人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题16一元一次不等式应用题专训(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题16一元一次不等式应用题专训(原卷版+解析)，共45页。

【重难点题型】
一元一次不等式应用题
知识点一、常见的一些等量关系
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.
知识点二、列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
注：
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．
（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如下面例1中 “设还需要B型车x辆 ”，而在答中 “至少需要11台B型车 ”．这一点要应十分注意．
一、单选题
1．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）疫情的发生，各地积极响应政府“管住门，看住人”的要求，温华物业管理有限公司，对管辖的各小区实行门绳拦截管理，对符合3天出门一次采购生活用品的人员才能签证放行，为此，他们要把长19米的绳子剪成2米或1米的绳子，分发给各小区，请帮助公司设计有（ ）种裁剪方案．
A．10B．9C．8D．7
2．（2023春·七年级课时练习）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否>18”为一次程序操作，①输入整数11，输出结果为27；②若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则x的最大值是8；③若操作停止时输出结果为21，则输入的整数x是9；④输入整数x后，该操作永不停止，则，以上结论正确有( )
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都收7元车费），超过3千米以后，超过部分每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米，那么x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·七年级课时练习）规定为不大于的最大整数，如，，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·广西玉林·七年级统考期末）小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（ ）
A．7种B．6种C．4种D．3种
7．（2022春·云南昆明·七年级统考期末）将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则有小朋友（ ）
A．7位B．6位C．5或6位D．37或42位
8．（2022春·湖南长沙·七年级校联考期末）口味虾、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是长沙著名的小吃，某兴趣小组在班级发动了一项“舌尖上的长沙-我最喜欢的长沙小吃”调查活动，发现结果满足以下三个条件：
（1）喜欢嗦螺的人数少于喜欢口味虾的人数；
（2）喜欢嗦螺的人数多于喜欢臭豆腐的人数；
（3）喜欢臭豆腐的人数的3倍多于喜欢口味虾的人数．
若喜欢臭豆腐的人数为6，则喜欢嗦螺的人数的最大值为（ ）
A．16B．6C．17D．7
二、填空题
9．（2023春·全国·八年级专题练习）“输入一个实数，然后经过如图的运算，到判断是否大于为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则的取值范围是___________．
10．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校考阶段练习）某超市在元宵节这天对几种零食进行清仓促销．已知巧克力、薯片和瓜子的成本价分别为12元/袋、8元/袋、6元/袋，折后售价之比为，白天三种商品销量之比为．下午六点后，超市进行大促，每种商品都参加“买4送1”活动（即每5袋捆绑在一起销售，只付4袋的费用）．截止到营业时间结束时，三种商品均售出了白天销量的一半，且全天总销量超过250袋且不足350袋（商品的销量为整数）．已知这天薯片的销售额为1344元，则全天的利润为______元．
11．（2022春·福建福州·七年级校考期中）小宜跟几位同学在学校食堂吃饭，如下为食堂提供的套餐菜单，他们一共点了10份盖饭，6杯饮料．若、、套餐均至少点了两份，则点餐方案有 __种．
12．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）某书店开始销售A、B、C三种书籍，最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本．过了一段时间后，第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，且此时A、B、C三种书籍的库存数量之比为．又过了一段时间，第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，且此时A、B、C三种书籍的库存数量之比为．则第二次补充后，A种书籍的库存数量是___________本．
13．（2021秋·重庆铜梁·九年级校考阶段练习）“九月已经霜，蟹肥菊桂香”，古往今来，每至农历九月，蟹都是人们翘首以待的珍馐．某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．预计十一月捕捞第二批成熟的大闸蟹，同时决定将与某电商合作，将第二批大闸蟹根据品质及重量分为A（小蟹）、B（中蟹）、C（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）网上销售，若2只A类蟹、1只B类蟹和3只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹8只的价格，而6只A类蟹、3只B类蟹和4只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹14只的价格，且A类蟹与B类蟹每只的单价之比为3：4，根据市场有关部门的要求A、B、C三类蟹的单价之和不低于50元、不高于60元，则第一批大闸蟹每只价格为 _____元．
14．（2022春·山东青岛·八年级统考期中）2020年1月6日，《青岛市生活垃圾管理条例》正式实施，该条例倡导绿色、低碳、文明的生活方式，促进全民垃圾分类意识的提升，为落实“垃圾分类”的环保理念，某校计划采购一批垃圾桶，已知蓝色垃圾桶的单价是100元，灰色垃圾桶的单价是80元，学校计划用不超过4500元资金购入两种垃圾桶共50个，且蓝色垃圾桶的数量不少于灰色垃圾桶数量的80%，则至少需采购蓝色垃圾桶___________个．
15．（2020春·四川宜宾·七年级校考期中）对非负有理数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若，则．如，．给出下列关于（x）的结论：①；②；③；④若，则实数x的取值范围是．其中正确的结论有______（填写所有正确的序号）．
16．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．
已知当电梯乘载的重量超过300 kg时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50 kg、70 kg．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x kg，则满足题意的x的值可以是____________（写出一个即可）．
17．（2022春·江苏宿迁·七年级统考阶段练习）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是cm,若铁钉的总长度为5cm，则的取值范围是_________．
18．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中有点P（2，0），点M（3-2m，1），点N（m-3，1），且M在N的左侧，连接MP、NP、MN，若△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，则m的取值范围为______．
19．（2022春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）“青春心向党，奋斗正青春”，为了庆祝五四青年节，学校开展了一系列庆祝活动．某班外出参加活动，用餐时决定采取班级统一预订，学生即领即走的方式，餐费在晚餐后按实际用餐情况进行结算．餐厅提供了6元三明治、12元盒饭和15元盒饭三种选择．该班根据同学预订情况，将本班同学分成3组，A组：午餐晚餐都吃12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组 ：午餐吃15元，晚餐吃12元盒饭，预计一天全班的餐费大于1300元但不超过1650元．午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就买了B组同学的那份午餐；晚餐时，C组有6名同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治；当天统计后发现三个组的实际餐费正好一样多，则该班的总人数是______人．
20．（2022·浙江舟山·统考二模）如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是____________．
三、解答题
21．（2023·湖北黄冈·校考一模）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．
(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元?
(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
22．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）身体质量指数（）的计算公式：，这里为体重（单位：），为身高（单位：），男性的身体质量指数正常范围是．（计算结果保留位小数）
(1)如果一位男体育老师的身高为，体重为kg，请计算说明他的是否正常？
(2)一位成年男同学的身高为，且他的正常，请求出他的体重范围．
23．（2023春·安徽滁州·七年级校考阶段练习）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金5000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金8000元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于2.6万元且不少于2.4万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案．
24．（2023春·浙江温州·七年级校考期中）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张．
(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
(3)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值 ．(直接写出答案)
25．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）阅读下面材料，完成任务．
我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．
例：由得（为正整数），
∴ 则有 又为正整数，
∴为正整数．
由2与3互质可知，为3的倍数，从而，
∴，
∴的正整数解为
任务：
(1)请你写出方程的正整数解____________；
(2)若为自然数，则满足条件的有______ 个；
(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？
26．（2023·广西贵港·统考一模）某高科技公式根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：
信息一：A、B两种型号的医疗器械共生产80台；
信息二：生产这两种医疗器械的资金超过1800万元，但不足1810万元；
信息三：A，B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：
根据上述信息，解答下列问题：
(1)这两种型号的医疗器械各生产多少台？
(2)在实际销售时，每台A型医疗器械的售价提高了，每台B型医疗器械的售价不变，全部销售这两种医疗器械共获得利润595万元，求m的值．（利润售价成本）
27．（2023春·安徽宿州·八年级校考阶段练习）哈市某商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和2件B种商品所得利润为400元；售出2件A种商品和3件B种商品所得利润为700元．
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
(2)由于需求量大，A，B两种商品很快售完，该商场决定再一次购进A，B 两种商品共65件，且A种商品不高于37件，如果将这65件商品全部售完后所得利润不低于10000元，那么该商场有几种进货方案？
(3)哪种方案利润最高，最大利润是多少？
28．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市北雅中学校考阶段练习）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该中学购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
(1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于24个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
29．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
(1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
30．（2023·四川绵阳·统考二模）2022年3月1日，新冠疫情卷土重来，疫情发生后，市政府高度重视，并第一时间启动应急预案，迅速做好疫情防控工作，由于疫情原因，市急需大量物资．某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．
(1)甲、乙两种物资各采购了多少吨？
(2)现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资，A种卡车每辆需付运输费1500元，B种卡车每辆需付运输费1300元．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有几种运输方案﹖哪种运输方案的运输费最少，并求此时的运输费．
31．（2023秋·北京·七年级校联考期末）对于数轴上两条线段，给出如下定义：若线段的中点H与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”．
已知：如图，在数轴上点P，M，N表示的数分别为，1，2．
(1)设点Q表示的数为m，若线段是线段的“限中距线段”，
①m的值可以是_________；
A．1 B．6 C．14
②m的最大值是_________；
(2)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．
当时，若线段的“限中距线段”的长度恰好与的值相等，求出的中点H所表示的数；
(3)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时线段以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．若对于线段上任意一点Q，都有线段是线段的“限中距线段”，则t的最小值为_________，最大值为_________．
32．（2022·全国·七年级专题练习）小敏和小强到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸裁成盒身3个或者盒盖5个，且一个盒身和两个盒盖恰好能做成一个包装盒，设裁成盒身的白板纸有x张，回答下列问题．
(1)若有11张白板纸．
①请完成如表；
②求最多可做几个包装盒；
(2)若仓库中已有4个盒身，3个盒盖和23张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，可做多少个包装盒？
(3)若有n张白板纸（），先把一张白板纸适当套裁出3个盒身和1个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，求n的值．
33．（2022秋·浙江·八年级专题练习）新定义：对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，试解决下列问题：
(1)填空：
①________为圆周率），
②如果，则实数的取值范围________；
(2)若点位于第一象限，其中，是方程组的解，求的取值范围：
(3)若是正整数），例：（3）．下列结论：
①（1）； ②； ③； ④或1．
正确的有________（填序号）．
套餐：一份盖饭加一杯饮料套餐：一份盖饭加一份凉拌菜
套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜
型号
A
B
成本（万元/台）
20
25
售价（万元/台）
24
30
x张白板纸裁成盒身
张白板纸裁成盒盖
盒身的个数
0
盒盖的个数
0
2022-2023学年七年级数学下册重难点提升精讲精练《人教版》
专题16 一元一次不等式应用题专训
【重难点题型】
一元一次不等式应用题
知识点一、常见的一些等量关系
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.
知识点二、列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
注：
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．
（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如下面例1中 “设还需要B型车x辆 ”，而在答中 “至少需要11台B型车 ”．这一点要应十分注意．
一、单选题
1．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）疫情的发生，各地积极响应政府“管住门，看住人”的要求，温华物业管理有限公司，对管辖的各小区实行门绳拦截管理，对符合3天出门一次采购生活用品的人员才能签证放行，为此，他们要把长19米的绳子剪成2米或1米的绳子，分发给各小区，请帮助公司设计有（ ）种裁剪方案．
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】设2米长的绳子x根，则1米长的绳子为根，根据绳子的根数为正整数列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：设2米长的绳子x根，则1米长的绳子为根，根据题意得：
，
解得：，
∵x必须取正整数，
∴，，，4，5，6，7，8，9，
∴有9种裁剪方案，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组．
2．（2023春·七年级课时练习）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否>18”为一次程序操作，①输入整数11，输出结果为27；②若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则x的最大值是8；③若操作停止时输出结果为21，则输入的整数x是9；④输入整数x后，该操作永不停止，则，以上结论正确有( )
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
【答案】D
【分析】根据程序运行图，对选项逐个判断即可．
【详解】解：①，，停止运行，输出，正确；
②根据题意可得：，解得，x的最大值是8，正确；
③当输入为时，，，继续运行，则，
此时输出结果也为21，但是输入的数不为，错误；
④由题意可得：当时，会不停止运行，解得，正确；
正确的是①②④
故选：D
【点睛】此题考查了程序流程图，涉及了一元一次不等式（组），解题的关键是理解题意，读懂程序流程图，正确列出不等式．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】若需要经过两次运算，才能运算出y，则有不等式组：，即可解出x的取值范围．
【详解】解：由输入两次，才能计算出y的值得：，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，并考查了学生的阅读理解能力，解答本题的关键就是理解题图给出的计算程序．
4．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都收7元车费），超过3千米以后，超过部分每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米，那么x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】已知从甲地到乙地共需支付车费19元，从甲地到乙地经过的路程为x千米，从而根据题意列出不等式组，解之即得出答案．
【详解】根据题意可知，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式是解题的关键．
5．（2023春·七年级课时练习）规定为不大于的最大整数，如，，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据新定义列出关于的不等式组，再进一步求解即可.
【详解】解：
解不等式组，得：，
解不等式组，得：，
∴的取值范围为：.
故选：B.
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键.
6．（2022春·广西玉林·七年级统考期末）小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（ ）
A．7种B．6种C．4种D．3种
【答案】D
【分析】设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可．
【详解】解：设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，
，
解得，3≤x≤9，
∵x为整数，也为整数，
∴x=3或6或9，
∴有3种购买方案．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用题，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键所在．
7．（2022春·云南昆明·七年级统考期末）将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则有小朋友（ ）
A．7位B．6位C．5或6位D．37或42位
【答案】C
【分析】设小朋友为x人，根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，表示出苹果的个数，再由每位小朋友分8个苹果，根据人数为x人，表示出需要苹果的个数，减去苹果的总数，即为最后一名小朋友分到的苹果数，再利用最后一位小朋友分到了苹果，但不足8个列出关于x的不等式，求出不等式的解集，在解集中找出正整数解得到x的值，即为小朋友的人数，即可得到一箱苹果的个数．
【详解】解：设有x位小朋友，则苹果为个，
依题意得： ，
可化为：
，
解得：．
∵x是正整数，
∴x取5或6，
当时，5x+12=37；当x=6时，5x+12=42，
∴有两种情况满足题意：①这一箱苹果有37个，小朋友有5位；②这一箱苹果有42个，小朋友有6位，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，其中根据题意表示出最后一名小朋友分到的苹果数是解本题的关键．
8．（2022春·湖南长沙·七年级校联考期末）口味虾、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是长沙著名的小吃，某兴趣小组在班级发动了一项“舌尖上的长沙-我最喜欢的长沙小吃”调查活动，发现结果满足以下三个条件：
（1）喜欢嗦螺的人数少于喜欢口味虾的人数；
（2）喜欢嗦螺的人数多于喜欢臭豆腐的人数；
（3）喜欢臭豆腐的人数的3倍多于喜欢口味虾的人数．
若喜欢臭豆腐的人数为6，则喜欢嗦螺的人数的最大值为（ ）
A．16B．6C．17D．7
【答案】A
【分析】设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，根据题意列出不等式组即可解答．
【详解】设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，
根据喜欢臭豆腐的人数是6人，
结合题意有：，且x和y都是正整数，
解得：，且x和y都是正整数，
即喜欢口味虾的人数最多为17人，则喜欢嗦螺的人数最多为16人，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解答本题的关键．
二、填空题
9．（2023春·全国·八年级专题练习）“输入一个实数，然后经过如图的运算，到判断是否大于为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】表示出第一次、第二次的输出结果，再由输出结果可得出不等式，解出即可．
【详解】解：依题意得：第一次的结果为：，没有输出，
则，解得：；
第二次的结果为：，输出，
则，解得：；
综上可得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，解出不等式．
10．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校考阶段练习）某超市在元宵节这天对几种零食进行清仓促销．已知巧克力、薯片和瓜子的成本价分别为12元/袋、8元/袋、6元/袋，折后售价之比为，白天三种商品销量之比为．下午六点后，超市进行大促，每种商品都参加“买4送1”活动（即每5袋捆绑在一起销售，只付4袋的费用）．截止到营业时间结束时，三种商品均售出了白天销量的一半，且全天总销量超过250袋且不足350袋（商品的销量为整数）．已知这天薯片的销售额为1344元，则全天的利润为______元．
【答案】
【分析】设巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，根据全天总销量超过250袋且不足350袋，这天薯片的销售额为1344元，列出不等式组和方程，求解出的值，最后计算全天的利润即可．
【详解】由题意得，
设巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，
设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，
则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，
∵全天总销量超过250袋且不足350袋，这天薯片的销售额为1344元，
∴，
解得，
∴巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，
设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，
则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，
∴全天的利润为
（元），
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
11．（2022春·福建福州·七年级校考期中）小宜跟几位同学在学校食堂吃饭，如下为食堂提供的套餐菜单，他们一共点了10份盖饭，6杯饮料．若、、套餐均至少点了两份，则点餐方案有 __种．
【答案】3
【分析】根据题意分析得出他们一共点了（份）套餐．设他们点了份套餐，则点了份套餐，依题意得：，求出解集即可得到方案．
【详解】解：他们一共点了10份盖饭，6杯饮料，且只有套餐不含饮料，
他们一共点了（份）套餐．
设他们点了份套餐，则点了份套餐，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为2，3，4，
点餐方案共有3种．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意得到B套餐的份数是解题的关键．
12．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）某书店开始销售A、B、C三种书籍，最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本．过了一段时间后，第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，且此时A、B、C三种书籍的库存数量之比为．又过了一段时间，第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，且此时A、B、C三种书籍的库存数量之比为．则第二次补充后，A种书籍的库存数量是___________本．
【答案】360
【分析】设第一次补充后A书籍有本，B书籍有本，C书籍有本，第二次补充后A书籍有本，B书籍有本，C书籍有本，根据第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，可得最初时三种书籍的数量为本，再由最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本，可得，然后根据第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，可得，然后根据x，y均为正整数，即可求解．
【详解】解：设第一次补充后A书籍有本，B书籍有本，C书籍有本，第二次补充后A书籍有本，B书籍有本，C书籍有本，
∵第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，
∴最初时三种书籍的数量为本，
∵最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本，
∴，
解得：，
∵第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，
∴，
∴，
∵x，y均为正整数，，
∴当时，，
此时第二次补充后，A种书籍的库存数量是本．
故答案为：360
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
13．（2021秋·重庆铜梁·九年级校考阶段练习）“九月已经霜，蟹肥菊桂香”，古往今来，每至农历九月，蟹都是人们翘首以待的珍馐．某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．预计十一月捕捞第二批成熟的大闸蟹，同时决定将与某电商合作，将第二批大闸蟹根据品质及重量分为A（小蟹）、B（中蟹）、C（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）网上销售，若2只A类蟹、1只B类蟹和3只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹8只的价格，而6只A类蟹、3只B类蟹和4只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹14只的价格，且A类蟹与B类蟹每只的单价之比为3：4，根据市场有关部门的要求A、B、C三类蟹的单价之和不低于50元、不高于60元，则第一批大闸蟹每只价格为 _____元．
【答案】15
【分析】设第一批大闸蟹每只价格为x元，A类蟹与B类蟹每只的单价分别为3y，4y，C类蟹的价格为z元，根据“2只A类蟹、1只B类蟹和3只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹8只的价格，而6只A类蟹、3只B类蟹和4只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹14只的价格”列出方程组，求得A、B、C三类蟹的单价之和为，根据“A、B、C三类蟹的单价之和不低于50元、不高于60元，”列出一元一次不等式组，根据整数解确定的值即可求解．
【详解】设第一批大闸蟹每只价格为x元，A类蟹与B类蟹每只的单价分别为3y，4y，C类蟹的价格为z元，
根据题意得：，
解得：，
则A、B、C三类蟹的单价之和为：7y+z＝，
由题意得：50≤≤60，
解得：14≤x≤17，
∴x的整数解为：15，16，17，
又因为A类蟹与B类蟹的单价也是整数，
所以x＝15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的有意义，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
14．（2022春·山东青岛·八年级统考期中）2020年1月6日，《青岛市生活垃圾管理条例》正式实施，该条例倡导绿色、低碳、文明的生活方式，促进全民垃圾分类意识的提升，为落实“垃圾分类”的环保理念，某校计划采购一批垃圾桶，已知蓝色垃圾桶的单价是100元，灰色垃圾桶的单价是80元，学校计划用不超过4500元资金购入两种垃圾桶共50个，且蓝色垃圾桶的数量不少于灰色垃圾桶数量的80%，则至少需采购蓝色垃圾桶___________个．
【答案】23
【分析】设采购蓝色垃圾桶个，则采购灰色垃圾桶个，根据计划用不超过4500元资金购入两种垃圾桶共50个，且蓝色垃圾桶的数量不少于灰色垃圾桶数量的建立不等式组，解不等式组求出的最小正整数解，由此即可得．
【详解】解：设采购蓝色垃圾桶个，则采购灰色垃圾桶个，
由题意得：，
解得，
因为为正整数，
所以的最小值为23，
即至少需采购蓝色垃圾桶23个，
故答案为：23．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．
15．（2020春·四川宜宾·七年级校考期中）对非负有理数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若，则．如，．给出下列关于（x）的结论：①；②；③；④若，则实数x的取值范围是．其中正确的结论有______（填写所有正确的序号）．
【答案】①④##④①
【分析】对于①可直接判断；②、③可用举反例法判断；④根据题意列出不等式，解不等式可得答案．
【详解】解：①由题意得：，正确；
②例如，当x＝0.3时，，，此时，故②错误；
③例如，当x＝0.3，y＝0.4时，，，此时，故③错误；
④∵，
∴，
解得：9≤x＜11，故④正确；
综上可得①④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了对新定义的理解，一元一次不等式组的应用，正确理解题中新定义是解题的关键．
16．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．
已知当电梯乘载的重量超过300 kg时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50 kg、70 kg．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x kg，则满足题意的x的值可以是____________（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由图可得，小丽的重量为50kg，且进入电梯后，警示音没有响起；小欧的重量为70kg，进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意可知：当电梯乘载的重量超过300kg时警示音响起，小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x kg，
由图可知：小丽的重量为50kg，且进入电梯后，警示音没有响起，
此时电梯乘载的重量x＋50≤300，解得x≤250，
小欧的重量为70kg，且进入电梯后，警示音响起，
此时电梯乘载的重量x＋50＋70＞300，解得x＞180，
综上所述：180＜x≤250，
故答案为：200（答案不唯一，180＜x≤250中的一个值）．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．
17．（2022春·江苏宿迁·七年级统考阶段练习）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是cm,若铁钉的总长度为5cm，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由题意得敲击2次后铁钉进入木块的长度是a，而此时还要敲击1次，所以两次敲击进去的长度要小于5，经过三次敲击后全部进入，所以三次敲击后进入的长度要大于等于5，据此列出不等式组即可得出答案．
【详解】解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是a cm，
∴敲击2次后铁钉进入木块的长度是a＋a＝a（cm），
∵此时还要敲击1次，
∴＜5，
而第三次敲击进去最大长度是前一次的，也就是第二次的，即（cm），
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确分析得出两次敲击进去的长度和三次敲击进去的长度是解决问题的关键．
18．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中有点P（2，0），点M（3-2m，1），点N（m-3，1），且M在N的左侧，连接MP、NP、MN，若△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，则m的取值范围为______．
【答案】≤m＜
【分析】根据题意列出关于m的不等式，解之确定m的范围．
【详解】解：∵点P是一个整数点，除此以外，所有的整数点都位于MN上，
又∵△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，
∴MN线段上有4-1=3（个）整数点，
∵m-3-（3-2m）=m-6，
∴2≤m-6＜3，
解得：≤m＜．
故答案为：≤m＜．
【点睛】此题主要考查坐标与图形，在平面直角坐标系中描出点所在的位置，根据要求找出符合条件的点的坐标是解题的关键．
19．（2022春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）“青春心向党，奋斗正青春”，为了庆祝五四青年节，学校开展了一系列庆祝活动．某班外出参加活动，用餐时决定采取班级统一预订，学生即领即走的方式，餐费在晚餐后按实际用餐情况进行结算．餐厅提供了6元三明治、12元盒饭和15元盒饭三种选择．该班根据同学预订情况，将本班同学分成3组，A组：午餐晚餐都吃12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组 ：午餐吃15元，晚餐吃12元盒饭，预计一天全班的餐费大于1300元但不超过1650元．午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就买了B组同学的那份午餐；晚餐时，C组有6名同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治；当天统计后发现三个组的实际餐费正好一样多，则该班的总人数是______人．
【答案】54
【分析】设A组有x人，B组有y人，C组有z人，根据题意可得A组：预计每人餐费为24元；B组：预计每人餐费为30元；C组：预计每人餐费为27元，可得到1300＜24x+30y+27z≤1650，再由三个组的实际餐费正好一样多，可得24x+15=27z+36，30y-15=27z+36，从而得到24x=27z+21，30y=27z+51，继而得到1300＜27z+21+27z+51+27z≤1650，可得到，则有z取15，16，17，18，19，再由，可得9z+7为8的整数倍且9z+17位10的整数倍，从而得到z=17，即可求解．
【详解】解：设A组有x人，B组有y人，C组有z人，
∵A组：午餐晚餐都吃12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组：午餐吃15元盒饭，晚餐吃12元盒饭，
∴A组：预计每人餐费为12×2=24元；B组：预计每人餐费为15×2=30元；C组：预计每人餐费为15+12=27元，
∵一天全班的餐费大于1300元但不超过1650元．
∴1300＜24x+30y+27z≤1650①，
∵午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就买了B组同学的那份午餐；C组有6名同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治，
∴A组实际总餐费为（24x+15）元，B组实际总餐费为（30y-15）元，C组实际总餐费为27x+6×6=（27x+36）元，
∵三个组的实际餐费正好一样多，
∴24x+15=27z+36，30y-15=27z+36，
即
把②，③代入①得：1300＜27z+21+27z+51+27z≤1650，
解得：，
∵z为正整数，
∴z取15，16，17，18，19，
由②，③得：，
∴9z+7为8的整数倍且9z+17位10的整数倍，
∴z=17，
∴x=20，y=17，
∴该班的总人数是20+17+17=54人．
故答案为：54
【点睛】本题主要考查了不等式组的解法，三元一次方程组的应用，弄清数量关系，正确列出方程和不等式组是解题的关键．
20．（2022·浙江舟山·统考二模）如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是____________．
【答案】218，225，232
【分析】根据题意图形可知，竖式纸盒需要4个长方形纸板与1个正方形纸板，横式纸盒要3个长方形纸板与2个正方形纸板，设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个，即可算出总共用的纸板数，再根据，即可得到不等式组求出x的值，即可进行求解．
【详解】设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个，
∵，
∴，
解得，
∵x为正整数，
∴或或，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述，a的值为218，225，232，
故答案为：218，225，232．
【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找到不等关系进行求解，注意结合实际情况取整数解．
三、解答题
21．（2023·湖北黄冈·校考一模）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．
(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元?
(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；
(2)最省的方案是购买A型汽车4辆，购买B型汽车6辆，所需费用为280万元
【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆，根据费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，得到不等式组，解不等式组后，根据m是正整数写出方案，即可得到最省钱方案．
【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
由题意得，，
解得，
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；
（2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆，
根据题意得，，
解得，且m为正整数，
当时，，即购买A型汽车3辆，购买B型汽车7辆，此时费用为（万元）；
当时，，即购买A型汽车4辆，购买B型汽车6辆，此时费用为（万元）；
∴最省的方案是购买A型汽车4辆，购买B型汽车6辆，所需费用为280万元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出方程组和不等式组是解题的关键．
22．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）身体质量指数（）的计算公式：，这里为体重（单位：），为身高（单位：），男性的身体质量指数正常范围是．（计算结果保留位小数）
(1)如果一位男体育老师的身高为，体重为kg，请计算说明他的是否正常？
(2)一位成年男同学的身高为，且他的正常，请求出他的体重范围．
【答案】(1)他的不正常
(2)
【分析】（1）根据的计算公式求解即可；
（2）根据，可得，根据他的正常，可得体重的取值范围．
【详解】（1）解：，
，
他的不正常；
（2）解：男性的身体质量指数正常范围是，
，
，
他的体重范围是．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题中的公式是解题的关键．
23．（2023春·安徽滁州·七年级校考阶段练习）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金5000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金8000元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于2.6万元且不少于2.4万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案．
【答案】(1)甲型号手机每部进价为2000元，乙型号手机每部进价为1000元
(2)共有三种方案，
方案一：购进甲手机4部、乙手机16部；
方案二：购进甲手机5部、乙手机15部；
方案三：购进甲手机6部、乙手机14部
【分析】（1）设甲种型号手机每部进价为x元，乙种型号手机每部进价为y元，根据题意建立方程组求解就可以求出答案；
（2）设购进甲种型号手机a部，则购进乙种型号手机部，根据“用不多于2.6万元且不少于2.4万元的资金购进这两部手机共20台”建立不等式组，求出其解就可以得出结论．
【详解】（1）解：设甲种型号手机每部进价为x元，乙种型号手机每部进价为y元，根据题意得：
，
解得：，
甲型号手机每部进价为2000元，乙型号手机每部进价为1000元；
（2）设购进甲种型号手机a部，则购进乙种型号手机部，根据题意得：
解得：，
∵a为整数，
∴共有三种方案，
方案一：购进甲手机4部、乙手机16部；
方案二：购进甲手机5部、乙手机15部；
方案三：购进甲手机6部、乙手机14部．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用，要能根据题意列出不等式组，关键是根据不等式组的解集求出所有的进货方案．
24．（2023春·浙江温州·七年级校考期中）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张．
(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
(3)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值 ．(直接写出答案)
【答案】(1)5，10
(2)加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完
(3)，298
【分析】（1）由一个竖式无盖纸盒需要1个正方形纸板、4个长方形纸板，一个横式无盖纸盒需要2个正方形纸板、3个长方形纸板，可求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，所需长方形及正方形纸板数量；；
（2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据共用162张正方形纸板及338张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，根据所用长方形纸板数竖式无盖纸盒数横式无盖纸盒数，可得出a关于m的等式，结合a，m为正整数及，可找出a的所有可能值．．
【详解】（1）解：根据图中所给1个竖式无盖纸盒构成：4个长方形侧面和1个正方形底面可知，需要1个正方形纸板（底面）和4个长方形纸板（侧面）；
根据图中所给1个横式无盖纸盒构成：2个正方形侧面+2个长方形侧面+一个长方形底面可知，需要2个正方形纸板（侧面）和3个长方形纸板（侧面和底面）；
综上所述，做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板张，长方形纸板张，
故答案为：5，10；
（2）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，
根据题意得：，
解得：，
∴加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完，
答：加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（3）解：设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，
由题意得：，化简得：，
，且、为整数，
，即，
∴满足题意的m有，
使为整数的取值是：，，
的所有可能值是：，．
故答案为：293，298.
【点睛】本题考查实际应用题，涉及到立体图形的侧面展开、二元一次方程应用和不等式组的应用，根据题意准确找到等量关系是解决问题的关键．
25．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）阅读下面材料，完成任务．
我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．
例：由得（为正整数），
∴ 则有 又为正整数，
∴为正整数．
由2与3互质可知，为3的倍数，从而，
∴，
∴的正整数解为
任务：
(1)请你写出方程的正整数解____________；
(2)若为自然数，则满足条件的有______ 个；
(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？
【答案】(1)
(2)4
(3)有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔
【分析】（1）根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解．
（2）参照例题的解题思路进行解答；
（3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支，根据题意得，其中x、y均为自然数．参照例题的解题思路解该二元一次方程即可．
【详解】（1）解：由，得（x、y为正整数）．
所以，即，
∴当时，，
即方程的正整数解是；
故答案为：；
（2）解：若为自然数，
则有：，即．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
即满足条件x的值有4个，
故答案为：4；
（3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支，
根据题意得，
解得，（为正整数），
∴，解得，
又∵是3的倍数，
∴的取值为1或4．
∴的正整数解为或者，
即有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有解均不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数．
26．（2023·广西贵港·统考一模）某高科技公式根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：
信息一：A、B两种型号的医疗器械共生产80台；
信息二：生产这两种医疗器械的资金超过1800万元，但不足1810万元；
信息三：A，B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：
根据上述信息，解答下列问题：
(1)这两种型号的医疗器械各生产多少台？
(2)在实际销售时，每台A型医疗器械的售价提高了，每台B型医疗器械的售价不变，全部销售这两种医疗器械共获得利润595万元，求m的值．（利润售价成本）
【答案】(1)该公司生产A、B型号医疗器械分别为39台、41台
(2)
【分析】（1）设该公司生产A型号医疗器械x台，则生产B型号的医疗器械 台，列出不等式组，并解不等式组可解答；
（2）根据题意列出有关m的方程，并求解即可．
【详解】（1）设该公司生产A型号医疗器械x台，则生产B型号的医疗器械 台．
根据题意，得：，解得：，
∵x为正整数，∴，则，
答：该公司生产A、B型号医疗器械分别为39台、41台．
（2）根据题意，得：，
解得：
【点睛】本题考查了一元一次不等式组及方程的应用，考查学生解决实际问题的能力，解决本题的关键是找到不等关系并列出不等式．
27．（2023春·安徽宿州·八年级校考阶段练习）哈市某商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和2件B种商品所得利润为400元；售出2件A种商品和3件B种商品所得利润为700元．
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
(2)由于需求量大，A，B两种商品很快售完，该商场决定再一次购进A，B 两种商品共65件，且A种商品不高于37件，如果将这65件商品全部售完后所得利润不低于10000元，那么该商场有几种进货方案？
(3)哪种方案利润最高，最大利润是多少？
【答案】(1)A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为200元和100元
(2)35件A种商品，30件B种商品；36件A种商品，29件B种商品；37件A种商品，28件B种商品
(3)利润最高的方案为：37件A种商品，28件B种商品，最高利润为10200元
【分析】（1）设每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为元和元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设A种商品的进货数量为件，则B种商品的进货数量为件，根据题意建立不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围，即可得到最终方案；
（3）分别计算出各种方案的利润，即可得到答案．
【详解】（1）解：设每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为元和元，
根据题意得：，
解方程组：，
故件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为200元和100元．
（2）解：设A种商品的进货数量为件，则B种商品的进货数量为件，
根据题意得：，
解不等式组得：，
∴进货方案有三种：35件A种商品，30件B种商品；36件A种商品，29件B种商品；37件A种商品，28件B种商品；
（3）解：当35件A种商品，30件B种商品时，利润为：元；
当36件A种商品，29件B种商品时，利润为：元；
当37件A种商品，28件B种商品时，利润为：元；
∴利润最高的方案为：37件A种商品，28件B种商品，最高利润为10200元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组．
28．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市北雅中学校考阶段练习）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该中学购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
(1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于24个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
(2)共有2种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球．
【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共需3100元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于24个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有2种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为24，25，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案2：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）．
∵，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，即购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
29．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
(1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
【答案】(1)50元，80元
(2)3种，方案1
【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）．
∵，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，即购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
30．（2023·四川绵阳·统考二模）2022年3月1日，新冠疫情卷土重来，疫情发生后，市政府高度重视，并第一时间启动应急预案，迅速做好疫情防控工作，由于疫情原因，市急需大量物资．某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．
(1)甲、乙两种物资各采购了多少吨？
(2)现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资，A种卡车每辆需付运输费1500元，B种卡车每辆需付运输费1300元．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有几种运输方案﹖哪种运输方案的运输费最少，并求此时的运输费．
【答案】(1)甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨；
(2)共有3种运输方案，安排25辆A型卡车，25辆B型卡车时，运输费最少，此时的运输费70000元．
【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物资及240吨乙物资，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案，再根据单车运输费用即可计算得出结论．
【详解】（1）解：设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨；
（2）解：设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车辆，
依题意，得：，
解得：．
∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；
需要付车费为：（元）；
方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；
需要付车费为：（元）；
方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．
需要付车费为：（元）；
∵，
∴安排25辆A型卡车，25辆B型卡车时，运输费最少，此时的运输费70000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
31．（2023秋·北京·七年级校联考期末）对于数轴上两条线段，给出如下定义：若线段的中点H与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”．
已知：如图，在数轴上点P，M，N表示的数分别为，1，2．
(1)设点Q表示的数为m，若线段是线段的“限中距线段”，
①m的值可以是_________；
A．1 B．6 C．14
②m的最大值是_________；
(2)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．
当时，若线段的“限中距线段”的长度恰好与的值相等，求出的中点H所表示的数；
(3)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时线段以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．若对于线段上任意一点Q，都有线段是线段的“限中距线段”，则t的最小值为_________，最大值为_________．
【答案】(1)①B；②12
(2)
(3)，
【分析】（1）的中点表示的数是，可得，故，①由可得答案；②由得的最大值为12；
（2）设表示的数是，根据线段的“限中距线段” 的长度恰好与的值相等，且，有，可得，即可得的中点所表示的数是；
（3）根据题意，表示的数是，表示的数是，表示的数是，设表示的数是，则，又线段是线段的“限中距线段”，有，从而，由得，由得，即可得答案．
【详解】（1）解：表示的数是，表示的数是，
的中点表示的数是，
根据题意得，
，
①由可知，当时，线段是线段的“限中距线段”，
故答案为：B；
②由可知，线段是线段的“限中距线段“，的最大值为12，
故答案为：12；
（2）设表示的数是，根据题意知表示的数是，
的中点所表示的数是，
线段的“限中距线段” 的长度恰好与的值相等，且，
，
，
，
的中点所表示的数是；
（3）根据题意，表示的数是，表示的数是，表示的数是，
设表示的数是，则，
线段是线段的“限中距线段”，
，
解得，
由得，
由得，
，
最小值为，最大值为，
故答案为：，．
【点睛】本题教材一元一次方程和一元一次不等式组的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“限中距线段”的概念．
32．（2022·全国·七年级专题练习）小敏和小强到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸裁成盒身3个或者盒盖5个，且一个盒身和两个盒盖恰好能做成一个包装盒，设裁成盒身的白板纸有x张，回答下列问题．
(1)若有11张白板纸．
①请完成如表；
②求最多可做几个包装盒；
(2)若仓库中已有4个盒身，3个盒盖和23张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，可做多少个包装盒？
(3)若有n张白板纸（），先把一张白板纸适当套裁出3个盒身和1个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，求n的值．
【答案】(1)①，，；②15
(2)34个
(3)79
【分析】（1）①根据题意可填表即可；②由题意可得，求出做盒身的白纸板的数量，最后求出盒子的个数即可；
（2）设裁成盒身用y张白纸板，则裁盒盖的白纸板有张，列出方程求解即可；
（3）设用z张白纸板裁盒身，则裁盒盖的白纸板有 张，列方程为，求出n与z的关系式为，再由可得，即，进而求出n的值．
【详解】（1）解：①完成下表为：
故答案为：，；
②由题意可得：，解得，
∴有5张白板纸做盒身，
∴最多可以做15个包装盒；
答：最多可做15个包装盒
（2）解：设裁成盒身用y张白板纸，则裁盒盖的白板纸有张，
由题意可得，解得，
∴10张白板纸能做30个盒身，
∴可以做34个包装盒；
（3）解：设用z张白板纸裁盒身，则裁盒盖的白板纸有张，
由题意可得，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵
∴n的值为79．
【点睛】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、找准等量关系、列出代数式和方程是解题的关键．
33．（2022秋·浙江·八年级专题练习）新定义：对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，试解决下列问题：
(1)填空：
①________为圆周率），
②如果，则实数的取值范围________；
(2)若点位于第一象限，其中，是方程组的解，求的取值范围：
(3)若是正整数），例：（3）．下列结论：
①（1）； ②； ③； ④或1．
正确的有________（填序号）．
【答案】(1)①3；②5≤x<6
(2)
(3)①②④
【分析】（1）①根据规定[x]表示不大于x的最大整数，可得答案；②根据规定可得3≤x-2＜4，解不等式组即可求解；
（2）解方程组得，由点P位于第一象限知得，进一步求解即可；
（3）根据新定义进行计算进而判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【详解】（1）（1）①根据题意知；
②，
，
解得，
故答案为：①3；②．
（2）解关于，是方程组得，
点位于第一象限，
，解得，则，
；
（3）（1），故①正确；
，故②正确；
当时，，而（3），故③错误；
当为自然数）时，，当为其它的正整数时，，所以④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、解二元一次方程组，第一象限的点的符号问题，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．
套餐：一份盖饭加一杯饮料套餐：一份盖饭加一份凉拌菜
套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜
型号
A
B
成本（万元/台）
20
25
售价（万元/台）
24
30
x张白板纸裁成盒身
张白板纸裁成盒盖
盒身的个数
0
盒盖的个数
0
x张白板纸裁成盒身
张白板纸裁成盒盖
盒身的个数
3x
0
盒盖的个数
0
5(11-x)