OAB与∠BCO的数量关系为（ ）
A. ∠OAB+∠BCO=180° B. ∠OAB=∠BCO
C. ∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D. 无法确定
【正确答案】C
【详解】根据题意画图，可知当C处在C1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO；当点C处在C2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.
故选C.
9. 如图，在△ABE中，∠BAE＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝CE，则∠B的度数是( )
A. 45° B. 60° C. 50° D. 55°
【正确答案】C
【分析】已知MN是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AC=EC，所以∠CAE=∠E，由三角形外角的性质可得∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB=2∠E，在△ABC中，根据三角形的内角和定理求得∠E=25°，即可求得∠B=2∠E=50°.
【详解】∵MN是AE的垂直平分线，
∴AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，
∵AB＝CE，
∴∠B=∠ACB=2∠E，
在△ABC中，∠BAE+∠B+∠E=180°，
∴105°+2∠E+∠E=180°
即∠E=25°.
∴∠B=2∠E=50°.
故选C.
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，求得∠E=25°是解决本题的关键.
10. 如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（ ）
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
【正确答案】A
【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质求解．
【详解】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，∠MPN=110°
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，
同理可得：∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N=∠OP1M，
∴∠P1OP2=180°-110°=70°，
∴∠AOB=35°，
故选A．
考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P1OP2是等腰三角形是．
二、填 空 题：(每题3分，共18分)
11. 三角形的一边是5，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是________.
【正确答案】5
【详解】根据三角形的三边关系，可知第三边的范围为4＜第三边＜6，由于第三边为整数，可求得第三边的长为5.
故答案为5.
点睛：此题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是根据三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，求出第三边的范围即可.
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【正确答案】8
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n-2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案：8．
13. 如图，小明用直尺和圆规作一个角等于已知角，则说明的依据是______．
【正确答案】SSS
【分析】根据作一个角等于已知角的过程可判断，即可得出结论．
【详解】作一个角等于已知角的过程中，，，，
则，判定依据为，故有，
故．
本题考查作一个角等于已知角过程理解及全等三角形的判定，理解作图过程中的相等线段是解题关键．
14. 如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度．
【正确答案】80
【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
15. 如图△ABO的边OB在x轴上，∠A=2∠ABO，OC平分∠AOB，若AC=2，OA=3，则点B的坐标为_________
【正确答案】（5,0）
【详解】如图，过O作OA=OD=3，并连接CD，
由OC为公共边，OC平分∠AOD， 根据SAS判定△AOC≌△DOC，根据全等三角形的性质可得AC=CD=2，∠CDO=∠A=2∠CBO，因此可知∠DCB=∠CBO，再根据等角对等边，可得DC=DB=2，所以OB=2+3=5，即点B的坐标为（5，0）.
故答案为（5，0）.
16. 已知△ABC中，∠B=30°, AD为高, ∠CAD=30°, CD=3, 则BC=_________
【正确答案】12或6
【详解】根据题意，可得如图所示的图形：
当AD在三角形的内部时，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由∠C1AD=30°，AD为高，可得AC1==2C1D=6，然后在△ABC1中，可得BC1=12；
当AD在三角形的外部时，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由∠C2AD=30°，AD为高，可得AC2==2C2D=6，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定与性质可知BC2=6.
故答案为12或6.
点睛：此题主要考查了30°直角三角形的性质，解题时要根据题意分为高在三角形的内部和三角形的外部，两种情况，然后根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质求解即可.
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 已知：△ABC中，∠B=2∠A，∠C=∠A-20°，求∠A的度数.
【正确答案】50°.
【详解】试题分析：根据题意，设∠A的度数为x°，然后分别表示处∠B、∠C，再根据三角形的内角和列方程求解即可.
试题解析：设∠A=x度，则∠B=2x度，∠C=x°-20°，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+x-20=180，
∴x=50，
即∠A=50°.
18. 如图所示，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，连接AC、DF，且AC=DF，BF=CE，求证：AB=DE．
【正确答案】证明见解析
【详解】试题分析：证明三角形△ABC△DEF,可得＝.
试题解析：
证明：∵＝，
∴BC=EF,
∵⊥，⊥，
∴∠B=∠E=90°，AC=DF,
∴△ABC△DEF,
∴AB=DE.
19. 如图，△ABC中,∠A＝60°,P为AB上一点， Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D, PD=DQ,证明：△ABC为等边三角形.
【正确答案】证明见解析.
【详解】试题分析：过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．
试题解析：如图，过P作PE∥BQ交AC于E，
∴∠EPD=∠Q，
在△EPD和△CQD中，
∵
∴△EPD≌△CQD（ASA），
∴PE=CQ，∵PA=CQ，∴PE=PA，∴∠PEA=∠A=60°，
∵PE∥BQ，∴∠PEA=∠ACB=60°∴∠A=∠ACB=∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形.
点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
20. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，点M在BC上，AB＝BM，CM＝CD，点N为AD的中点，求证：BN⊥CN．
【正确答案】证明见解析.
【详解】试题分析：延长BN、CD交于点E，根据同旁内角互补，两直线平行，可证AB∥CD，然后根据平行线的性质得到∠BAD=∠ADE，再根据全等三角形的判定“ASA”证得△ABN≌△EDN，得出BN=EN，AB=DE，进而得到CB=CE，根据等腰三角形的“三线合一”的性质得证.
试题解析：如图，延长BN、CD交于点E，
∵∠ABC=150°，∠BCD=30°，∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，∴∠BAD=∠ADE，
在△ABN和△EDN中，
∵
∴△ABN≌△EDN（ASA），
∴BN=EN，AB=DE，又∵AB=BM，∴DE=BM，
∵CM=CD，∴CB=CE，∵BN=EN，∴CN⊥BN.
21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2,1），B（-1,3），C（-3,2）
（1）作出△ABC关于x轴对称的△；
（2）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（3）点P（a，a-2）与点Q关y轴对称，若PQ=8，则点P的坐标为 ；
【正确答案】（1）见解析；（2）（2，-1），（-1，-3）；（3）（4， 2）或（-4，-6）.
【详解】试题分析：（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（3）先根据对称的性质求出点P的横坐标，进而可得出结论．
(1)如图所示：
（2）点的坐标为（2，-1），点的坐标为 （-1，-3） ；
（3）∵点P（a，a-2）与点Q关y轴对称，PQ=8，
∴a=4或a=−4，
∴a-2=2或a-2=−6，
P的坐标为 （4， 2）或（-4，-6） ；
点睛：本题考查了平面直角坐标系中点的对称特征，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.
22. 如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD
求证：(1) △BEF为等腰直角三角形 ；（2) ∠ADC＝∠BDG.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）连接DE，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出CF=EF，CD=DE，推出CD=ED=BD，根据直角三角形的判定推出△BEF是直角三角形，求出∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°，∠CAF=∠ECB，根据全等三角形的判定定理得出△ACF≌△CBE，根据全等三角形的性质得证；
（2）作∠ACB的平分线交AD于M，根据ASA推出△ACM≌△CBG得出∠ADC=∠M，CD=BM，根据SAS推出△DCM≌△DBG，求出∠M=∠BDG，即可得出答案.
试题解析：（1）连接DE，
∵点E、C关于AD对称，∴AD为CE的垂直平分线，
∴CD=DE，∵D为CB中点，∴CD=DE=DB，
∴∠DCE=∠CED，∠DEB=∠DBE，
∵∠DCE+∠CED+∠DEB+∠DBE=180°，
∴∠CEB=90°，
∵∠ECB+∠ACF=90°，∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠ECB=∠CAF，
在△ACF和△CBE中，
∵
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴CF=BE，右∵CF=EF，∴EF=EB，
∴△EFB为等腰直角三角形.
（2）作∠ACB的平分线交AD于M，
在△ACM和△CBG中，
∵
∴△ACM≌△CBG（ASA），
∴CM=BG，
在△DCM和△DBG中，
∵
∴△DCM≌△DBG（SAS），
∴∠ADC=∠GDB.
23. 如图，△ABC和△ADE中,AB=AD,AC=AE, ∠BAC＝∠DAE,BC交DE于点O，∠BAD=a.
(1)求证：∠BOD= a.
(2)若AO平分∠DAC, 求证：AC=AD；
(3)若∠C=30°，OE交AC于F,且△AOF为等腰三角形，则a= .
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）40°或20°
【分析】（1）根据全等三角形的判定“SAS”证得△ABC≌△ADE，然后根据全等的性质，可得∠B=∠D，再根据三角形的内角和定理得证结论；
（2）过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N，由（1）知△ABC≌△ADE，根据全等三角形的面积相等，证得AM=AN，从而AO为∠DAC的平分线，根据ASA证得△ABO≌△AEO，可得AB=AE，然后得证；
（3）由题意可分为OA=OF和OA=AF两种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）在△ABC和△ADE中，
∵
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠B=∠D，
∴∠BOD=∠BAD=α，
（2）过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N，
∵△ABC≌△ADE，
∴S△ABC=S△ADE，
∴，
∵BC=DE，
∴AM=AN，
∴AO平分∠BOE，
∵AO平分∠DAC，
∴∠DAO=∠，
∴∠BAO=∠EAO，
在△ABO和△AEO中，
∵
∴△ABO≌△AEO（ASA），
∴AB=AE，
∵AB=AD，AC=AE，
∴AC=AD，
（3）当AO=AF时，a=40°，
当OA=OF时，a=20°，
故答案为40°或20°.
24. 如图，在轴负半轴上，点坐标为，点在射线上.
（1）求证：点为的中点.
（2）在轴正半轴上有一点，使，求点的坐标.
（3）如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，，点为的内角平分线的交点，，分别交轴正半轴、轴正半轴于，两点，于点，记的周长为.求证.
【正确答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.
【分析】（1）过点作轴于点.根据B、E两点坐标，证得≌，即有，，故为的中点.
（2）过点作交的延长线于点，过点作轴于点，易证≌，得到D点坐标，设的坐标为，利用建立方程，解方程即可
（3）连接，，易证≌，得到和，由角平分线性质，求得，再过点作于点，在上截取，可证≌与≌，得到，得到周长
【详解】（1）过点作轴于点.∵，，
∴，∴≌，
∴，∴为的中点.
（2）过点作交的延长线于点，过点作轴于点，
∵，
∴，∴可证≌，∴的坐标为，
设的坐标为，∵，
∴，∴，∴.
（3）连接，，∵点为内角平分线的交点，
∴平分，平分.
∴≌.∴.同理可得.
∵平分，平分，，∴.
∴.∴.
过点作于点，在上截取，可证≌.
∴，，∴，可证≌.
∴.
∴.
即.
本题主要考查全等三角形的证明与性质，涉及等角等边代换，难度较大，本题的关键在于能够正确做出辅助线，找到全等三角形.
2022-2023学年湖北省武汉市八年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、精心选择，一锤定音（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. 2a2+a=3a3 B. （-a）3•a2=-a6 C. （-a）2÷a=a D. （2a2）3=6a6
3. 在长为10cm，7cm，5cm，3cm的四根木条，选其中三根组成三角形，则能组成三角形的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若点P（，3）与点Q（1，）关于y轴对称，则（ ）.
A. B. C. D.
5. 若分解因式结果是，则=( )
A. 1 B. C. D. 2
6. 如图，AC与BD相交于点O，∠D=∠C，添加下列哪个条件后，仍没有能使△ADO≌△BCO的是（ ）
A. AD=BC B. AC=BD C. OD=OC D. ∠ABD=∠BAC
7. 如果多项式x+1与x2-bx+c的乘积中既没有含x2项，也没有含x项，则b， c的值是（ ）
A. b=c=1 B. b=c=-1 C. b=c=0 D. b=0, c=1
8. 如图，在△ABE中，∠BAE＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝CE，则∠B的度数是( )
A. 45° B. 60° C. 50° D. 55°
9. 如图，OM平分∠AOB，MCOA，MD⊥OA于D，若∠OMD=75°，MC=8，则MD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上，且∠DOE=90°，DE交OC于P，下列结论：① AD=CE②∠CDO=∠BEO③OC=DC+CE④ AD+BE=DE ⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍．其中正确的个数有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、细心填一填，试试自己的身手（共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 一个多边形内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是________．
12. 若是一个完全平方式，则k=___________．
13. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD=AD ，AB=BD，则∠B的度数为__________．
14. 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式_____________________．
15. 如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为______
16. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．
三、用心做一做，显显自己的能力！（共8小题，满分72分）
17. 计算与化简
（1）(-4ab3)(-ab) - (-ab2)2 （2）(3x+2)(3x-2)﹣5x(x-1)﹣(2x-1)2
18. 分解因式：
（1）2ma2﹣8mb2． （2） 3x3+12x2+12x
19. 已知，，求：(1) ；(2).
20. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在y轴上找出一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，找出一点A2，使△A2BC与△ABC关于直线BC对称，直接写出点A2的坐标．
21. 如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N．
（1）求证：△ANC等腰三角形；
（2）试判断BN与CD数量关系，并说明理由．
22. 如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
23. 已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
(1)如图1，若点O在边BC上，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：AB=AC；
(2)如图，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
(3)若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．
24. 如图（1），直线AB与x轴负半轴、y轴的正半轴分别交于A、B、OA、OB的长分别为a、b，且满足a2﹣2ab+b2=0．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图（2）过坐标原点作直线OQ交直线AB于第二象限于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ、BN⊥OQ，若AM=7，BN=4，求MN的长；
（3）如图（3），E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角三角形ADE，P为BE的中点，延长DP至F，使PF=DP，连结PO，BF，试问DF、PO是否存在确定的位置关系和数量关系？写出你的结论并证明．
2022-2023学年湖北省武汉市八年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、精心选择，一锤定音（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、没有是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、没有是轴对称图形，故本选项错误；
D、没有是轴对称图形，故本选项正确．
故选B．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. 2a2+a=3a3 B. （-a）3•a2=-a6 C. （-a）2÷a=a D. （2a2）3=6a6
【正确答案】C
【详解】试题分析： A、2a2与a没有是同类项，没有能合并，错误；
B、（-a）3•a2=-a5，错误；
C、（-a）2÷a=a，正确；
D、（2a2）3=8a6，错误；
故选C．
考点：1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法；4．幂的乘方与积的乘方．
3. 在长为10cm，7cm，5cm，3cm的四根木条，选其中三根组成三角形，则能组成三角形的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【分析】根据任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形．
【详解】依题意，有以下四种可能：
（1）选其中10cm，7cm，5cm三条线段符合三角形的成形条件，能组成三角形
（2）选其中10cm，7cm，3cm 三条线段没有符合三角形的成形条件，没有能组成三角形
（3）选其中10cm，5cm，3cm 三条线段没有符合三角形的成形条件，没有能组成三角形
（4） 选其中7cm，5cm，3cm 三条线段符合三角形的成形条件，能组成三角形
综上，能组成三角形的个数为2个
故选：B．
本题考查了三角形的三边关系定理，熟记三边关系定理是解题关键．
4. 若点P（，3）与点Q（1，）关于y轴对称，则（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】∵点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称，
∴m=-1，n=3.
故选C.
点睛：点P关于轴的对称点的坐标为；关于轴的对称点的坐标为；关于原点的对称点的坐标为.
5. 若分解因式的结果是，则=( )
A. 1 B. C. D. 2
【正确答案】C
【分析】根据因式分解的结果，利用多项式乘以多项式法则化简，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值．
详解】解：∵x2+mx+n
=（x+2）（x﹣1）
=x2+x﹣2，
∴m=1，n=﹣2，
则m+n=1﹣2=﹣1，
故选：C．
本题考查了因式分解-十字相乘法，解题的关键是掌握利用因式分解求解一元二次方程．
6. 如图，AC与BD相交于点O，∠D=∠C，添加下列哪个条件后，仍没有能使△ADO≌△BCO的是（ ）
A. AD=BC B. AC=BD C. OD=OC D. ∠ABD=∠BAC
【正确答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项进行判断即可.
【详解】由题意可知，在△ADO和△BCO中，已经有：∠D=∠C，∠AOD=∠BOC，各选项中添加的条件可知：
A选项中，当添加AD=BC后，已有条件，可由“AAS”证得△ADO≌△BCO；
B选项中，当添加AC=BD后，已有条件，没有能证明△ADO≌△BCO；
C选项中，当添加OD=OC后，已有条件，可由“ASA”证得△ADO≌△BCO；
D选项中，当添加∠ABD=∠BAC后，已有条件，可先证得△ABD≌△BAC，从而得到AD=BC，再由“AAS”可证得△ADO≌△BCO；
故选B.
7. 如果多项式x+1与x2-bx+c的乘积中既没有含x2项，也没有含x项，则b， c的值是（ ）
A. b=c=1 B. b=c=-1 C. b=c=0 D. b=0, c=1
【正确答案】A
【详解】∵，
∴由题意可得： ，解得： ，
即.
故选A.
点睛：多项式中没有含某个项，则说明该项的系数为0.
8. 如图，在△ABE中，∠BAE＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝CE，则∠B的度数是( )
A. 45° B. 60° C. 50° D. 55°
【正确答案】C
【分析】已知MN是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AC=EC，所以∠CAE=∠E，由三角形外角的性质可得∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB=2∠E，在△ABC中，根据三角形的内角和定理求得∠E=25°，即可求得∠B=2∠E=50°.
【详解】∵MN是AE的垂直平分线，
∴AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，
∵AB＝CE，
∴∠B=∠ACB=2∠E，
在△ABC中，∠BAE+∠B+∠E=180°，
∴105°+2∠E+∠E=180°
即∠E=25°.
∴∠B=2∠E=50°.
故选C.
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，求得∠E=25°是解决本题的关键.
9. 如图，OM平分∠AOB，MCOA，MD⊥OA于D，若∠OMD=75°，MC=8，则MD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】C
【分析】作ME⊥OB于E，根据MD⊥OA，求出∠MOD=15°，根据角平分线的定义，求出∠AOB的度数，根据平行线的性质得到∠ECM=∠AOB=30°，根据直角三角形的性质求出EM，根据角平分线的性质，即可求解．
【详解】解：如图，作ME⊥OB于E，
∵MD⊥OA，∠OMD=75°，
∴∠MOD=15°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠MOD=30°，
∵MCOA，
∴∠ECM=∠AOB=30°，
∴EM=MC=4，
∵OM平分∠AOB，MD⊥OA，ME⊥OB，
∴MD=ME=4．
故选：C．
本题主要考查了含30度角的直角三角形，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
10. 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上，且∠DOE=90°，DE交OC于P，下列结论：① AD=CE②∠CDO=∠BEO③OC=DC+CE④ AD+BE=DE ⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍．其中正确的个数有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，
∴∠A=∠B=45°，CO⊥AB，∠OCE=∠ACB=45°，CO=AB=AO，
∴∠A=∠OCE，∠AOD+∠DOC=∠AOC=90°，
又∵∠COE+∠DOC=∠DOE=90°，
∴∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE，
∴AD=CE（故①正确），∠ADO=∠CEO，
∴DC+CE=DC+AD=AC>OC（故③错误），∠CDO=∠BEO（故②正确）；
∵AC=BC，AD=CE，
∴DC=BE，
∴AD+BE=DC+CE>DE（故④错误）；
∵△AOD≌△COE，
∴S四边形DOEC=S△COE+S△COD=S△AOD+S△COD=S△ACO=S△ABC，
∴S△ABC=2 S四边形DOEC（故⑤正确）.
综上所述，正确的结论共有3个.
故选C.
二、细心填一填，试试自己的身手（共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 一个多边形内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是________．
【正确答案】十
【分析】设这个多边形有条边，则其内角和为 外角和为再根据题意列方程可得答案．
【详解】解：设这个多边形有条边，则其内角和为 外角和为
故十．
本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握利用多边形的内角和与外角和定理列一元方程解决问题是解题的关键．
12. 若是一个完全平方式，则k=___________．
【正确答案】±8
【分析】根据平方项可知是x和4的完全平方式，再根据完全平方公式的乘积二倍项列式求解即可．
【详解】解：∵x2+kx+16是一个完全平方式，
∴kx＝±2×4•x，
解得k＝±8．
故±8．
本题考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是求解的关键．
13. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD=AD ，AB=BD，则∠B的度数为__________．
【正确答案】36°
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，
故36°．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
14. 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式_____________________．
【正确答案】a2-b2=(a+b)(a-b)
【详解】因为左图阴影部分的面积是由大正方形的面积减去小正方形的面积,即为,
右图阴影部分的面积可利用梯形的面积公式可得:,故答案为:.
15. 如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为______
【正确答案】120°或75°或30°##120°或30°或75°##75°或120°或30°##75°或30°或120°##30°或75°或120°##30°或120°或75°
【分析】根据当△OPD是等腰三角形,分三种情况讨论进而根据等腰三角形的性质即可求得∠ ODP的度数
详解】解：∵∠AOB=60° ，OC平分∠AOB，∴∠AOC= 30°，
①当D在D1处时，OD=PD，
∴∠AOP=∠OPD= 30° ，
∴∠ODP= 180°-30°-30°= 120°；
②当D在D2处时，OP=OD，
则∠OPD=∠ODP=×（180°-30°）= 75°；
③当D在D3处时，OP=DP，
则∠ODP=∠AOP= 30°．
综上，当△OPD是等腰三角形时，∠ ODP的度数为120°或75°或30°．
本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
16. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．
【正确答案】8
【分析】连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM＋DM＝AM＋DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB＋DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
【详解】解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM＋MD＝MD＋AM．
∴当点M位于点M′处时，MB＋MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB＋AD＝2＋6＝8,
故8．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．
三、用心做一做，显显自己的能力！（共8小题，满分72分）
17. 计算与化简
（1）(-4ab3)(-ab) - (-ab2)2 （2）(3x+2)(3x-2)﹣5x(x-1)﹣(2x-1)2
【正确答案】（1）；（2）9x-5.
【详解】试题分析：
（1）按单项式乘法法则和正整数指数幂的运算性质计算即可；
（2）按多项式的乘法法则乘法公式计算即可；
试题解析：
（1）原式=；
（2）原式=
=
=.
18. 分解因式：
（1）2ma2﹣8mb2． （2） 3x3+12x2+12x
【正确答案】（1）2m(a+2b)(a-2b)；(2)3x(x+2)2.
【详解】试题分析：
（1）先提公因式，再用平方差公式分解即可；
（2）先提公因式，再用完全平方公式分解即可；
试题解析：
（1）原式=；
（2）原式=.
19. 已知，，求：(1) ；(2).
【正确答案】(1)25;(2)±7.
【详解】试题分析：
（1）由“完全平方公式”变形，把化为：即可利用已知条件求出的值；
（1）由“完全平方公式”可得：，先求出的值，再开方即可求得的值.
试题解析：
（1）∵，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴.
20. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在y轴上找出一点P，使得PA+PB值最小，直接写出点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，找出一点A2，使△A2BC与△ABC关于直线BC对称，直接写出点A2的坐标．
【正确答案】(1)作图见解析；（2）P（0，2.5）；（3）A2（-6，0）．
【分析】（1）在坐标系中分别画出点A、B、C的对称点A1、B1、C1，再顺次连接三点就可得所求三角形；
（2）连接AB1与y轴相交，交点即为所求的点P，然后利用点A、B1的坐标求出直线AB1的解析式，即可求得点P的坐标；
（3）画出点A关于直线BC的对称点A2，再连接A2C和A2B即可得到所求三角形，根据图形写出点A2的坐标即可；
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1为所求三角形；
（2）由（1）可知，点B、B1关于y轴对称；连接A、B1交y轴于点P，则点P为所求点，
设直线AB1的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-1，5），B1（1，0），
∴ ，解得，
∴直线AB1的解析式为：y=-x+，
∴P（0，2.5）；
（3）如上图所示，点A2为所求点，其坐标为：（-6，0）．
21. 如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N．
（1）求证：△ANC为等腰三角形；
（2）试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）BN=CD，理由见解析.
【详解】试题分析：
（1）由AD平分∠BAC交BC于D，可得∠DAB=∠DAC；由CN⊥AD交AD于H可得∠AHN=∠AHC=90°；两者由三角形内角和定理可得∠ANH=∠ACH，即可得AN=AC，从而得到△ANC是等腰三角形；
（2）连接DN，先证△AND≌△ACD，得到DN=DC，∠AND=∠ACD=2∠B=∠B+∠NDB，从而可得DN=BN，由此即可得到CD=BN.
试题解析：
（1）∵CN⊥AD，
∴∠AHN=∠AHC=90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠NAH=∠CAH，
又∵在△ANH和△ACH中
∠AHN+∠NAH+∠ANH=180°，∠AHC+∠CAH+∠ACH=180°
∴∠ANH=∠ACH，
∴AN=AC，
∴△ANC为等腰三角形；
（2）BN=CD，理由如下：如图：连接ND
∵△AND和△ACD中： ，
∴△AND≌△ACD（ASA），
∴DN=DC，∠AND=∠ACD，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠AND=2∠B
又∵△BND中，∠AND=∠B+∠NDB，
∴∠B=∠NDB，
∴=ND，
∴BN=CD．
22. 如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
【正确答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论．
【详解】（1）证明：平分
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB，
；
②，
平分
（2）
理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE，
，∠DBC=∠ABC，
又
又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，
∴．
本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键．
23. 已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
(1)如图1，若点O在边BC上，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：AB=AC；
(2)如图，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
(3)若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）没有一定成立，见解析．
【分析】（1）求证AB=AC，就是求证∠B=∠C， 利用斜边直角边定理（HL）证明Rt△OEB≌Rt△OFC即可；
（2）首先得出Rt△OEB≌Rt△OFC，则∠OBE=∠OCF，由等边对等角得出∠OBC=∠OCB，进而得出∠ABC=∠ACB，由等角对等边即可得AB=AC；
（3）没有一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，AB≠AC．
【详解】（1）证明： ∵点O在边BC上，OE⊥AB，OF⊥AC，点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（3）解：没有一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC，否则AB≠AC．（如示例图）
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
24. 如图（1），直线AB与x轴负半轴、y轴的正半轴分别交于A、B、OA、OB的长分别为a、b，且满足a2﹣2ab+b2=0．
（1）判断△AOB形状；
（2）如图（2）过坐标原点作直线OQ交直线AB于第二象限于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ、BN⊥OQ，若AM=7，BN=4，求MN的长；
（3）如图（3），E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角三角形ADE，P为BE的中点，延长DP至F，使PF=DP，连结PO，BF，试问DF、PO是否存在确定的位置关系和数量关系？写出你的结论并证明．
【正确答案】（1）△AOB是等腰直角三角形；（2）3；（3）OP=DF，OP⊥DF．证明见解析.
【分析】（1）由a2﹣2ab+b2=0可得a=b，从而可得OA=OB，∠AOB=90°可得△AOB是等腰直角三角形；
（2）由已知条件易证△AMO≌△O，由此可得ON=AM=7，OM=BN=4，从而可得：MN=ON-OM=7-4=3；
（3）如下图，连接OD，OF，由已知条件易证△BPF≌△EPD，由此可得：BF=ED，∠FBP=∠DEP，△AED是等腰直角三角形及其它已知条件可证得：BF=AD，∠FBO=∠DAO=90°，AO=BO可证得：△FBO≌△DAO从而可得∠FOB=∠DOA，OD=OF，进一步可证得∠DOF=90°，由此可得△DOF是等腰直角三角形，而OP是其斜边DF上的中线，故可得OP=DF，OP⊥DF.
【详解】（1）△AOB是等腰直角三角形，理由如下：
∵a2-2ab+b2=0
∴（a-b）2=0，
∴a=b，即OA=OB
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形
（2）解：∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠O=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
又∵∠MAO+∠MOA=90°，
∴∠MAO=∠BON，
在△AMO和△O中： ，
∴△AMO≌△O（AAS），
∴ON=AM=7，OM=BN=4，
∴MN=ON-OM=7-4=3；
（3）OP=DF，OP⊥DF，理由如下：
连接OD，OF，
∵P为BE的中点，
∴BP=EP，
在△BPF和△EPD中
∴△BPF≌△EPD（SAS）
∴BF=ED，∠FBP=∠DEP，
又∵△AED是等腰直角三角形，
∴AD=ED，∠DEA=∠DAE=45°，
∴BF=AD，
∴∠FBP=∠DEP=180°-45°=135°，
又∵△AOB和△ADE是等腰直角三角形，
∴OB=OA，∠DEA=∠DAE=45°，
∴BF=AD，
∴∠FBO=∠FBP-∠ABO=135°-45°=90°，
∠DAO=∠DAE+∠BAO=45°+45°=90°，
∴∠FBO=∠DAO=90°，
在△FBO和△DAO中
∴△FBO≌△DAO（SAS）
∴∠FOB=∠DOA，OD=OF，
∴∠DOF=∠DOB+∠BOF=∠DOB+∠DOA=∠AOB=90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
又∵PF=DP，
∴OP=DF，OP⊥DF．
本题第3问的解题关键是由“点P在DF上，要讨论OP与DF的位置及数量关系”想到连接OD、OF构造出△DOF，然后由已知条件通过证△BPF≌△EPD，△FBO≌△DAO来证明△DOF是等腰直角三角形来得到结论.
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