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2024天津市实验中学滨海学校高三上学期期中考试数学含解析

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这是一份2024天津市实验中学滨海学校高三上学期期中考试数学含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：150分时长：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则(∁UA)⋃B为
A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}
2.“x>2”是“x2>4”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数y=4xx2+1的图象大致为( )
A. B. C. D.
4.设a∈R，若直线l1:ax+2y−8=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行，则a的值为( )
A. −1B. 1C. −2或−1D. −2或1
5.已知a=lg20.2，b=20.2，c=0.20.3，则( )
A. a6.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上､下底面圆的圆心，且AC=3AB=6，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是( )
A. 80π3 B. 70π3 C. 20π D. 56π3
7.设点A(2,−3)､B(−3,−2)，若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. k≥34或k≤−4B. k≥34或k≤−14C. −4≤k≤34D. −34≤k≤4
8.已知函数fx=2sinωx+φ的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=sin2x+ 3cs2x的图象，则φ的可能值为( )
A. 0B. π6C. π3D. π12
9.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且|PF1|=4|F1Q|，则双曲线的浙近线方程为( )
A. y=±xB. y=±43xC. y=±34xD. y=± 2x
10.对∀x1，x2∈(1,3]，当x10，则实数a的取值范围是( )
A. (3,+∞)B. [3,+∞)C. (9,+∞)D. [9,+∞)
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
11.已知(2+i)z=i(i为虚数单位)，则|z|=___________．
12.已知向量a=(2k−4,3)，b=(−3,k)，若a⊥b，则实数k的值为________．
13.已知tanα=12，β=π4，则tan(β+α)的值为
14.圆心在直线x+y−1=0上且与直线2x−y−1=0相切于点(1,1)的圆的方程是．
15.以双曲线x24−y212=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
16.已知F1、F2分别为x2a2+y2b2=1(a>b>0)椭圆的左、右焦点，过F2的直线与椭圆交于P、Q两点，若QF1⋅QP=PQ2，PF2=3F2Q，则∠F1PQ= ，椭圆的离心率为．
17题
16题
17.如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，D，E分别是边AB，AC上的点，AE=1，且AD⋅AE=12，则|AD|= ，若P是线段DE上的一个动点，则BP⋅CP的最小值为．
18.已知函数f(x)=e|x+1|,x≤0x+4x−3,x>0，函数y=fx−a有四个不同零点，从小到大依次为x1,x2,x3,x4，则实数a的取值范围为；x1x2+x3x4的取值范围为．
三、解答题（本大题共4小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题14.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bcsC=(2a−c)csB．
(1)求角B的大小；(2)设a=2，c=3，求sin(2A+B)的值．
20.(本小题15.0分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．
(1)求证：C1M⊥B1D；
(2)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．
21.(本小题15.0分)
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD//QA，∠PDA=π2，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD=PD=2QA=2．
(1)求证：QB//平面PDC；
(2)求平面CPB与平面PBQ夹角的大小；
(3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为7 315，求点A到平面HBC的距离．
22.(本小题16.0分)
已知函数f(x)=lnx，g(x)=ax2+bx−1，(a,b∈R)
(1)当a=−1，b=0时，求曲线y=f(x)−g(x)在x=1处的切线方程；
(2)当b=0时，若对任意的x∈[1,2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1，x2(x12．答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．
熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
【解答】
解：U={0,1,2,3,4}，A={1,2,3)，B={2,4}，
∴∁UA={0,4}，
则(∁UA)∪B={0,2,4}．
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由x2>4，得x>2或x<−2，
则“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件，
故选A．
3.【答案】A
【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】
解：函数y=f(x)=4xx2+1，则f(−x)=−4xx2+1=−f(x)，
则函数y=f(x)为奇函数，故排除C，D，
当x>0时，y=f(x)>0，故排除B，
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线平行的判定，属于基础题．
由题得a(a+1)−2=0，再验证两条直线是否重合即可得解．
【解答】
解：因为直线l1：ax+2y−8=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行，
所以a(a+1)−2=0，即a=1或a=−2，
又a=−2时两直线重合，
所以a=1．
故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对数函数及其性质，属于基础题．
由指数函数和对数函数的单调性易得lg20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：a=lg20.2b=20.2>20=1，
∵0<0.20.3<0.20=1，
∴c=0.20.3∈0,1，
∴a故选B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查简单组合体的体积，属于基础题．
根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案．
【解答】
解：已知底面圆的半径r=2，由AC=3AB=6，则AB=2,BC=4，
故该陀螺的体积V=BC⋅πr2+13⋅AB⋅πr2=563π．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足k≥kPB 或k≤kPA，用直线的斜率公式求出kPB 和kPA 的值，求出直线l的斜率k的取值范围．
【解答】
解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥kPB 或k≤kPA，
即k≥1+21+3=34，或k≤1+31−2=−4，∴k≥34，或k≤−4，
即直线的斜率的取值范围是k≥34或k≤−4．
故选A．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数图象的变换及函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，利用图象变换法则求出平移后的函数的解析式即可求解．
【解答】
解：将函数y=sin2x+ 3cs2x=2sin(2x+π3)的图象向右平移π6个单位长度，
可得y=2sin[2(x−π6)+π3]=2sin2x的图象，所以φ=0．
故选A．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查.属于中档题．
利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案．
【解答】
解：如图所示，渐近线为OQ，PF1⊥OQ，
点F1到渐近线的距离为|F1Q|=b，而|F1O|=c，
故在直角三角形OQF1中，由勾股定理和c2=a2+b2可得|OQ|=a，有cs∠OF1Q=bc．
因为|PF1|=4|F1Q|，可知|PF1|=4b．
根据双曲线定义可知|PF1|−|PF2|=4b−|PF2|=2a，整理得|PF2|=4b−2a，
在三角形PF1F2中，cs∠PF1F2=4c2+16b2−(4b−2a)22×2c×4b=cs∠OF1Q=bc，
代入c2=a2+b2整理得ba=43，
∴双曲线渐近线方程为y=±43x，
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究恒成立问题，属于较难题．
对于原不等式进行同构处理，可得aln⁡x2−3x2>alnx1−3x1，构造函数f(x)=alnx−3x，可知函数fx在(1,3]上单调递增，求导，令f ′(x)⩾0恒成立，即可求出a的取值范围．
【解答】
解：对于任意x1,x2∈(1,3]，当x10成立，
两边取对数化简可得3x1−3x2>alnx1x2，
即aln⁡x2−3x2>alnx1−3x1恒成立，
令f(x)=alnx−3x，
∴f(x2)>f(x1)，
∴fx在(1,3]上单调递增，
∴f ′(x)=ax−3⩾0在(1,3]恒成立，
∴a⩾3x在(1,3]恒成立，
只需a⩾(3x)max，x∈(1,3],
3x在(1,3]的最大值为9，
∴a≥9，
则实数a的取值范围是[9,+∞)．
11.【答案】55
【解析】【分析】
本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算，属于基础题．
求出复数z，然后利用模的计算公式求解即可．
【解答】
解：∵(2+i)z=i，
∴i2+i=i2−i2+i2−i=15+25i，
∴|z|= 152+252= 55．
故答案为55．
12.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题．
利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系直接运算即可求出实数k的值．
【解答】
解：∵a=(2k−4,3)，b=(−3,k)，且a⊥b，
∴a⋅b=−3×2k−4+3k=0，
解得k=4．
则实数k的值为4．
故答案为：4．
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了两角和的正切公式，属于基础题．
直接利用两角和的正切公式，代入数据计算即可．
【解答】
解：∵tan α=12，β=π4，
∴tan⁡(π4+α)=tan⁡π4+tan⁡α1−tan⁡π4tan⁡α=1+121−12=3，
故答案为3．
14.【答案】(x+1)2+(y−2)2=5
【解析】【分析】
本题主要考查方程思想及点到线的距离公式，考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
设出圆心坐标，其中由圆心在直线x+y−1=0上得出一个方程；再由圆心到直线2x−y−1=0的距离即半径得出另一个方程，解方程组即可得解．
【解答】
解：设圆心坐标为(a,b)，
则a+b−1=02a−b−1 5= a−12+b−12,
解得a=−1，b=2，
所以r= 5，
所以要求圆的方程为(x+1)2+(y−2)2=5．
故答案为(x+1)2+(y−2)2=5．
15.【答案】x216+y212=1
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，椭圆的概念及标准方程的应用，
根据双曲线的标准方程，求出焦点坐标和顶点坐标，即可求解椭圆方程．
【解答】
解：因为双曲线x24−y212=1中，a2=4，b2=12，c2=a2+b2=4+12=16，
故焦点为(−4,0)，(4,0)，顶点为(−2,0)，(2,0)，
所以椭圆的顶点为(−4,0)，(4,0)，焦点为(−2,0)，(2,0)，
所以椭圆中a1=4,c1=2，则b1=2 3．
所求椭圆方程为x216+y212=1．
16.【答案】90°；； 22
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的性质，以及向量的夹角公式，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
由QF1⋅QP=PQ 2，可得QF1QP⋅cs∠F1QP=PQ 2，即|QF1|cs∠F1QP=|PQ|，cs∠F1QP=|PQ||QF1|，即可求解∠F1PQ，再结合椭圆的性质和离心率公式，即可求解．
【解答】
解：∵QF1⋅QP=PQ 2，
∴QF1QP⋅cs∠F1QP=PQ2，
∴|QF1|cs∠F1QP=|PQ|，
∴cs∠F1QP=|PQ||QF1|，
∴∠F1PQ=90°，
设|F2Q|=m，
∵PF2=3F2Q，
∴|PF2|=3|F2Q|=3m，
∴|PF1|=2a−3m，|QF1|=2a−m，|PQ|=4m，
在Rt△PF1Q中，
PF12+PQ2=F1Q2，即(2a−3m)2+(4m)2=(2a−m)2，解得m=a3，
∴PF2=3m=a，PF1=a，
∴F1F2= 2PF1，即2c= 2a，
∴e=ca= 22．
故答案为：90°； 22．
17.【答案】1；−116
【解析】【分析】
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，余弦定理，向量加法和数乘的几何意义，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
根据AE=1，∠BAC=60°，AD⋅AE=12即可求出|AD|=1，然后得△ADE为等边三角形，从而得出BD=2，CE=1，且∠ADE=∠AED=60°，并据题意设DP=λDE，0≤λ≤1，从而可得出BP⋅CP=(BD+λDE)⋅[CE+(λ−1)DE]，然后进行数量积的运算即可得出BP⋅CP=λ2−λ2，从而配方即可求出最小值的大小．
【解答】
解：∵AE=1，∠BAC=60°，
∴AD⋅AE=12|AD|=12，
∴|AD|=1，
∴△ADE为等边三角形，
又AB=3，AC=2，
∴BD=2，CE=1，且∠ADE=∠AED=60°，
∵P是线段DE上的一个动点，
∴设DP=λDE，0≤λ≤1，则EP=(λ−1)DE，
∴BP⋅CP=(BD+DP)⋅(CE+EP)
=(BD+λDE)⋅[CE+(λ−1)DE]
=BD⋅CE+(λ−1)λDE2+(λ−1)BD⋅DE+λDE⋅CE
=2×1×12+λ2−λ+2×1×12×(λ−1)+1×1×(−12)×λ
=λ2−λ2
=(λ−14)2−116，
∴λ=14时，BP⋅CP取最小值−116．
故答案为：1,−116．
18.【答案】(1,e]；[4,5)
【解析】【分析】
本题主要考查函数零点的个数及函数零点的分布，属于较难题．
根据函数性质画出 f(x) 的图象，将问题化为 f(x) 与 y=a 有四个交点，数形结合法求a范围，再由 x1,x2 是 (x+1)2−ln2a=0 的两个根、 x3,x4 是 x2−(a+3)x+4=0 的两个根，结合根与系数关系求 x1x2+x3x4 的范围．
【解答】
解：由题设，当 x∈(−∞,−1) 时， y=e−x−1∈(1,+∞) ，且单调递减；
当 x∈[−1,0] 时， y=ex+1∈[1,e] ，且单调递增；
当 x∈(0,2) ， y=x+4x−3∈(1,+∞) ，且单调递减；
当 x∈[2,+∞) ， y=x+4x−3∈[1,+∞) ，且单调递增；
综上， f(x) 的函数图象如下：
所以 y=fx−a 有四个不同零点，即 f(x) 与 y=a 有四个交点，由图知： 1则 x1,x2 在 y=e|x+1| 上， x3,x4 在 y=x+4x−3 上，
令 e|x1+1|=e|x2+1|=a ，则 |x1+1|=|x2+1|=lna ，即 x1,x2 是 (x+1)2−ln2a=0 的两个根，故 x1x2=1−ln2a ，
而 x3,x4 是 x+4x−3=a ，即 x2−(a+3)x+4=0 的两个根，故 x3x4=4 ，
所以 x1x2+x3x4=5−ln2a∈[4,5) ．
故答案为： (1,e] ， [4,5)
19.【答案】解：(Ⅰ)∵bcsC=(2a−c)csB，
∴bcsC+ccsB=2acsB，
由正弦定理得sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsB，
∴sin(B+C)=sinA=2sinAcsB，
∴csB=12，
又∵B∈(0,π)，
∴B=π3．
(Ⅱ)由a=2，c=3，可得b2=a2+c2−2accsB=7，可得b= 7，
因为bsinB=asinA，所以sinA= 217，
又a可得sin2A=2sinAcsA=2× 217×2 77=4 37，cs2A=2cs2A−1=17，
所以sin(2A+B)=sin2AcsB+cs2AsinB=4 37×12+17× 32=5 314．
【解析】(Ⅰ)变形已知结合正弦定理得sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsB，进而可得csB，进而可求得B的值；
(Ⅱ)由已知利用余弦定理可求得b的值，利用正弦定理可求sinA的值，利用同角三角函数基本关系式可求csA的值，利用二倍角公式可求sin2A，cs2A，进而根据两角和的正弦公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
建立如图所示的空间直角坐标系，
又AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点，
则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，C1(0,0,3)，M(1,1,3)，
则C1M=(1,1,0)，B1D=(2,−2,−2)，
则C1M⋅B1D=1×2+1×(−2)+0×(−2)=0，
即C1M⊥B1D，
即C1M⊥B1D；
(Ⅱ)解：设平面B1ED的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅B1D=0n⋅DE=0，
则2x−2y−2z=0−2x+z=0，
令x=1，
则y=−1，z=2，
则n=(1,−1,2)，
又平面BB1E的一个法向量为m=(1,0,0)，
设m与n所成角为θ，
则csθ=m⋅n|m||n|=11× 6= 66，
即平面BB1E与平面B1ED所夹角为θ，
则平面BB1E与平面B1ED所夹角的余弦值为 66；
(Ⅲ)解：由(Ⅰ)可得AB=(−2,2,0)，
则|cs|=AB⋅n|AB||n|=42 2× 6= 33，
则直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为 33．
【解析】(Ⅰ)先建立如图所示的空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后求证即可；
(Ⅱ)设平面B1ED的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅B1D=0n⋅DE=0，则n=(1,−1,2)，又平面BB1E的一个法向量为m=(1,0,0)，然后求解即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)可得AB=(−2,2,0)，则|cs|=AB⋅n|AB||n|=42 2× 6= 33，得解．
本题考查了空间向量的运算，重点考查了二面角的平面角大小的求法，属基础题．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC.所以AB//平面PDC．
∵四边形ADPQ是梯形，PD//QA，QA⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以QA//平面PDC，
AB⊂平面ABQ，QA⊂平面ABQ，AB∩QA=A，∴平面ABQ//平面DCP，
∵QB⊂平面ABQ，∴QB//平面PDC．
(2)解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，Q(2,0,1)，

PB=(2,2,−2)，PC=(0,2,−2)，PQ=(2,0,−1)，
设平面PBC的法向量n1=(x1,y1,z1)，
则n⋅PB=2x1+2y1−2z1=0n⋅PC=2y1−2z1=0，取y1=1，得z1=1，x1=0，得n1=(0,1,1)，
设平面PBQ的法向量n2=(x2,y2,z2)，
则m⋅PB=2x2+2y2−2z2=0m⋅PQ=2x2−z2=0，取x2=1，z2=2，y2=1，得n2=(1,1,2)，
设二面角C−PB−Q的大小为θ，由图形得θ为钝角，
则csθ=−|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=−3 2⋅ 6=− 32，
因为θ为钝角，∴θ=5π6，
∴二面角C−PB−Q的大小为5π6．
(3)解：点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为7 315，

设DH=t，(0≤t≤2)，则H(0,0,t)，A(2,0,0)，AH=(−2,0,t)，PB=(2,2,−2)，
∴|cs|=AH⋅PB|AH|⋅|PB|=4+2t 4+t2⋅ 12=7 315，
解得t=32，∴线段DH的长为32．
设平面HBC的法向量n3=(x3,y3,z3)，因为CB=(2,0,0)，HC=(0,2,−32)，
则m1⋅CB=2x3=0m1⋅HC=2y3−32z3=0，取z3=4，得n3=(0,3,4)，
又AB=(0,2,0)，所以d=|AB⋅n3||n3=65．
【解析】(1)先证明平面ABQ//平面DCP，再根据面面平行的性质可得QB//平面PDC；
(2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式可求出结果；
(3)根据异面直线和点面距的向量公式可求出结果．
本题主要考查线面平行的证明，二面角的相关计算，点面距离的计算等知识，属于中等题．
22.【答案】解：(Ⅰ)当a=−1时，b=0时，y=lnx+1x2+1，∴当x=1时，y=2，
∴y′=1x−2x3，∴当x=1时，y′=−1，
∴曲线y=f(x)−g(x)在x=1处的切线方程为x+y−3=0；
(Ⅱ)当b=0时，对∀x∈[1,2]，f(x)+g(x)≥0都成立，
则对∀x∈[1,2]，a≥−x2lnx+x2恒成立，
令ℎ(x)=−x2lnx+x2(1≤x≤2)，
则ℎ′(x)=−2xlnx+x.令ℎ′(x)=0，则x= e，
∴当10，此时ℎ(x)单调递增；
当 e∴ℎ(x)max=ℎ( e)=e2，∴a≥e2，
∴a的取值范围为[e2,+∞)；
(Ⅲ)当a=0，b>0时，由f(x)=g(x)，得lnx−bx+1=0，
方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1，x2(x1令F(x)=lnx−bx+1(x>0)，
则F(x1)=F(x2)=0，F′(x)=1x−b，令F′(x)=0，则x=1b，
∴当00，此时F(x)单调递增；
当x>1b时，F′(x)<0，此时F(x)单调递减，
∴F(x)max=F(1b)=ln(1b)>0，∴0又F(1e)=−be<0，F(1)=1−b>0，
∴1e1b，
∴只要证明x2>2b−x1，就能得到x1+x2>2b>2，
即只要证明F(2b−x1)>0=F(x1)，
令G(x)=F(2b−x)−F(x)=ln(2b−x)−lnx+2bx−2，(0则G′(x)=2b(x−1b)2x(x−2b)<0，
∴G(x)在(0,1b)上单调递减，则G(x)>G(1b)=F(2b−1b)−F(1b)=0，
∴G(x1)=F(2b−x1)−F(x1)>0，
∴F(2b−x1)>F(x1)=0=F(x2)，
∴x2>2b−x1，∴x1+x2>2b>2，
即x1+x2>2，证毕．
【解析】本题考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思想和分类讨论思想，属难题．
(Ⅰ)求出y=f(x)−g(x)的导函数，求出函数在x=1时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；
(Ⅱ)对∀x∈[1,2]，f(x)+g(x)≥0都成立，则对∀x∈[1,2]，a≥−x2lnx+x2，恒成立，构造函数ℎ(x)=−x2lnx+x2(1≤x≤2)，求出ℎ(x)的最大值可得a的范围；
(Ⅲ)由f(x)=g(x)，得lnx−bx+1=0，构造函数F(x)=lnx−bx+1(x>0)，将问题转化为证明F(2b−x1)>0=F(x1)，然后构造函数证明F(2b−x1)>F(x1)=0=F(x2)即可．