2023届天津市南开中学滨海生态城学校高三上学期11月月考数学试题含解析

 2023届天津市南开中学滨海生态城学校高三上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】用列举法写出集合，求出集合，再写出与的交集即可.

【详解】由集合，解得；由，解得，则.

故选：A

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据终边相同的角的三角函数值相等，结合充分不必要条件的定义，即可得到答案；

【详解】，

当，

“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

3．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.

【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，排除AC；

当时， ，所以，排除D.

故选：B.

4．函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.

【详解】，解得，

所以的定义域为，

的开口向下，对称轴为，

根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是.

故选：A

5．已知，，，则（    ）

A．a＞b＞c B．a＞c＞b

C．b＞a＞c D．c＞b＞a

【答案】B

【分析】根据“分段法”求得正确答案.

【详解】，

，

，

所以.

故选：B

6．要得到的图像，只需将的图像（    ）

A．向左平移 B．向右平移

C．向左平移 D．向左平移

【答案】D

【分析】化简，然后结合三角函数图像变换的知识求得正确答案.

【详解】，

将向左平移得.

故选：D

7．正项等比数列满足，，成等差数列，则（    ）

A．或－1 B．或1 C． D．

【答案】C

【分析】根据等差中项及等比数列的通项公式求出公比，即可得解.

【详解】正项等比数列满足，，成等差数列，

，即，

解得或（舍去），

，

故选：C

8．下列关于函数的命题，正确的有（    ）个

（1）它的最小正周期是

（2）是它的一个对称中心

（3）是它的一条对称轴

（4）它在上的值域为

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据三角恒等变换化简函数为正弦型三角函数，利用正弦型函数的对称轴、对称中心、周期，值域求解判断即可.

【详解】

，

所以，故（1）错误；

令，解得，当时，，

故是函数的一个对称中心，故（2）错误；

令，解得，当时，，所以是函数的一条对称轴，故（3）正确；

当时，，，

，故（4）正确.

故选：C

9．已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解决复合函数零点个数问题的时候，常用数形结合分析，分析各种情况后，往往会用到零点的存在性定理或根的分布情况来确定参数的取值范围.作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.

【详解】

根据图像可得，当或时，有两个解；当时，有4个解；当时，有3个解；当时，有1个解.因为，最多有两个解.

因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.

则存在下列几种情况：

①有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足    解得

②有3个解，有3个解，设即，，

则应满足    解得

综上所述，的取值范围为或.

故选：D.

二、填空题

10．已知i是虚数单位，z（5－3i）＝1－4i，则______．

【答案】

【分析】利用复数运算法则求出复数，在求出模长即可.

【详解】

则

故答案：.

11．已知，则______．

【答案】

【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

12．______．

【答案】##3.75

【分析】根据对数运算性质化简即可.

【详解】

=.

故答案为：.

13．已知是函数相邻的两个零点，且，则______．

【答案】

【分析】根据周期求得的值.

【详解】由于是函数相邻的两个零点，且，

所以.

故答案为：

三、双空题

14．已知，则的最小值为______；的最小值为______．

【答案】          ##

【分析】去括号，然后利用基本不等式即可求得的最小值，根据结合基本不等式即可得解.

【详解】解：，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为，

因为，所以

则

，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为.

故答案为：；.

15．中，，E是直线BD上的一点，设，则x＝______（用y表示）；的最小值为______．

【答案】         

【分析】由，得到，进而得到，再由B，D，E共线求解；然后利用基本不等式求的最小值.

【详解】解：因为，

所以，即，

所以，

因为B，D，E共线，

所以，即，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：，

四、解答题

16．已知在中，，，b＝2．

(1)求角C；

(2)求的面积；

(3)求．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】(1)根据题意，利用诱导公式和两角和的正切公式计算即可求解；

(2)根据同角三角函数的基本关系求得，利用正弦定理求出a，结合三角形面积公式计算即可；

(3)由(2)，利用二倍角的正弦、余弦公式计算求出，结合两角和的正弦公式计算即可.

【详解】（1）由，

得，

又，所以；

（2）由，知为锐角，为钝角，

且，即，

又，

所以，

由正弦定理，得，则，

所以；

（3）由(2)知，，则，

所以，

故.

17．已知是等差数列的前项和，，，正项等比数列满足，．

(1)求和的通项公式；

(2)求的前n项和；

(3)求的前n项和．

【答案】(1)，；

(2)；

(3).

【分析】（1）解方程组得与，即可求出，在求出与，即可求出；

（2）利用裂项相消即可求出答案；

（3）利用错位相减即可求出答案.

【详解】（1）

为正项等比数列，故

故，.

（2）

则

则.

（3）

①

②

-②得

.

18．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；

（Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值；

（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出平面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证；（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值；（Ⅲ）利用空间向量求线面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值.

试题解析：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.

（Ⅰ）证明：依题意，.

设为平面的法向量，则，即.

不妨设，可得，又，可得，

又因为直线，所以.

（Ⅱ）解：易证，为平面的一个法向量.

依题意，.

设为平面的法向量，则，即.

不妨设，可得.

因此有，于是，

所以，二面角的正弦值为.

（Ⅲ）解：由，得.

因为，所以，进而有，从而，因此.

所以，直线和平面所成角的正弦值为.

【解析】利用空间向量解决立体几何问题

19．已知是正项数列的前n项和，，，，成等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前2n项和；

(3)若，证明的前n项和．

【答案】(1)；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）利用，，成等差数列和，即可求出，即可求出奇偶项数列；

（2）分奇偶项分别利用错位相减求和再相加即可求出答案；

（3）利用裂项相消即可得到答案.

【详解】（1）由，，成等差数列得

或（舍）

的奇数项是以首项为1公比为2的等比数列，即

的偶数项是以首项为2公比为2的等比数列，即

则

（2）

（3）

即.

20．已知函数．

(1)求的极值；

(2)若在上恒成立，求k的取值范围；

(3)证明：．

【答案】(1)极小值，无极大值；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，解不等式可得函数的单调性，据此可求函数极值；

（2）原不等式可转化为，设，求导后分类讨论，分析函数的单调性，即可求出的取值范围；

（3）由（2）可知时，在上恒成立，化为，

取可得，由同向不等式累加后即可得证.

【详解】（1），，

令，解得，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以当时，函数有极小值，无极大值.

（2），

原不等式可化为，

设，

因为，当且仅当时等号成立，

①当时，，所以在上单调递减，

故，满足题意；

②当时，令，可得，设方程的解为，

因为在上单调递增，所以在上单调递减，

则当时，，当时，，

所以函数在上增，在上递减，

又，所以时，，不满足题意；

当时，，故在上单调递增，所以，不符合题意；

综上，k的取值范围为.

（3）由（2）知，当时，在上恒成立，

即在上恒成立，当等号成立，

令，可得，

即，

由同向不等式相加可得，

，

即.

【点睛】关键点点睛：原不等式转化后，构造函数，求导后分类讨论是解题的关键点；在不等式的证明中，合理利用（2），恰当对赋值，同向不等式的累加，都是证明的关键.