2023届天津市实验中学滨海学校高三上学期期末数学试题（解析版）

2023届天津市实验中学滨海学校高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的交运算即可求解.

【详解】 ，所以

故选：A

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据命题的充分必要性直接判断.

【详解】对于不等式，可解得或，

所以可以推出，而不可以推出，

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

3．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.

【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，排除AC；

当时， ，所以，排除D.

故选：B.

4．某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．频率分布直方图中a的值为0.012

B．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80

C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80

D．估计总体中成绩落在内的学生人数为110

【答案】B

【分析】根据所有矩形的面积和为1求出，然后逐一判断即可.

【详解】由可得，故A错误

前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确

这20名学生数学考试成绩的众数为，故C错误

这20名学生数学考试成绩落在内的学生人数为，则总体中成绩落在内的学生人数为，故D错误

故选：B

5．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别限定的取值范围即可比较出大小.

【详解】设函数，又因为底数，所以函数为单调递增；

所以，

即；

设函数，又因为底数，所以函数为单调递增；

所以

即；

设函数，又因为底数，所以函数为单调递减；

所以

即

综上可知，；

故选：B.

6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.

【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，

设圆锥和圆锥的高之比为，即，

设球的半径为，则，可得，所以，，

所以，，，

，则，所以，，

又因为，所以，，

所以，，，

因此，这两个圆锥的体积之和为.

故选：B.

7．化简的值为（         ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】B

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

【详解】原式

，

故选：B

8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.

【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以,

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

9．已知，函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】与分段函数有关的方程根的问题需要分段讨论根的个数，首先讨论时，的根的个数，利用函数的单调性得出时，在上有一个根，在时，在上无实数根，由此可知需要在时，方程的解的个数情况，即在时，需要有一个根，时，需要有两个根，结合二次方程的根的分布可得．

【详解】时，方程为，，

函数在上是增函数，时，，，，

所以时在上有一个解，时，在时无实数解，

因为方程恰有两个互异的实数解，

所以时，在时，方程只有一个解或两个相等的实解，

时，时，方程有两个不等实解．

由得，

，，

，不合要求，

时，，方程无实数解，不合题意．

或时，方程有两个不等的实数解，

记，

时，的对称轴为，又，所以的两个实数解都小于1，满足题意，

时，的对称轴为，因此的两个根一个大于也即大于1，此根不是的根，因此要使得另一根小于1，

，，又，所以，

综上，或．

故选：D．

二、填空题

10．复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为___________.

【答案】##1.5

【分析】根据复数的除法运算化简，再由虚部的定义求复数z的虚部.

【详解】因为，

所以复数z的虚部为，

故答案为：.

11．在的展开式中，的系数为______ 用数字作答

【答案】

【分析】求得二项展开式的通项，结合通项确定，代入即可求解.

【详解】由题意，二项式展开式的通项为，

令，可得，

所以的系数为.

故答案为：.

12．若直线l∶截圆所得的弦长为2，则k的值为___________.

【答案】

【分析】利用直线与圆相交的特征三角形，即可求解.

【详解】由题意得，圆心到直线的距离为，则，即，解得.

故答案为：

13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

【答案】         

【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.

【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，

且两球是否落入盒子互不影响，

所以甲、乙都落入盒子的概率为，

甲、乙两球都不落入盒子的概率为，

所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.

14．已知，当取到最小值时，___________．

【答案】##0.75

【分析】先将化为，再结合基本不等式即可求出最小值及此时的值.

【详解】知，当取到最小值时，

由题意知：

，

当且仅当，即时取等，

故当取到最小值时，.

故答案为：.

三、双空题

15．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（如图②）.已知正六边形的边长为1，点M满足，则_________；若点P是线段EC上的动点（包括端点），则的最小值是___________.

【答案】     ##0.5     ##-0.75

【分析】根据题意，正六边形各边长为1，利用向量数量积即可求解；点是线段上的动点，故设，将用题目中已知向量表示，利用向量的线性运算及向量数量积进行求解.

【详解】解：由题可知,,

∴,

∴.

由题可知，点是线段上的动点，故设，

又,

故

，

故,

又，故当时，取最小值为.

四、解答题

16．在中，角所对的边分别为.已知.

(1)求A的值；

(2)求的值；

(3)求的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先求出，利用正弦定理求出，即可求出A；

（2）先利用和差角公式求出，利用正弦定理求出c；

（3）利用二倍角公式和和差角公式即可求解.

【详解】（1）因为,所以.

因为，由正弦定理得：,所以.

因为，，所以.

（2）由（1）知：.

因为，所以

.

由正弦定理得：.

（3）由（1）知：.

所以.

.

所以.

17．如图所示，在三棱柱中，侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，点G、M分别是线段AD、BF的中点．

(1)求证：平面BEG；

(2)求直线DM与平面BEG所成角的正弦值；

(3)求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，再由面面垂直有，结合已知、、两两垂直，构建以A为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，求面的法向量及，判断它们的位置关系，即可证结论.

（2）由（1），应用空间向量夹角的坐标表示求DM与平面BEG所成角的正弦值；

（3）由是面的一个法向量，结合（1）所得面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值．

【详解】（1）由四边形是正方形，则，又面面，面面 ，面，

所以面，而面，则，又，

所以、、两两垂直.

建立以A为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，

所以，

设为面的法向量，则，令，可得，

又，则，所以，又平面，

所以平面．

（2）由（1）知：且为面的法向量，

因此，即直线与平面所成角的正弦值为．

（3）由平面的一个法向量且为面的法向量，

因此，即平面与平面夹角的余弦值为．

18．已知椭圆（a＞b＞0）过点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，且|OA|=2|OB|．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点A的直线l1与椭圆交于另一点M，过点B的直线l2与椭圆交于另一点N，直线l1与l2的斜率的乘积为，M，N关于y轴对称，求直线l1的斜率．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由|OA|=2|OB|可得a=2b，由椭圆（a＞b＞0）过点可得，解方程求，由此可得椭圆方程，(2) 设直线l1的方程为y=k（x-6）,联立方程组求M的坐标，由条件求出直线l2的方程，联立方程组求N，根据M，N关于y轴对称，列方程求.

【详解】（1）因为|OA|=2|OB|，即a=2b，

又椭圆过点，所以，解得a=6，b=3，

椭圆方程为．

（2）设直线l1的方程为y=k（x-6），则

得（1+4k2）x2-48k2x+144k2-36=0，

解得x1=6，，所以．

因为直线l1，l2的斜率乘积为，所以直线l2的方程为，

同理可得，

因为M，N关于y轴对称，所以，

即4k2-4k-1=0，解得．

所以直线l1的斜率为．

19．已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项.

(1)求数列和的通项公式；

(2)记，其中，求数列的前项和；

(3)令，求证：.

【答案】(1)；

(2)

(3)见解析

【分析】（1）根据等差数列的性质求出，根据等差等比中项求出首项及公比公差，再求通项公式；

（2）奇数项和用裂项相消法求和，偶数项用错位相减法求和；

（3），求等比数列的从第二项到第项和再证明不等式.

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

，，所以

既是和的等差中项，又是其等比中项，

即，，即，

，

．

（2），

．

又

①

②

①减②得：

（3）当且仅当时取等号，时取小于号.

又因为且，所以，

所以，故．

20．已知函数，

(1)若函数在处的切线也是函数图像的一条切线，求实数a的值；

(2)若函数的图像恒在直线的下方，求实数a的取值范围；

(3)若，且，证明：>

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）首先求出切线的方程，然后设与相切时的切点为，然后可建立方程组求解；

（2）由题可得对于恒成立，然后利用导数求出函数的最大值即可；

（3）首先可得在上单调递减，然后由可得，同理可得，两式相加即可证明.

【详解】（1），在处切线斜率，，所以切线，

又，设与相切时的切点为，则斜率，

则切线的方程又可表示为，

由，解之得．

（2）由题可得对于恒成立，即对于恒成立，

令，则，由得，

则当时，，由，得：，即实数的取值范围是．

（3）由题知，

由得，当时，，单调递减，

因为，所以，即，

所以，①同理，②

①+②得，

因为，

由得，即，

所以，即，所以．