2023届天津市南开中学滨海名校高三上学期期末数学试题（解析版）

天津市南开中学滨海名校

高三年级2022—2023第一学期质量反馈数学学科试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．

答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上．答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．

第Ⅰ卷选择题（45分）

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，集合，，则

A.  B.

C.  D.

2. 设，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D既不充分也不必要条件

3. 已知，则（）

A B.  C.  D.

4. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知等比数列满足，，则的值为（）

A B.  C. 1 D. 2

6. 设，则大小关系为（）

A.  B.

C.  D.

7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A. 直线是图象的一条对称轴

B. 图象的对称中心为，

C. 在区间上单调递增

D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象

8. 已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（）

A.  B.  C.  D.

9. 已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为（）

A.  B.

C.  D.

第Ⅱ卷（105分）

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共11小题，共105分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

10. _______

11. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________.

12. 已知函数，若正数a、b满足，则______，的最小值为______.

13. 设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，已知取得的是合格品的条件下，则它是一等品的概率为_______．

14. 已知函数在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为______.

15. 已知函数，若恰有2个零点，则实数a的值为______，若关于x的方程恰有4个不同实数根，则实数m的取值范围为______.

三、解答题（共75分）

16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.

（1）求A；

（2）若，求的值；

（3）若面积为，，求的周长.

17. 如图,正三棱柱中,是中点．

（1）求证:平面;

（2）若,,求点到平面距离;

（3）当为何值时,二面角的正弦值为？

18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，短轴长是2．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为，．设的斜率为（），的面积为，当，求的取值范围．

19. 已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和；

（3）求证；.

20. 已知函数，.

（1）当时，若曲线与直线相切，求k的值；

（2）当时，证明：；

（3）若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围.

天津市南开中学滨海名校

高三年级2022—2023第一学期质量反馈数学学科试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．

答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上．答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．

第Ⅰ卷选择题（45分）

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，集合，，则

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】，则
故选：A

【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2. 设，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.

详解：绝对值不等式，

由.

据此可知是的充分而不必要条件.

本题选择A选项.

点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3. 已知，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合，利用诱导公式和二倍角公式即可求解

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：D

4. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】判断函数为奇函数，由图像可排除C，D；然后利用特殊值，取，可排除B.

【详解】定义域为，定义域关于原点对称，

，

是奇函数，排除C，D；

当时，，排除B；

故选：A.

【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.

5. 已知等比数列满足，，则的值为（）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据，利用等比数列的性质求得，再利用通项公式求解.

【详解】在等比数列中，，，

所以，

所以，

所以，

故选：C

6. 设，则大小关系为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】根据函数单调性及中间值比大小.

【详解】因为，，在定义域上单调递减，

故，，，

所以.

故选：A

7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A. 直线是图象的一条对称轴

B. 图象的对称中心为，

C. 在区间上单调递增

D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象

【答案】C

【解析】

【分析】由已知图象求得函数解析式，将代入解析式，由其结果判断A;求出函数的对称中心可判断B; 当时，，结合正弦函数的单调性判断C;根据三角函数图象的平移变换可得平移后函数解析式，判断D.

【详解】由函数图象可知，,最小正周期为，

所以，

将点代入函数解析式中，得：，结合，

所以，故，

对于A，当时，，故直线不是图象的一条对称轴，A错误;

对于B，令，则，

即图象的对称中心为，，故B错误；

对于C，当时，，由于正弦函数在上递增，

故在区间上单调递增，故C正确；

对于D，将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是奇函数，故D错误；

故选：C

8. 已知定义在上函数满足，，则关于的不等式的解集为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数，得到函数的单调性，根据单调性解不等式即可.

【详解】令，则，所以在单调递减，

不等式可以转化为，即，所以.

故选：D.

9. 已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】把函数恰有2个零点转化为和有两个交点.利用图像法解.

【详解】因为函数恰有2个零点，

所以和有两个交点.

作出函数的图像如图所示：

因为时，和相交，所以只需和再有一个交点.

.

当时，若与相切，则有的判别式，此时.

当时，若与相切，则有的判别式，此时.

当时，若与相切，设切点为.

则有，解得：.

所以要使函数恰有2个零点，

只需或或，解得：

或或.

故选：D

【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．

第Ⅱ卷（105分）

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共11小题，共105分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

10. _______

【答案】

【解析】

【分析】根据对数的运算性质即可求得答案.

【详解】,

故答案为：.

11. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________.

【答案】

【解析】

【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再由实部等于，虚部不等于即可求解.

【详解】因为纯虚数，

所以，解得，

故答案为：.

12. 已知函数，若正数a、b满足，则______，的最小值为______.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】分析出函数为上的增函数且为奇函数，由已知条件可得出，将所求不等式变形得出，然后再利用基本不等式可求得结果.

【详解】函数的定义域为，

，故函数为奇函数，

因为函数、、、均为上的增函数，故函数为上的增函数，

由可得，，

可得，则，

所以，

.

当且仅当，时，等号成立，

所以，的最小值为.

故答案为:；.

13. 设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，已知取得的是合格品的条件下，则它是一等品的概率为_______．

【答案】

【解析】

【分析】方法1：由条件概率公式计算可得结果.

方法2：由条件概率公式计算可得结果.

【详解】设事件A表示“取得合格品”，事件B表示“取得一等品”，

由已知得：，∴，

方法1：∴取得的是合格品，它是一等品的概率为：

方法2： ∴取得的是合格品，它是一等品的概率为：

故答案为：.

14. 已知函数在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】令，解得，然后根据在上有且只有2个零点列不等式，解不等式即可.

【详解】令，则，解得，

因为在上有且只有2个零点，所以，解得.

故答案为：.

15. 已知函数，若恰有2个零点，则实数a的值为______，若关于x的方程恰有4个不同实数根，则实数m的取值范围为______.

【答案】    ①. ；    ②.

【解析】

【分析】先利用导数研的的图象，再作出的图象,恰有2个零点，则与有2个交点，数形结合即可得实数a的值;若关于x的方程恰有4个不同实数根，令，通过分析可得有2个不等根,且，，再数形结合即可建立的不等式组，即可求解

【详解】当时，则，，

令，解得，

所以当时，,单调递增，时，,单调递减,

再根据题意可作出的图象如下:

若有2个零点,则与有2个交点，数形结合可知;

若关于x的方程恰有4个不同实数根，

令，则有两个不等实数根，

故，与都有2个交点或者与仅1个交点，与有3个交点；

当，与都有2个交点，根据图象可得，不满足，舍去；

当与仅1个交点，与有3个交点，则，，

当时，，解得，故，解得或，舍去；

故两个实数根的范围为，，

所以解得，

所以实数m的取值范围为，

故答案为：；

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到与仅1个交点，与有3个交点，并通过分析得到，

三、解答题（共75分）

16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.

（1）求A；

（2）若，求的值；

（3）若的面积为，，求的周长.

【答案】（1）；

（2）；

（3）8.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式进行化简得到，即可得到；

（2）利用二倍角公式得到，，然后利用和差公式得到，最后代入即可；

（3）利用面积公式得到，利用余弦定理得到，两式结合可得，然后求周长即可.

【小问1详解】

根据正弦定理得，

，

∵，∴，则，

∵，∴.

【小问2详解】

∵,

∴，，，，

∴

.

【小问3详解】

∵面积为，且，

∴，整理得①，

根据余弦定理可得，②，

联立①②，可得，所以周长为8.

17. 如图,正三棱柱中,是中点．

（1）求证:平面;

（2）若,,求点到平面的距离;

（3）当为何值时,二面角的正弦值为？

【答案】（1）证明见解析

（2）

（3）1

【解析】

【分析】(1) 连接交于点,连接,根据中位线即可证明,再利用线面平行判定定理即可证明;

(2)根据正三棱柱的几何特征,求出各个长度及,再用等体积法即可求得;

(3)建立合适空间直角坐标系,设出长度,找到平面及平面的法向量,建立等式,求出长度之间的关系即可证明.

【小问1详解】

证明:连接交于点,连接如图所示:

因为三棱柱,

所以四边形为平行四边形,

所以为中点,

因为是中点,

所以,

因为平面,平面,

所以平面;

【小问2详解】

由题知,因为正三棱柱,

所以平面,

且为正三角形,

因为,,

所以,,,

所以为直角三角形,

,

记点到平面的距离为,

则有,

即,

即,

解得,

故到平面的距离为;

【小问3详解】

由题,取中点为,可知,

所以平面,

因为为正三角形,是中点,

所以,

故以为原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立如图所示空间直角坐标系,

不妨记,

所以,

,

记平面的法向量为,

则有,

即,

取,可得;

记平面的法向量为,

则有,

即,

取,可得;

因为二面角的正弦值为,

所以

,

解得: ,

即当时,二面角的正弦值为.

18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，短轴长是2．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为，．设的斜率为（），的面积为，当，求的取值范围．

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据离心率和短轴长求出，可得椭圆的方程；

（2）写出直线和的方程，并与椭圆方程联立求出的坐标，求出和，求出直角三角形的面积，代入，解不等式可得结果.

【小问1详解】

设椭圆的半焦距为，

根据题意可得，解得，

所以椭圆的方程为.

【小问2详解】

由（1）知，椭圆的方程为，，

所以直线，，

设，，

联立，消去并整理得，

所以，所以，

所以，

联立，消去并整理得，

所以，所以，

所以,

所以，

由，得，

整理得，得，

又，所以，

所以或.

19. 已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和；

（3）求证；.

【答案】（1），；

（2）；

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式列方程，解得，即可得到，利用时，，得到数列为等比数列，然后求即可；

（2）根据（1）得到，然后利用裂项相消的方法求和即可；

（3）利用放缩的方法得到，然后用错位相减的方法求和，得到，即可证明.

【小问1详解】

设数列的公差为，则，解得，∴，

由①可得，当时，，则，

当时，②，

①②相减得，，整理得，所以数列为等比数列，.

【小问2详解】

由（1）可得，，

所以

.

【小问3详解】

由（1）可得，，又，

∴，

设，则，

两式相减得，

，

∴，

∴.

20. 已知函数，.

（1）当时，若曲线与直线相切，求k的值；

（2）当时，证明：；

（3）若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围.

【答案】（1）；

（2）证明见解析；（3）.

【解析】

【分析】（1）设切点坐标为，然后利用导数的几何意义列方程，解方程即可得到；

（2）证明即证明，然后求导，利用单调性求最值，即可证明；

（3）将不等式转化为，然后构造函数，根据的单调性得到恒成立，即，构造函数，根据的单调性得到，然后代入解不等式即可.

【小问1详解】

当时，，则，

设切点坐标为，则，解得，

所以.

【小问2详解】

当时，，定义域为，，

令，则，当时，，则在上单调递增，

又，所以当时，，时，，所以在上单调递减，上单调递增，

所以，则.

【小问3详解】

由题可知，，则不等式恒成立，

即，

即，

即，

即在上恒成立，

令，易知在上单调递增，

所以在上恒成立，即，

令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，上单调递增，

则，所以，解得，

所以的取值范围为.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

（1）恒成立⇔；

（2）恒成立⇔.