2022-2023学年天津市南开中学滨海生态城学校高一上学期第二次作业反馈数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市南开中学滨海生态城学校高一上学期第二次作业反馈数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由交集与并集的定义求解即可

【详解】因为，

所以，

，

故选：C

2．命题“，”的否定是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】根据特称命题“存在”，符号，其否定为全称命题，符号为，“”的否定为“”， 即可选出答案.

【详解】解：该命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，

即命题“，”的否定是“，”，

故选：A.

3．已知，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据估值法找出的取值范围，在进行大小判断即可.

【详解】因为：，，，所以

故选:C.

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求解分式不等式，然后根据两者的关系判断是什么条件.

【详解】由可得，，即，可等价变形为：，即或，显然“或”是“”的必要不充分条件.

故选：B

5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.

【详解】因为在上为减函数，在上为增函数，

故在上为减函数，

而，，

故的零点在区间中，

故选：D.

6．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数奇偶性和函数值的对应性，用排除法得到符合条件的函数图像.

【详解】函数，定义域为，

，所以函数为偶函数，图像关于y轴对称，排除BC.

当时，，，则有，排除D.

故选 ：A

7．对于任意实数，，，，以下四个说法：①，则；②若，，则；③若，，则；④，则.其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【分析】由不等的基本性质，判断每个说法的正误.

【详解】对于①，，所以，得，①正确，

对于②，由不等式的同向可加性，，，则，②正确，

对于③，不等式有同向同正才有可乘性，举出反例，，但是，所以③错误，

对于④，可以举出反例，但，④错误，

故选：B.

8．已知函数的图象的相邻两个零点的距离为，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据函数图象相邻两个零点的距离为，求出周期，算出的值，再根据求出的值，即可得到答案.

【详解】因为函数的图象的相邻两个零点的距离为，所以，所以，所以，

又因为，所以，解得，

因为，所以，所以.

故选：B.

9．某种食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）近似满足函数关系为常数）.若该食品在的保鲜时间是288小时，在的保鲜时间是144小时，则该食品在的保鲜时间是（    ）.

A．32小时 B．36小时 C．48小时 D．18小时

【答案】D

【分析】由已知列出方程组，求出，由此能出该食品的保鲜时间．

【详解】因为该食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为常数），

该食品在的保鲜时间是288小时，在的保鲜时间是144小时，

∴，解得，

∴该食品在的保鲜时间： （小时）．

故选：D．

10．已知且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指对互化，对数换底公式，对数运算法则求解计算即可得的值.

【详解】解：设，则，

又

所以，则.

故选：A.

11．已知奇函数的定义域为，且对任意实数满足，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，可得函数的周期性，结合对数的运算性质，可得答案.

【详解】由函数为奇函数，则为关于成中心对称；

由函数对任意实数满足，则函数关于直线成轴对称；

故，则，即函数的最小正周期.

，

由，则，即.

故选：D.

12．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解.

【详解】由题可得，

因为是奇函数，是偶函数，

所以，

联立解得，

又因为对任意的，都有成立，

所以，所以成立，

构造，

所以由上述过程可得在单调递增，

(i)若，则对称轴，解得；

(ii) 若，在单调递增，满足题意；

(iii) 若，则对称轴恒成立；

综上，，

故选：B.

二、填空题

13．已知幂函数经过点，则__________.

【答案】

【分析】先根据幂函数经过的坐标求出，再求即可.

【详解】依题意，，解得，于是，故.

故答案为：

14．已知点为角的终边上一点，则___________.

【答案】##

【分析】由任意角的三角函数的定义求解即可

【详解】因为点为角的终边上一点，

所以，

故答案为：

15．不等式的解集是__________.

【答案】

【分析】结合指数函数的单调性、一元二次不等式的解法求得不等式的解集.

【详解】，即，

由于在R上单调递减，所以，即

解得，所以不等式的解集为.

故答案为：.

16．__________.

【答案】

【分析】利用诱导公式，化简求值.

【详解】原式

故答案为：

17．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性求出函数的单调增区间，再根据题意列出不等式即可求解.

【详解】要使函数有意义，则有，

解得：，令，

函数在上单调递增，在上单调递减，

又因为在上单调递减，由复合函数的单调性可知：

函数在上单调递增，

又因为函数在区间内单调递增，

所以，则有，解得：，

故答案为：.

18．已知，且，则的最大值是__________.

【答案】

【分析】先将化为，在利用基本不等式求出的最小值，即可得到的最大值.

【详解】根据题意，因为，，所以，

因为，

所以，

当且仅当时等号成立，

所以当取最小值时，的最大值为.

故答案为：.

19．已知函数，若，则__________.

【答案】

【分析】利用函数的奇偶性求解即可.

【详解】由题意令，

因为，

所以为奇函数，

又，

所以，解得，

故答案为：

20．已知函数，关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是__________.

【答案】.

【分析】作出的图象，令，则可化为，然后通过研究方程根的分布，可求出实数的取值范围.

【详解】的图象如图所示，

令，则可化为，

因为关于的方程有5个不同的实数根，

所以是方程的一个根，

所以，

所以，

所以，

所以只要方程的另一个根满足

，解得且，

所以实数的取值范围是，

故答案为：.

三、解答题

21．已知，.

(1)求和的值；

(2)求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据，判断出的符号，再由同角的三角函数关系即可求得和的值；

（2）利用诱导公式化简得到，结合（1）即可求解.

【详解】（1）因为，所以，

又，则，

所以，

综上：，.

（2）

.

22．已知函数.

(1)若时，求满足的实数的值；

(2)若存在，使成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令，结合，解方程得出实数的值；

（2）将问题转化为存在，使得，只需求出函数的最小值即可，再利用换元法求的最小值.

【详解】（1）当时，，令，则，

解得或（舍），由，得

（2）由已知，存在，使成立可转化为存在，使得，

只需求出函数的最小值即可，

令，∴.则，易知在上单调递增，所以

，∴，∴.

23．已知函数

(1)求的最小值及对应的的集合；

(2)求在上的单调递减区间；

(3)若方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)；

(3)；

【分析】（1）由已知，可根据已知的函数解析式直接求解最小值，以及令求解出的最小值及对应的的集合；

（2）可令，将原函数转化为，先求解函数的单调递减区间，然后再令，从而求得函数的单调递减区间；

（3）由已知函数解析式，可画出图像，根据图像可直接求解实数的取值范围.

【详解】（1）由已知，函数，

所以当时，即时，

函数取得最小值，最小值为，

所以，当函数取得最小值对应的的集合为.

（2）因为函数，

令，因为，所以，

函数变为，

因此，函数当时单调递减区间是，

所以，即，

所以函数在上的单调递减区间是.

（3）由已知，画出函数的图像，如下图所示，

方程在上有两个不同的实数解，此时实数的取值范围为.

24．已知函数，记.

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(3)是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由.

【答案】(1)

(2)奇函数，证明见解析

(3)不存在，理由见解析

【分析】(1)根据真数大于0，分别求f(x)和g(x)定义域，F(x)为这两个定义域的交集；

(2)根据函数奇偶性的定义，即可判断；

(3)先根据定义域和值域求出m，n，a的范围，再利用单调性将问题转化为方程有解问题.

【详解】（1）由题意知

要使有意义，则有

，得

所以函数的定义域为：

（2）由(1)知函数F(x)的定义域为：，关于原点对称，

函数为上的奇函数.

（3），

假设存在这样的实数，则由

可知

令，则在上递减，在上递减，

是方程，即有两个在上的实数解

问题转化为：关于的方程在上有两个不同的实数解

令，则有

，

解得，又，∴

故这样的实数不存在.