专题08 规律题方法总结与例题专训（原卷版+解析）

专题08  规律题方法总结与例题专训

【知识点睛】

常见规律题类型

        周期性循环

特点：常以3个或4个数据为一周期，以此循环往复；总数比较大，常和年份结合考察

处理方法步骤：1.找出第一周期的几个数，确定周期数

              2.算出题目中的总数和待求数

              3.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）

              4.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；

        周期性递变循环

特点：常以2个或3个一周期，后边的每组，周期数不变，但是数据的大小会以相同的关系递增或递减；

处理方法：同周期性循环基本一致，最后一步需要加入递变的关系

        递变增减型

   特点：分以此递增和以此递减，通常是数据之间的直接变化，偶尔借助图形；常和年份结合考察

   处理方法：熟记单独数据规律，直接应用于考察问题；

        算式类比性

特点：常给出几个算式或等式，先算简单的，再从简单的类比到复杂题目的计算

处理办法：1.正确计算出前面简单算式的答案

          2.找出数字间的规律

          3.将简单数字间的关系推导到字母n的关系中

        常见数字间固定规律识记：

        规律题解题思想：

1. 裂项相消法：将一项拆分成多项，前后保持相等，然后利用某些项相消的原则简化运算；
2. 错位相减法：适用于两个式子间有相同项的题目，两式相减直接抵消掉中间项，剩余首项、尾项再计算；
3. 倒序求和发：如：计算1+2+3+……+50，可以设S=1+2+3+……+50，则亦有S=50+49+48+……+1，

∴2S=51×50，∴S=51×25=…

裂项法公式：

【类题训练】

1．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（　　）

A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，161

2．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第2022个数是（　　）

A． B． C． D．

3．一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2021，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（　　）

A．1971 B．1970 C．﹣1971 D．﹣1970

4．有一列数a1，a2，a3，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2022为（　　）

A． B．2 C．﹣1 D．2022

5．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数﹣2022将与圆周上的哪个数字重合（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（　　）

A．第506个正方形的右上角 B．第506个正方形的左下角 

C．第505个正方形的右上角     D．第505个正方形的左下角

7．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　）

A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024

8．下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图①中有4个黑色棋子，图②中有7个黑色棋子，图③中有10个黑色棋子，…，依次规律，图中黑色棋子的个数是（　　）

A．6067 B．6066 C．6065 D．6064

9．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形武（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位、十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（　　）

A．     B．   C．     D．

10．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a﹣b﹣c的值是（　　）

A．﹣190 B．﹣66 C．62 D．64

11．已知整数m1，m2，m3，m4，…满足下列条件：m1＝0，m2＝﹣|1+m1|，m3＝﹣|2+m2|，m4＝﹣|3+m3|，…，以此类推，m2020＝　     　．

12．在2020个“□”中依次填入一列数字m1，m2，m3…，m2020，使得其中任意四个相邻的“□”中所填的数字之和都等于15．已知m3＝2，m6＝7，则m1+m2020的值为　  　．

13．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2021次输出的结果是 　   　．

14．如图，数字都是按一定规律排列的，其中x的值是 　      ．

15．观察图，找出规律．

，则的值为　 　．

16．观察以下等式：

第1个等式：×（2﹣）＝1+；

第2个等式：×（2﹣）＝1+；

第3个等式：×（2﹣）＝1+；

第4个等式：×（2﹣）＝1+；

第2021个等式：　                        　．

17．请你观察：，，；…

+＝+＝1﹣＝；

++＝++＝1﹣＝；…

以上方法称为“裂项相消求和法”．

请类比完成：

（1）+++＝　   　；

（2）++++…+＝　    　；

（3）计算：的值．

18．先阅读下列内容，然后解答问题．

因为．

所以．

请解答：

（1）应用上面的方法计算：…．

（2）类比应用上面的方法计算：…．

19．观察以下图案和算式，解答问题：

（1）1+3+5+7+9＝　 　；

（2）1+3+5+7+9+…+19＝　 　；

（3）请猜想1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝    　；

（4）求和号是数学中常用的符号，用表示，例如，其中n＝2是下标，5是上标，3n+1是代数式，表示n取2到5的连续整数，然后分别代入代数式求和，即：

＝3×2+1+3×3+1+3×4+1+3×5+1＝46

请求出的值，要求写出计算过程，可利用第（2）（3）题结论．

20．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如表：

（1）按这个规律，当m＝6时，和为　 　；

（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：　 　＝　   　．

（3）应用上述公式计算：

①2+4+6+…+200；

②202+204+206+…+300．

21．观察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52；……

（1）请根据你发现的规律填空：7×9+1＝（　 　）2；

（2）用含n的等式表示上面的规律：　              　；

（3）用找到的规律解决下面的问题：

计算：

22．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是 　 　；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝　 　，an＝　 　；②如果欲求1+2+3+4+…+n的值，可令S＝1+2+3+4+…+n❶，将①式右边顺序倒置，得S＝n+…+4+3+2+1❷，由❷式+❶式，得2S＝　 　；∴S＝　  　；由结论求1+2+3+4+…+55＝　  　；

（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　  　；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝　  　，an＝　  　；

②为了求1+3+32+33+…+32018的值，可令M＝1+3+32+33+…+32018❶，则3M＝3+32+33+…+32019❷，由❷式﹣❶式，得3M﹣M＝32019﹣1，∴M＝，即1+3+32+33+…+32018＝．

仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+551．