还剩44页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
人教版七年级数学下册重难点专题提升专题09平面直角坐标系规律探究性问题专训(30道)(原卷版+解析)
展开
这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升专题09平面直角坐标系规律探究性问题专训(30道)(原卷版+解析)，共47页。
1．（2022秋·河南郑州·八年级统考期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（44，4）B．（44，3）C．（44，2）D．（44，1）
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，正方形，，，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序依次记为，，）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点的坐标为．（ ）
A．（503，503）B．（-504，504）C．（-505，-505）D．（506，506）
3．（2022春·湖北随州·七年级统考期末）如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（ ）
A．（2022，8）
B．（63，5）
C．（64，5）
D．（64，4）
4．（2022春·湖北黄石·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得第2019个点的坐标是（ ）
A．（64，2）B．（64，3）C．（1010，505）D．（2021，2020）
5．（2022秋·重庆·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2）．把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A－B－C－D－A－…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（－1，1）B．（－1，－1）C．（－1，－2）D．（0，－2）
6．（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）…，那么点A2022的坐标为( )
A．（1011，0）B．（1011，1）
C．（2022，0）D．（2022，1）
7．（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示、如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021春·河南周口·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从原点O出发向右移动1个单位长度到达点P1；然后逆时针转向90°移动2个单位长度到达点P2；然后逆时针转向90°，移动3个单位长度到达点P3；然后逆时针转向90°，移动4个单位长度到达点P4；…，如此继续转向移动下去．设点Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+x3+…+x2021＝（ ）
A．1B．﹣1010C．1011D．2021
9．（2021·山东烟台·统考一模）如图，，，，…均为斜边在轴上且斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别是，，，则按图中所示规律，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→…则2021分钟时粒子所在点的横坐标为（ ）
A．886B．903C．946D．990
二、填空题
11．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图所示，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；……，依次类推，经过第2020次翻滚，点的对应点的坐标为______．
12．（2022秋·全国·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为____．
13．（2021·广东梅州·统考二模）如图，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧的圆心依次按点，，，循环，点的坐标为，按此规律进行下去，则点的坐标为______．
14．（2020春·广西玉林·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排行，如，，，，，，根据这个规律探索可得，第个点的坐标为__________．
15．（2021春·山东滨州·七年级统考期中）在直角坐标系中，下面各点按顺序依次排列：，……，按此规律，这列点中第个点的坐标是__________．
16．（2022春·山东临沂·七年级校考期末）如图，动点P从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…则第2068秒点P所在位置的坐标是_______________．
17．（2019春·河北沧州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），第一次点A跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动至点A2（2，1），第三次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第四次点A3跳动至点A4（3，2），依此规律跳动下去，则点A2017与点A2018之间的距离是__________．
18．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆农业大学附属中学校考期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，．．．按这样的运动规律，经过2019次运动后，动点的坐标为___________．
19．（2018秋·山东济宁·七年级统考期中）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则An（___，__），Bn（_____，_____）．
20．（2019春·河南洛阳·七年级东方二中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（2，﹣2），第4次接着运动到点（4，﹣2），第5次接着运动到点（4，0），第6次接着运动到点（5，）…按这样的运动规律，经过2019次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是_____．
21．（2022秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点，与点，之间的“直角距离”为．已知点，点．
(1)A与B两点之间的“直角距离”___________；
(2)点为y轴上的一个动点，当t的取值范围是___________时，的值最小；
(3)若动点P位于第二象限，且满足，请在图中画出点P的运动区域（用阴影表示）．
22．（2021春·浙江·七年级期中）电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网，例如，再下一步即．
（1）若则坐标是______，的坐标是_______．
（2）分别取坐标，根据你对蜘蛛织网的理解，请在网格上画出这两张网．
（3）在电子蜘蛛织网过程中，第n步的坐标，请你写出第1步所有可能的结果．
（4）进一步思考：若点那么点有没有可能始终在y轴的右侧，若有可能直接写出a，b的取值范围．若不可能说明理由．
23．（2020秋·北京·八年级北京师大附中校考期中）在平面直角坐标系中， 对任意的点， 定义 的绝对坐标，任取点，，，，若此时成立，则称点，相关．
（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ．
①，．
②，．
（2）对于点 ， 其中，，其中，是整数．则所有满足条件的点有 个；
求所有满足条件的所有点中与点相关的点的个数；
对于满足条件的所有点中取出个点，满足在这个点中任意选择 ，两点，点 ，都相关，求的最大值．
24．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与x轴负半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴负半轴的交点依次记作，，…，，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（2）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（3）请求出四边形的面积．
25．（2022秋·全国·八年级专题练习）综合与实践：
(1)动手探索在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，，分别写出，，，的坐标；
(2)观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为、，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律 ，并用，的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” ；
(3)实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点，点，则线段的中点的坐标为 ；
②已知点是线段的中点，且点，，求点的坐标．
26．（2022春·河北邢台·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，．
(1)若点在线段上，当点与点的距离最小时，点的坐标为____；
(2)把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____．
27．（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从处出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动距离为1个单位长度，其行走路线如图所示．
(1)在图中补出y轴，并写出点，，的坐标；
(2)写出点的坐标（n为正整数）；
(3)蚂蚁从点到点的移动方向是 （填“向上”“向右”或“向下”）．
28．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点（1，1），（3，1），（3，5），连接，，．
(1)特例感知：分别找到线段，，的中点，并依次标记为，，，它们的坐标为
（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）．
(2)观察猜想：仔细观察上述三条线段中点的横坐标与纵坐标，分别与对应的线段，，的两端点的横坐标与纵坐标进行比较，看看它们之间有什么关系，并根据你的猜想完成下列问题．
①若点（-5，1.5），（-1，-3.5），则线段的中点坐标为_________；
②若点（a，b），（c，d），则线段的中点坐标为_________．
(3)拓展应用：若，分别是三角形中，的中点，请直接写出与的位置关系及数量关系．
29．（2022春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期末）在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．例如，点，点，，，，
(1)若点，点B在x轴的正半轴上，，求点B的坐标；
(2)若点，点P，Q在x轴上，且点P在点Q的左侧，点B在线段PQ上，将的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为，
①若点，，求的值；
②若点，点，，直接写出a的取值范围．
30．（2021春·浙江·七年级期中）阅读：在平面直角坐标系内，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．如点的伴随点为，即．
（1）若点M的伴随点坐标为，则点M的坐标为__________．
（2）若点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点．
①若点的坐标为，则点的坐标为_________．
②点有没有可能始终在y轴的左侧？若可能，请分别求出a、b的取值范围；若不可能，请说明理由．
专题09 平面直角坐标系规律探究性问题专训（30道）
【平面直角坐标系规律探究性问题专训】
1．（2022秋·河南郑州·八年级统考期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（44，4）B．（44，3）C．（44，2）D．（44，1）
【答案】C
【分析】根据题意依次写出第一象限内从运动过的点坐标及其对应的运动时间，分析后发现，点，对应运动的时间为分钟．当为奇数时，运动方向向左；当为偶数时，运动方向向下．利用该规律，将2022写成，可以看做点向下运动42个单位长度，进而求出结果．
【详解】解：由题意及图形分析可得，
当点时，运动了2分钟，，方向向左，
当点时，运动了6分钟，，方向向下，
当点时，运动了12分钟，，方向向左，
当点时，运动了20分钟，，方向向下，
……
点，运动了分钟，当为奇数时，方向向左；当为偶数时，方向向下．
，方向向下，则当运动在第2022分钟时，可以看做点再向下运动42分钟，，即到达．
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标的规律变化的分析推理能力．合理寻找特殊点与序号变化间的关系是解题的关键．
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，正方形，，，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序依次记为，，）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点的坐标为．（ ）
A．（503，503）B．（-504，504）C．（-505，-505）D．（506，506）
【答案】C
【分析】找到三条规律：循环节；点与象限，坐标、正方形的边长与正方形的序号间的关系就可以判定．
【详解】根据题意，得到如下规律：各点的循环节为4，余数为1的点位于第三象限，余数为2的点位于第二象限，余数为3的点位于第一象限，余数为0的点位于第四象限，
且第一个正方形边长为2，各点纵坐标，横坐标的绝对值等于正方形个数的序号，
∵2017÷4=504…1，
∴顶点是第505个正方形的第一个顶点，位于第三象限，
∴其坐标为（-505，-505），
故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，正确找到坐标与正方形个数序号之间的规律是解题的关键．
3．（2022春·湖北随州·七年级统考期末）如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（ ）
A．（2022，8）
B．（63，5）
C．（64，5）
D．（64，4）
【答案】C
【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个点，可得前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），最后按照规律可得第2022个点的坐标．
【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个
∴前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），
∵=2016，且列数是偶数时，点的顺序是由下而上，列数是奇数时，点的顺序是由上而下，
∴第2016个点的坐标为（63，0），
第2017个点的坐标为（64，0），
第2018个点的坐标为（64，1），
第2019个点的坐标为（64，2），
第2020个点的坐标为（64，3），
第2021个点的坐标为（64，4），
第2022个点的坐标为（64，5），
故选：C．
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标的规律是解答此题的关键．
4．（2022春·湖北黄石·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得第2019个点的坐标是（ ）
A．（64，2）B．（64，3）C．（1010，505）D．（2021，2020）
【答案】A
【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2,0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点，…第n列有n个点，可得前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），由此可得第2016个点的坐标为（63，0），最后根据规律解答第2019个点即可．
【详解】解： 把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2,0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点，…第n列有n个点，
前n列共有个点，
第n列最下面的点的坐标为（n，0）
第2016个点的坐标为（63，0）
第2017个点的坐标为（64，0）
第2018个点的坐标为（64，1）
第2019个点的坐标为（64，2）
故选：A．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标规律是解题关键．
5．（2022秋·重庆·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2）．把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A－B－C－D－A－…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（－1，1）B．（－1，－1）C．（－1，－2）D．（0，－2）
【答案】A
【分析】由点A、B、C的坐标可得出AB、BC的长度，从而可得四边形ABCD的周长，再根据2022=202×10+2即可得出细线另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而可得答案．
【详解】解：∵A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2），
∴AB=1-(-1)=2，BC=2-(-1)=3，
从A→B→C→D→A一圈的长度为2(AB+BC) =10，
∵，
∴细线的另一端在绕四边形202圈后的第二个单位长度的位置，
即点B的位置，坐标为（－1，1）．
故选：A．
【点睛】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2022个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
6．（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）…，那么点A2022的坐标为( )
A．（1011，0）B．（1011，1）
C．（2022，0）D．（2022，1）
【答案】B
【分析】一动点在平面直角坐标系中按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，只要求出前几个坐标，然后根据坐标找规律即可得出A2022的坐标．
【详解】解：根据题意和图的坐标可知：每次都移动一个单位长度，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，，，，(2，1)，A6(3，1)，A7(3，0)，
坐标变换的规律：每移动4次，前两次移动后它的纵坐标都为1，后两次移动的纵坐标为0，而横坐标向右移动了2个单位长度，也就是移动次数的一半；
∴2022÷4=505余2，
∴纵坐标是的纵坐标为1，横坐标是2×505+1=1011，
∴点A2022坐标为(1011，1)，
故选：B.
【点睛】本题是规律型题目，点的坐标规律，依次求出各点的坐标，从中找到规律是解题的关键．
7．（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示、如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2022次碰到球卓边时，小球的位置．
【详解】由图可得，
点(1，0)第一次碰撞后的点的坐标为(0，1)，
第二次碰撞后的点的坐标为(3，4)，
第三次碰撞后的点的坐标为(7，0)，
第四次碰幢后的点的坐标为(8，1)，
第五次碰撞后的点的坐标为(5，4)，
第六次碰撞后的点的坐标为(1，0)，
2022÷6=3366，
小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（1，0)，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．
8．（2021春·河南周口·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从原点O出发向右移动1个单位长度到达点P1；然后逆时针转向90°移动2个单位长度到达点P2；然后逆时针转向90°，移动3个单位长度到达点P3；然后逆时针转向90°，移动4个单位长度到达点P4；…，如此继续转向移动下去．设点Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+x3+…+x2021＝（ ）
A．1B．﹣1010C．1011D．2021
【答案】A
【分析】根据各点横坐标数据得出规律，进而得出；经过观察分析可得每4个数的和为，把2020个数分为505组，求出，即可得到相应结果．
【详解】解：根据平面坐标系结合各点横坐标得出：、、、、、、、的值分别为：1，1，，，3，3，，；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律．
9．（2021·山东烟台·统考一模）如图，，，，…均为斜边在轴上且斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别是，，，则按图中所示规律，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图形得到规律：当脚码是1、5、时，横坐标是脚码加3和的一半，纵坐标为0；当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是3、7、时，横坐标是脚码减3差的一半的相反数，纵坐标为0；当脚码是4、8、时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半．然后确定出第2021个点的坐标即可．
【详解】解：各三角形都是等腰直角三角形，
直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
，，，，，，，，，，，，，
由上可知，当脚码是1、5、时，横坐标是脚码加3和的一半，纵坐标为0；当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是3、7、时，横坐标是脚码减3差的一半的相反数，纵坐标为0；当脚码是4、8、时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半．
，
点在轴正半轴上，横坐标是，纵坐标是0，
∴的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→…则2021分钟时粒子所在点的横坐标为（ ）
A．886B．903C．946D．990
【答案】D
【分析】对平面直角坐标系的点按照横坐标分行，找到行与点个数的关系，利用不等式的夹逼原则，求出2021点的横坐标．
【详解】解：一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到
，，，，，，，
发现：
当时，有两个点，共2个点，
当时，有3个点，时，1个点，共4个点；
当时，有4个点，，1个点，，1个点，共6个点；
当时，有5个点，，1个点，，1个点，，1个点，共8个点；
当时，有6个点，，1个点，，1个点，，1个点，，1个点，共10个点；
当，有个点，共个点；
，
∴且为正整数，
得，
时，，
且当时，，
，
∴2021在45列，
当时，，
，
个粒子所在点的横坐标为990．
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标的变化寻找规律．
二、填空题
11．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图所示，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；……，依次类推，经过第2020次翻滚，点的对应点的坐标为______．
【答案】（3029，2）
【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一个循环，求出2020÷4的商，从而解答本题．
【详解】解：观察图形得，经过4次翻滚后点A对应点一个循环，
2020÷4=505，
∵点A（-1，2），长方形的周长为：2（1+2）=6，
∴经过505次翻滚后点A对应点A2020的坐标为（6×505-1，2），即（3029，2）．
故答案为：（3029，2）．
【点睛】此题考查探究点的坐标的问题，解题的关键是找到点的变化规律．
12．（2022秋·全国·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为____．
【答案】，
【分析】利用图形分别得出点横坐标，，，的横坐标分别为：，，，，点的横坐标为：，再利用纵坐标变化规律进而得出答案．
【详解】解：分别过点，，，作轴，轴，轴于点，，，
，
，，，，
可得出，
，
，，，，
可得，，
同理可得出：，，，，
，，，的横坐标分别为：，，，，
点的横坐标为：，
，，，的纵坐标分别为：1，，，，，
点的纵坐标为：，
点的坐标为；点的坐标为：，．
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律分别得出B点横纵坐标的规律是解答本题的关键．
13．（2021·广东梅州·统考二模）如图，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧的圆心依次按点，，，循环，点的坐标为，按此规律进行下去，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】由题意可知，正方形的边长为2，每旋转一次半径增加2，每次旋转的角度为90°，据此解答即可．
【详解】解：由题意可知：正方形的边长为2，
∵A（2，0），B（0，2），C（2，2），
P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，-12）
…
可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2，
2021÷4=505……1，故点在x轴正半轴，
OP的长度为2021×2+2=4044，
即：P2021的坐标是（4044，0），
故答案为：（4044，0）．
【点睛】本题考查了直角坐标系内点的坐标运动变化规律，解题的关键是理解A点的坐标除符合变化之外，还由旋转半径确定，而且每旋转一次半径增加2．
14．（2020春·广西玉林·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排行，如，，，，，，根据这个规律探索可得，第个点的坐标为__________．
【答案】（－5，14）
【分析】从图中可以看出纵坐标为1的有一个点，纵坐标为2的有2个点，纵坐标为3的有3个点，…依此类推纵坐标为n的有n个点．题目要求写出第93个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第93个点位于第几行第几列，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【详解】在纵坐标上，第一行有一个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，
并且奇数行点数对称，而偶数行点数x轴右方比左方多一个，
∵1+2+3+…+13=91，1+2+3+…+14=105，
∴第93个点在第14行上，
所以奇数行的坐标自右而左为(，)，(，)，，(，)，
偶数行的坐标自左而右为(，)，(，)，，(，)，
由加法推算可得到第93个点位于第14行自左而右第2列．
∴第93个点的坐标为（-5，14），
故答案为：（-5，14）．
【点睛】本题主要考查了点的规律型，观察得到纵坐标相等的点的个数与纵坐标相同是解题的关键，还要注意纵坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．
15．（2021春·山东滨州·七年级统考期中）在直角坐标系中，下面各点按顺序依次排列：，……，按此规律，这列点中第个点的坐标是__________．
【答案】
【分析】根据所给点坐标归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】观察可知，第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
归纳类推得：当n为偶数时，第个点的坐标为，
当n为奇数时，第个点的坐标为，
因为，且333是奇数，
所以第1000个点的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索，依据所给点坐标，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
16．（2022春·山东临沂·七年级校考期末）如图，动点P从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…则第2068秒点P所在位置的坐标是_______________．
【答案】
【分析】分析点P的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解．
【详解】解：由题意分析可得，
动点P第8=2×4秒运动到（2，0）
动点P第24=4×6秒运动到（4，0）
动点P第48=6×8秒运动到（6，0）
以此类推，动点P第2n(2n+2)秒运动到（2n，0）
∴动点P第2024=44×46秒运动到（44，0）
2068-2024=44
∴按照运动路线，点P到达（44，0）后，向右一个单位，然后向上43个单位
∴第2068秒点P所在位置的坐标是（45，43）
故答案为：（45，43）
【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
17．（2019春·河北沧州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），第一次点A跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动至点A2（2，1），第三次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第四次点A3跳动至点A4（3，2），依此规律跳动下去，则点A2017与点A2018之间的距离是__________．
【答案】2019
【分析】根据跳动规律得出点的坐标变化规律，由此即可得．
【详解】由跳动规律可归纳类推出以下3条规律：（其中n为正整数）
（1）点的横坐标依次为
（2）点的横坐标依次为
（3）点与点，点与点，点与点，，点与的纵坐标分别相等
，
点的横坐标为，点的横坐标为，且点与点的纵坐标相等
则点与点之间的距离是
故答案为：2019．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、图形的变化问题等知识点，结合图形，正确归纳出各点横、纵坐标的变化规律是解题关键．
18．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆农业大学附属中学校考期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，．．．按这样的运动规律，经过2019次运动后，动点的坐标为___________．
【答案】(2019，2)
【分析】先找出点的横坐标的变化规律即可求出经过2019次运动后，动点的横坐标，然后找出点的纵坐标的变化规律即可求出结论．
【详解】解：由坐标可知：动点的横坐标变化为：1、2、3、4……
∴经过2019次运动后，动点的横坐标为2019
动点的纵坐标变化为：1、0、2、0、1、0、2、0……每4个数字一循环
2019÷4=504……3
∴经过2019次运动后，动点的纵坐标为2
∴经过2019次运动后，动点的坐标为(2019，2)
故答案为：(2019，2)．
【点睛】此题考查的是探索坐标的规律题，找出横、纵坐标的变化规律是解决此题的关键．
19．（2018秋·山东济宁·七年级统考期中）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则An（___，__），Bn（_____，_____）．
【答案】 2n 3 2n+1 0
【分析】观察可得，点A系列的横坐标是2的指数次幂，指数为脚码，纵坐标都是3；点B系列的横坐标是2的指数次幂，指数比脚码大1，纵坐标都是0，根据本规律解答即可；
【详解】解:∵A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），
2＝21、4＝22、8＝23，
∴An（2n，3），
∵B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0），
2＝21、4＝22、8＝23，16＝24，
∴Bn（2n+1，0）．
故答案为：2n，3；2n+1，0．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，观察出点A、B系列的坐标的变化规律是解题的关键.
20．（2019春·河南洛阳·七年级东方二中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（2，﹣2），第4次接着运动到点（4，﹣2），第5次接着运动到点（4，0），第6次接着运动到点（5，）…按这样的运动规律，经过2019次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是_____．
【答案】（1616，﹣2）
【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标的为1，2，2，4，4，4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，每5次一轮，每次比前一次起始多4，这一规律纵坐标为，0，﹣2，﹣2，0，，0，﹣2，﹣2，0，…，每5次一轮这一规律，进而求出即可．
【详解】解：前五次运动横坐标分别为：1，2，2，4，4，
第6到10次运动横坐标分别为：4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，
…
∴第5n+1到5n+5次运动横坐标分别为：4n+1，4n+2，4n+2，4n+4，4n+4，
前五次运动纵坐标分别为，0，﹣2，﹣2，0，
第6到10次运动纵坐标分别为为，0，﹣2，﹣2，0，
…
第5n+1到5n+5次运动纵坐标分别为，0，﹣2，﹣2，0，
∵2019÷5＝403…4，
∴经过2019次运动横坐标为＝4×403+4＝1616，
经过2019次运动纵坐标为﹣2，
∴经过2019次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是（1616，﹣2）．
故答案为：（1616，﹣2）
【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
21．（2022秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点，与点，之间的“直角距离”为．已知点，点．
(1)A与B两点之间的“直角距离”___________；
(2)点为y轴上的一个动点，当t的取值范围是___________时，的值最小；
(3)若动点P位于第二象限，且满足，请在图中画出点P的运动区域（用阴影表示）．
【答案】(1)6
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据“直角距离”的定义求解即可；
（2）当时，的值最小；
（3）首先确定的位置，再在图中画出点的运动区域（用阴影表示）即可．
【详解】（1），，
，
故答案为：6；
（2）∵点为y轴上的一个动点
∴
∴当时，的值最小；
故答案为：；
（3）∵动点P位于第二象限，
∴设点，则，
∴，
∴当时，或或或，
如图，阴影部分即为所求（不包括坐标轴上的点）．
【点睛】本题考查作图复杂作图，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2021春·浙江·七年级期中）电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网，例如，再下一步即．
（1）若则坐标是______，的坐标是_______．
（2）分别取坐标，根据你对蜘蛛织网的理解，请在网格上画出这两张网．
（3）在电子蜘蛛织网过程中，第n步的坐标，请你写出第1步所有可能的结果．
（4）进一步思考：若点那么点有没有可能始终在y轴的右侧，若有可能直接写出a，b的取值范围．若不可能说明理由．
【答案】（1）（9，-3），（5，7）；（2）见解析；（3）（-5，3）或（5，7）或（9，-3）或（-1，-7）；（4）
【分析】（1）根据题中的规律，烈出方程组，计算可得P1，再继续得出后面的点的坐标，得到规律，可得P2022；
（2）分别取P1的坐标为（0，0），（0，2），得到之后点的坐标，画出图形即可；
（3）根据（1）中所得一个周期内点的坐标，可得P1的可能坐标；
（4）分别用a，b表示出一个周期内P点坐标，根据点在y轴右侧得到不等式组，解之即可．
【详解】解：（1）由意题意可知：
P1（a，b），则P3[-（a-2）+2，（-b+2）-2]，
即P3（-a+4，-b），
∴，解得：，
∴P1（9，-3），
同理：P1（9，-3），P2（5，7），P3（-5，3），P4（-1，-7），P5（9，-3），4个为一周期，
2022÷4=，
∴P2022（5，7）；
（2）①P1（0，0），P2（2，-2），P3（4，0），P4（2，2）；
②P1（0，2），P2（0，-2），P3（4，-2），P4（4，2）；
如图所示：
（3）由（1）知：4个为一周期，
Pm（9，-3），Pm+1（5，7），Pm+2（-5，3），Pm+4（-1，-7），
n=1时，P1（-5，3），
n=2时，P1（5，7），
n=3时，P1（9，-3），
n=4时，P1（-1，-7），
n≥5时，又出现周期变化，
综上：P1（-5，3）或（5，7）或（9，-3）或（-1，-7）；
（4）由题意可得：P1（a，b），P2（-b+2，a-2），P3（-a+4，-b），P4（b+2，-a+2），
∵周期为4，P1，P2，P3，P4在y轴右侧，即可满足题意，
∴，则，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形，点的坐标规律，不等式组的应用，解题的关键是由题中的织网方式得到4个为一周期．
23．（2020秋·北京·八年级北京师大附中校考期中）在平面直角坐标系中， 对任意的点， 定义 的绝对坐标，任取点，，，，若此时成立，则称点，相关．
（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ．
①，．
②，．
（2）对于点 ， 其中，，其中，是整数．则所有满足条件的点有 个；
求所有满足条件的所有点中与点相关的点的个数；
对于满足条件的所有点中取出个点，满足在这个点中任意选择 ，两点，点 ，都相关，求的最大值．
【答案】（1）②；（2）， ，
【分析】（1）根据已知条件，分别将坐标代入进行计算，判断是否符合条件，即可得出结论；
（2）因为且为整数，所以符合条件的x有13个，同理符合条件的y也有13个，所以得出满足条件的P点有169个；
根据点A，B相关的定义得到，把代入，得，分别讨论在四处象限及坐标轴上与点相关的点的个数；
由中的变换得，从而可知点A，B相关时的条件，从而求得n的最大值．
【详解】解（1）①因为，，
所以A＇（-2，2），B＇（3，1），
（2＋1）2＋（3＋2）2＝34，（2＋2）2＋（3＋1）2＝32
所以此项不符合要求；
②因为，，
所以C＇（4，4），D＇（4，－3），
（4＋3）2＋（2＋4）2＝85，（4＋4）2＋（2＋3）2＝89，
所以此项符合要求．
故答案为：②．
（2）因为 ，且是整数，
所以符合条件的x有13个，同理符合条件的y也有13个，
所以满足条件的P点有13×13＝169个．
故答案为：169．
要满足A，B相关，则有，
整理得：，
把代入，得，带有绝对值，所以四个象限是对称的，
首先考虑第一象限以及x、y轴正向，符合条件的有（0，3），（0，4），（0，5），（0，6），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），共16个．
x2，y2也是对称的，所以第一象限以及x、y轴正向有16×2－1＝31个点满足条件，
所以满足条件的点有4×4＋（12×2－1）×4＝108（个）．
对中稍作变换，得：，，
当＝0时等号成立，否则有．
因为x1，x2任取，所以，即，
故需满足横坐标绝对值相等或纵坐标的绝对值相等．
所以n的最大值为13×2＝26．
【点睛】本题主要考查绝对值的概念和平面直角坐标系的应用．
24．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与x轴负半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴负半轴的交点依次记作，，…，，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（2）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（3）请求出四边形的面积．
【答案】（1），，，；（2），，，；（3）684.
【分析】（1）根据点的坐标规律即可写出.
（2）根据点的坐标规律即可写出.
（3）四边形的面积为计算即可.
【详解】由题意得:
的横坐标为，纵坐标为0，得出
的横坐标为0，纵坐标为，得出
的横坐标为 ，纵坐标为0，得出
的横坐标为0，纵坐标为，得出
故答案为：，，，
（2）根据上式得出的规律，直接即可写出，，，
故答案为：，，，
（3）∵，，，，
∴四边形的面积为
【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是根据图形得出点的坐标的规律进行分析.
25．（2022秋·全国·八年级专题练习）综合与实践：
(1)动手探索在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，，分别写出，，，的坐标；
(2)观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为、，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律 ，并用，的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” ；
(3)实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点，点，则线段的中点的坐标为 ；
②已知点是线段的中点，且点，，求点的坐标．
【答案】(1)，，，
(2)；是
(3)①；②
【分析】、
（1）根据图形可以直接读取坐标即可得到答案；
（2）根据观察得到规律并写出等式，再利用B、C、D、G、I五点坐标即可验证所得规律，得到答案；
（3）①根据（2）中发现的规律，即可得到线段的中点的坐标；
②设点的坐标为，根据根据（2）中发现的规律解方程求解即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：根据图形可以直接读取各点坐标，，，，，，
，，，的坐标分别为：，，，；
（2）解：根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
、，线段的中点是，
，
，，，，，、分别为线段、的中点，
检验得，，，
通过，的坐标验证规律是正确的，
故答案为：；是；
（3）解：①点，点，
根据（2）中发现的规律，线段的中点的坐标为，
故答案为：；
②设点的坐标为，
点是线段的中点，且点，，
，
，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，探索规律，通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系是解题关键．
26．（2022春·河北邢台·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，．
(1)若点在线段上，当点与点的距离最小时，点的坐标为____；
(2)把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两点之间线段最短即可求出答案；
（2）计算“凸”形图中各线段的长度，绕一周需要多少个单位长度，因为是周期变化，所以计算出绕了多少周，余下的线段落在哪里即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意，画图如下，
∵两点之间线段最短，
∴当点 在的直线上时，点与点的距离最小，且点在线段 上，
∴点的坐标是 ，
故答案是：．
（2）解：∵，，，，，
从点的线段之和为 ，即，
∴ ，即绕了 周余下 个单位长度，也就是落在点 ，
∴细线的另一端所在位置的点的坐标是，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查图形中最短距离，线段的求和与点坐标的特点，理解图形的意思，线段加减是解题的关键．
27．（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从处出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动距离为1个单位长度，其行走路线如图所示．
(1)在图中补出y轴，并写出点，，的坐标；
(2)写出点的坐标（n为正整数）；
(3)蚂蚁从点到点的移动方向是 （填“向上”“向右”或“向下”）．
【答案】(1)（-2，1），（0，1），（2，1）
(2)（2n-4，1）
(3)向右
【分析】（1）根据点即可得到y轴，观察图形可知，，，都在x轴上方，求出的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据（1）中规律写出点的坐标即可写出其他各点的坐标；
（3）根据2021是4×506-3，可知从点到点的移动方向与从点到的方向一致．
（1）
解：如图，建立直角坐标系，
∵按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动距离为1个单位长度，
∴，⊥x轴，⊥x轴，⊥x轴，
∴（-2，1），（0，1），（2，1）；
（2）
当n=1时，为（-2，1），
当n=2时，为（0，1），
当n=3时，为（2，1），
当n=4时，为（4，1），
，
∴的横坐标为2（n-2）=2n-4，纵坐标为1，即（2n-4，1）；
（3）
由（2）可知，每四个点以循环，
∵4×506-3=2021，
∴从点到点的移动方向与从点到的方向一致，即向右，
故答案为：向右．
【点睛】此题主要考查了点的变化规律，比较简单，仔细观察图形，确定出的坐标是解题的关键．
28．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点（1，1），（3，1），（3，5），连接，，．
(1)特例感知：分别找到线段，，的中点，并依次标记为，，，它们的坐标为
（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）．
(2)观察猜想：仔细观察上述三条线段中点的横坐标与纵坐标，分别与对应的线段，，的两端点的横坐标与纵坐标进行比较，看看它们之间有什么关系，并根据你的猜想完成下列问题．
①若点（-5，1.5），（-1，-3.5），则线段的中点坐标为_________；
②若点（a，b），（c，d），则线段的中点坐标为_________．
(3)拓展应用：若，分别是三角形中，的中点，请直接写出与的位置关系及数量关系．
【答案】(1)（2，1），（3，3），（2，3）．
(2)①（-3，-1）；②（，）．
(3)，．
【分析】（1）根据所给的条件结合图像可以直接得到找到线段，，的中点的坐标．
（2）由（1）可以归纳出一个“已知线段两个端点的坐标，求线段中点的坐标”的结论，然后根据结论求出答案即可．
（3）将三角形放在平面直角坐标系中，表示出M，N的坐标，然后根据坐标得出结论．
【详解】（1）根据图中的方格直接得到线段，，的中点分别为：（2，1），（3，3），（2，3）．
（2）根据（1）可以猜想出一个结论：已知线段的两个端点A、B的坐标，线段AB中点的横坐标和纵坐标分别为A、B的横坐标和的一半和纵坐标和的一半．
所以①（-5，1.5），（-1，-3.5），线段的中点坐标为（-3，-1）；
②（a，b），（c，d），线段的中点坐标为（，）．
（3）如图，将三角形放在平面直角坐标系中，点和点O重合，在x轴的正半轴上，则，设，，
所以，，
M、N纵坐标相同，所以，
，MN=，所以，
∴，．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系相关知识，前两问需要学生认真归纳总结，第三问方法不唯一，需要学生认真探索方法，能够正确理解题意并归纳出相关结论是解决本题的关键．
29．（2022春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期末）在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．例如，点，点，，，，
(1)若点，点B在x轴的正半轴上，，求点B的坐标；
(2)若点，点P，Q在x轴上，且点P在点Q的左侧，点B在线段PQ上，将的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为，
①若点，，求的值；
②若点，点，，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)或．
(2)①②．
【分析】（1）根据公式，，并结合具体的点的坐标，即可求出．
（2）根据（1）中的运算过程，类比即可求出①，②．
(1)
设，，
∵，，
∴，，
∴，
∴或，
而，
∴或
(2)
①∵，，，
∵点P在点Q的左侧，
∴，
当点B在点P时，
∴，，
，
同理可得：点B在点Q时，，
综上所述，．
②依据题意可知：若，，，，
∵点P在点Q的左侧，
∴，
∴，
依据小问①，可知点A与点Q的横纵偏差较大，
∴，，，
∴或0，
∴a的取值范围为．
【点睛】此题考查了绝对值的性质，平面直角坐标系等知识点，培养学生的阅读素养与创新能力，细心审题与正确计算是解题的关键．
30．（2021春·浙江·七年级期中）阅读：在平面直角坐标系内，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．如点的伴随点为，即．
（1）若点M的伴随点坐标为，则点M的坐标为__________．
（2）若点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点．
①若点的坐标为，则点的坐标为_________．
②点有没有可能始终在y轴的左侧？若可能，请分别求出a、b的取值范围；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）（0，6）；（2）①（2，6）；②-2【分析】（1）待定点M的坐标，根据题意建立方程，求解即可；
（2）①待定点A1坐标（a，b），并根据规则求出A2（-b+1，a+3）→A3（-a-2，-b+4）→A4（b-3，-a+1）→A5（a，b）…确定其循环规则，分析即可；
②根据待定的点An的坐标，列出不等式组，分析其是否有解即可．
【详解】解：（1）设点M（m，n），则它的伴随点为（-n+1，m+3），
∵点M的伴随点坐标为（-5，3），
∴-n+1=-5，m+3=3，
解得，m=0，n=6，
∴M（0，6）．
故答案为（0，6）；
（2）An的变化规律：A1（a，b）→A2（-b+1，a+3）→A3（-a-2，-b+4）
→A4（b-3，-a+1）→A5（a，b）…
①104÷4=26，
∴A4与A104坐标同为（3，-1），即b-3=3，-a+1=-1，
则a=2，b=6，
∴点的坐标为（2，6）；
②列不等式组，，
解得-2因此点An可能始终在y轴的左侧，
【点睛】此题主要考查新定义规则的运用，会合理待定点坐标，归纳规律，并用方程与不等式分析解决相关问题是解题的关键．
1．（2022秋·河南郑州·八年级统考期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（44，4）B．（44，3）C．（44，2）D．（44，1）
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，正方形，，，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序依次记为，，）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点的坐标为．（ ）
A．（503，503）B．（-504，504）C．（-505，-505）D．（506，506）
3．（2022春·湖北随州·七年级统考期末）如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（ ）
A．（2022，8）
B．（63，5）
C．（64，5）
D．（64，4）
4．（2022春·湖北黄石·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得第2019个点的坐标是（ ）
A．（64，2）B．（64，3）C．（1010，505）D．（2021，2020）
5．（2022秋·重庆·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2）．把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A－B－C－D－A－…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（－1，1）B．（－1，－1）C．（－1，－2）D．（0，－2）
6．（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）…，那么点A2022的坐标为( )
A．（1011，0）B．（1011，1）
C．（2022，0）D．（2022，1）
7．（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示、如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021春·河南周口·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从原点O出发向右移动1个单位长度到达点P1；然后逆时针转向90°移动2个单位长度到达点P2；然后逆时针转向90°，移动3个单位长度到达点P3；然后逆时针转向90°，移动4个单位长度到达点P4；…，如此继续转向移动下去．设点Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+x3+…+x2021＝（ ）
A．1B．﹣1010C．1011D．2021
9．（2021·山东烟台·统考一模）如图，，，，…均为斜边在轴上且斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别是，，，则按图中所示规律，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→…则2021分钟时粒子所在点的横坐标为（ ）
A．886B．903C．946D．990
二、填空题
11．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图所示，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；……，依次类推，经过第2020次翻滚，点的对应点的坐标为______．
12．（2022秋·全国·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为____．
13．（2021·广东梅州·统考二模）如图，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧的圆心依次按点，，，循环，点的坐标为，按此规律进行下去，则点的坐标为______．
14．（2020春·广西玉林·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排行，如，，，，，，根据这个规律探索可得，第个点的坐标为__________．
15．（2021春·山东滨州·七年级统考期中）在直角坐标系中，下面各点按顺序依次排列：，……，按此规律，这列点中第个点的坐标是__________．
16．（2022春·山东临沂·七年级校考期末）如图，动点P从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…则第2068秒点P所在位置的坐标是_______________．
17．（2019春·河北沧州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），第一次点A跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动至点A2（2，1），第三次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第四次点A3跳动至点A4（3，2），依此规律跳动下去，则点A2017与点A2018之间的距离是__________．
18．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆农业大学附属中学校考期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，．．．按这样的运动规律，经过2019次运动后，动点的坐标为___________．
19．（2018秋·山东济宁·七年级统考期中）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则An（___，__），Bn（_____，_____）．
20．（2019春·河南洛阳·七年级东方二中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（2，﹣2），第4次接着运动到点（4，﹣2），第5次接着运动到点（4，0），第6次接着运动到点（5，）…按这样的运动规律，经过2019次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是_____．
21．（2022秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点，与点，之间的“直角距离”为．已知点，点．
(1)A与B两点之间的“直角距离”___________；
(2)点为y轴上的一个动点，当t的取值范围是___________时，的值最小；
(3)若动点P位于第二象限，且满足，请在图中画出点P的运动区域（用阴影表示）．
22．（2021春·浙江·七年级期中）电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网，例如，再下一步即．
（1）若则坐标是______，的坐标是_______．
（2）分别取坐标，根据你对蜘蛛织网的理解，请在网格上画出这两张网．
（3）在电子蜘蛛织网过程中，第n步的坐标，请你写出第1步所有可能的结果．
（4）进一步思考：若点那么点有没有可能始终在y轴的右侧，若有可能直接写出a，b的取值范围．若不可能说明理由．
23．（2020秋·北京·八年级北京师大附中校考期中）在平面直角坐标系中， 对任意的点， 定义 的绝对坐标，任取点，，，，若此时成立，则称点，相关．
（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ．
①，．
②，．
（2）对于点 ， 其中，，其中，是整数．则所有满足条件的点有 个；
求所有满足条件的所有点中与点相关的点的个数；
对于满足条件的所有点中取出个点，满足在这个点中任意选择 ，两点，点 ，都相关，求的最大值．
24．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与x轴负半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴负半轴的交点依次记作，，…，，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（2）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（3）请求出四边形的面积．
25．（2022秋·全国·八年级专题练习）综合与实践：
(1)动手探索在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，，分别写出，，，的坐标；
(2)观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为、，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律 ，并用，的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” ；
(3)实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点，点，则线段的中点的坐标为 ；
②已知点是线段的中点，且点，，求点的坐标．
26．（2022春·河北邢台·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，．
(1)若点在线段上，当点与点的距离最小时，点的坐标为____；
(2)把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____．
27．（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从处出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动距离为1个单位长度，其行走路线如图所示．
(1)在图中补出y轴，并写出点，，的坐标；
(2)写出点的坐标（n为正整数）；
(3)蚂蚁从点到点的移动方向是 （填“向上”“向右”或“向下”）．
28．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点（1，1），（3，1），（3，5），连接，，．
(1)特例感知：分别找到线段，，的中点，并依次标记为，，，它们的坐标为
（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）．
(2)观察猜想：仔细观察上述三条线段中点的横坐标与纵坐标，分别与对应的线段，，的两端点的横坐标与纵坐标进行比较，看看它们之间有什么关系，并根据你的猜想完成下列问题．
①若点（-5，1.5），（-1，-3.5），则线段的中点坐标为_________；
②若点（a，b），（c，d），则线段的中点坐标为_________．
(3)拓展应用：若，分别是三角形中，的中点，请直接写出与的位置关系及数量关系．
29．（2022春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期末）在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．例如，点，点，，，，
(1)若点，点B在x轴的正半轴上，，求点B的坐标；
(2)若点，点P，Q在x轴上，且点P在点Q的左侧，点B在线段PQ上，将的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为，
①若点，，求的值；
②若点，点，，直接写出a的取值范围．
30．（2021春·浙江·七年级期中）阅读：在平面直角坐标系内，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．如点的伴随点为，即．
（1）若点M的伴随点坐标为，则点M的坐标为__________．
（2）若点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点．
①若点的坐标为，则点的坐标为_________．
②点有没有可能始终在y轴的左侧？若可能，请分别求出a、b的取值范围；若不可能，请说明理由．
专题09 平面直角坐标系规律探究性问题专训（30道）
【平面直角坐标系规律探究性问题专训】
1．（2022秋·河南郑州·八年级统考期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（44，4）B．（44，3）C．（44，2）D．（44，1）
【答案】C
【分析】根据题意依次写出第一象限内从运动过的点坐标及其对应的运动时间，分析后发现，点，对应运动的时间为分钟．当为奇数时，运动方向向左；当为偶数时，运动方向向下．利用该规律，将2022写成，可以看做点向下运动42个单位长度，进而求出结果．
【详解】解：由题意及图形分析可得，
当点时，运动了2分钟，，方向向左，
当点时，运动了6分钟，，方向向下，
当点时，运动了12分钟，，方向向左，
当点时，运动了20分钟，，方向向下，
……
点，运动了分钟，当为奇数时，方向向左；当为偶数时，方向向下．
，方向向下，则当运动在第2022分钟时，可以看做点再向下运动42分钟，，即到达．
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标的规律变化的分析推理能力．合理寻找特殊点与序号变化间的关系是解题的关键．
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，正方形，，，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序依次记为，，）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点的坐标为．（ ）
A．（503，503）B．（-504，504）C．（-505，-505）D．（506，506）
【答案】C
【分析】找到三条规律：循环节；点与象限，坐标、正方形的边长与正方形的序号间的关系就可以判定．
【详解】根据题意，得到如下规律：各点的循环节为4，余数为1的点位于第三象限，余数为2的点位于第二象限，余数为3的点位于第一象限，余数为0的点位于第四象限，
且第一个正方形边长为2，各点纵坐标，横坐标的绝对值等于正方形个数的序号，
∵2017÷4=504…1，
∴顶点是第505个正方形的第一个顶点，位于第三象限，
∴其坐标为（-505，-505），
故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，正确找到坐标与正方形个数序号之间的规律是解题的关键．
3．（2022春·湖北随州·七年级统考期末）如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（ ）
A．（2022，8）
B．（63，5）
C．（64，5）
D．（64，4）
【答案】C
【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个点，可得前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），最后按照规律可得第2022个点的坐标．
【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个
∴前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），
∵=2016，且列数是偶数时，点的顺序是由下而上，列数是奇数时，点的顺序是由上而下，
∴第2016个点的坐标为（63，0），
第2017个点的坐标为（64，0），
第2018个点的坐标为（64，1），
第2019个点的坐标为（64，2），
第2020个点的坐标为（64，3），
第2021个点的坐标为（64，4），
第2022个点的坐标为（64，5），
故选：C．
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标的规律是解答此题的关键．
4．（2022春·湖北黄石·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得第2019个点的坐标是（ ）
A．（64，2）B．（64，3）C．（1010，505）D．（2021，2020）
【答案】A
【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2,0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点，…第n列有n个点，可得前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），由此可得第2016个点的坐标为（63，0），最后根据规律解答第2019个点即可．
【详解】解： 把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2,0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点，…第n列有n个点，
前n列共有个点，
第n列最下面的点的坐标为（n，0）
第2016个点的坐标为（63，0）
第2017个点的坐标为（64，0）
第2018个点的坐标为（64，1）
第2019个点的坐标为（64，2）
故选：A．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标规律是解题关键．
5．（2022秋·重庆·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2）．把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A－B－C－D－A－…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（－1，1）B．（－1，－1）C．（－1，－2）D．（0，－2）
【答案】A
【分析】由点A、B、C的坐标可得出AB、BC的长度，从而可得四边形ABCD的周长，再根据2022=202×10+2即可得出细线另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而可得答案．
【详解】解：∵A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2），
∴AB=1-(-1)=2，BC=2-(-1)=3，
从A→B→C→D→A一圈的长度为2(AB+BC) =10，
∵，
∴细线的另一端在绕四边形202圈后的第二个单位长度的位置，
即点B的位置，坐标为（－1，1）．
故选：A．
【点睛】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2022个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
6．（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）…，那么点A2022的坐标为( )
A．（1011，0）B．（1011，1）
C．（2022，0）D．（2022，1）
【答案】B
【分析】一动点在平面直角坐标系中按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，只要求出前几个坐标，然后根据坐标找规律即可得出A2022的坐标．
【详解】解：根据题意和图的坐标可知：每次都移动一个单位长度，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，，，，(2，1)，A6(3，1)，A7(3，0)，
坐标变换的规律：每移动4次，前两次移动后它的纵坐标都为1，后两次移动的纵坐标为0，而横坐标向右移动了2个单位长度，也就是移动次数的一半；
∴2022÷4=505余2，
∴纵坐标是的纵坐标为1，横坐标是2×505+1=1011，
∴点A2022坐标为(1011，1)，
故选：B.
【点睛】本题是规律型题目，点的坐标规律，依次求出各点的坐标，从中找到规律是解题的关键．
7．（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示、如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2022次碰到球卓边时，小球的位置．
【详解】由图可得，
点(1，0)第一次碰撞后的点的坐标为(0，1)，
第二次碰撞后的点的坐标为(3，4)，
第三次碰撞后的点的坐标为(7，0)，
第四次碰幢后的点的坐标为(8，1)，
第五次碰撞后的点的坐标为(5，4)，
第六次碰撞后的点的坐标为(1，0)，
2022÷6=3366，
小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（1，0)，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．
8．（2021春·河南周口·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从原点O出发向右移动1个单位长度到达点P1；然后逆时针转向90°移动2个单位长度到达点P2；然后逆时针转向90°，移动3个单位长度到达点P3；然后逆时针转向90°，移动4个单位长度到达点P4；…，如此继续转向移动下去．设点Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+x3+…+x2021＝（ ）
A．1B．﹣1010C．1011D．2021
【答案】A
【分析】根据各点横坐标数据得出规律，进而得出；经过观察分析可得每4个数的和为，把2020个数分为505组，求出，即可得到相应结果．
【详解】解：根据平面坐标系结合各点横坐标得出：、、、、、、、的值分别为：1，1，，，3，3，，；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律．
9．（2021·山东烟台·统考一模）如图，，，，…均为斜边在轴上且斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别是，，，则按图中所示规律，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图形得到规律：当脚码是1、5、时，横坐标是脚码加3和的一半，纵坐标为0；当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是3、7、时，横坐标是脚码减3差的一半的相反数，纵坐标为0；当脚码是4、8、时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半．然后确定出第2021个点的坐标即可．
【详解】解：各三角形都是等腰直角三角形，
直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
，，，，，，，，，，，，，
由上可知，当脚码是1、5、时，横坐标是脚码加3和的一半，纵坐标为0；当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是3、7、时，横坐标是脚码减3差的一半的相反数，纵坐标为0；当脚码是4、8、时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半．
，
点在轴正半轴上，横坐标是，纵坐标是0，
∴的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→…则2021分钟时粒子所在点的横坐标为（ ）
A．886B．903C．946D．990
【答案】D
【分析】对平面直角坐标系的点按照横坐标分行，找到行与点个数的关系，利用不等式的夹逼原则，求出2021点的横坐标．
【详解】解：一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到
，，，，，，，
发现：
当时，有两个点，共2个点，
当时，有3个点，时，1个点，共4个点；
当时，有4个点，，1个点，，1个点，共6个点；
当时，有5个点，，1个点，，1个点，，1个点，共8个点；
当时，有6个点，，1个点，，1个点，，1个点，，1个点，共10个点；
当，有个点，共个点；
，
∴且为正整数，
得，
时，，
且当时，，
，
∴2021在45列，
当时，，
，
个粒子所在点的横坐标为990．
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标的变化寻找规律．
二、填空题
11．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图所示，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；……，依次类推，经过第2020次翻滚，点的对应点的坐标为______．
【答案】（3029，2）
【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一个循环，求出2020÷4的商，从而解答本题．
【详解】解：观察图形得，经过4次翻滚后点A对应点一个循环，
2020÷4=505，
∵点A（-1，2），长方形的周长为：2（1+2）=6，
∴经过505次翻滚后点A对应点A2020的坐标为（6×505-1，2），即（3029，2）．
故答案为：（3029，2）．
【点睛】此题考查探究点的坐标的问题，解题的关键是找到点的变化规律．
12．（2022秋·全国·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为____．
【答案】，
【分析】利用图形分别得出点横坐标，，，的横坐标分别为：，，，，点的横坐标为：，再利用纵坐标变化规律进而得出答案．
【详解】解：分别过点，，，作轴，轴，轴于点，，，
，
，，，，
可得出，
，
，，，，
可得，，
同理可得出：，，，，
，，，的横坐标分别为：，，，，
点的横坐标为：，
，，，的纵坐标分别为：1，，，，，
点的纵坐标为：，
点的坐标为；点的坐标为：，．
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律分别得出B点横纵坐标的规律是解答本题的关键．
13．（2021·广东梅州·统考二模）如图，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧的圆心依次按点，，，循环，点的坐标为，按此规律进行下去，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】由题意可知，正方形的边长为2，每旋转一次半径增加2，每次旋转的角度为90°，据此解答即可．
【详解】解：由题意可知：正方形的边长为2，
∵A（2，0），B（0，2），C（2，2），
P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，-12）
…
可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2，
2021÷4=505……1，故点在x轴正半轴，
OP的长度为2021×2+2=4044，
即：P2021的坐标是（4044，0），
故答案为：（4044，0）．
【点睛】本题考查了直角坐标系内点的坐标运动变化规律，解题的关键是理解A点的坐标除符合变化之外，还由旋转半径确定，而且每旋转一次半径增加2．
14．（2020春·广西玉林·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排行，如，，，，，，根据这个规律探索可得，第个点的坐标为__________．
【答案】（－5，14）
【分析】从图中可以看出纵坐标为1的有一个点，纵坐标为2的有2个点，纵坐标为3的有3个点，…依此类推纵坐标为n的有n个点．题目要求写出第93个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第93个点位于第几行第几列，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【详解】在纵坐标上，第一行有一个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，
并且奇数行点数对称，而偶数行点数x轴右方比左方多一个，
∵1+2+3+…+13=91，1+2+3+…+14=105，
∴第93个点在第14行上，
所以奇数行的坐标自右而左为(，)，(，)，，(，)，
偶数行的坐标自左而右为(，)，(，)，，(，)，
由加法推算可得到第93个点位于第14行自左而右第2列．
∴第93个点的坐标为（-5，14），
故答案为：（-5，14）．
【点睛】本题主要考查了点的规律型，观察得到纵坐标相等的点的个数与纵坐标相同是解题的关键，还要注意纵坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．
15．（2021春·山东滨州·七年级统考期中）在直角坐标系中，下面各点按顺序依次排列：，……，按此规律，这列点中第个点的坐标是__________．
【答案】
【分析】根据所给点坐标归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】观察可知，第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
归纳类推得：当n为偶数时，第个点的坐标为，
当n为奇数时，第个点的坐标为，
因为，且333是奇数，
所以第1000个点的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索，依据所给点坐标，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
16．（2022春·山东临沂·七年级校考期末）如图，动点P从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…则第2068秒点P所在位置的坐标是_______________．
【答案】
【分析】分析点P的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解．
【详解】解：由题意分析可得，
动点P第8=2×4秒运动到（2，0）
动点P第24=4×6秒运动到（4，0）
动点P第48=6×8秒运动到（6，0）
以此类推，动点P第2n(2n+2)秒运动到（2n，0）
∴动点P第2024=44×46秒运动到（44，0）
2068-2024=44
∴按照运动路线，点P到达（44，0）后，向右一个单位，然后向上43个单位
∴第2068秒点P所在位置的坐标是（45，43）
故答案为：（45，43）
【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
17．（2019春·河北沧州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），第一次点A跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动至点A2（2，1），第三次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第四次点A3跳动至点A4（3，2），依此规律跳动下去，则点A2017与点A2018之间的距离是__________．
【答案】2019
【分析】根据跳动规律得出点的坐标变化规律，由此即可得．
【详解】由跳动规律可归纳类推出以下3条规律：（其中n为正整数）
（1）点的横坐标依次为
（2）点的横坐标依次为
（3）点与点，点与点，点与点，，点与的纵坐标分别相等
，
点的横坐标为，点的横坐标为，且点与点的纵坐标相等
则点与点之间的距离是
故答案为：2019．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、图形的变化问题等知识点，结合图形，正确归纳出各点横、纵坐标的变化规律是解题关键．
18．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆农业大学附属中学校考期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，．．．按这样的运动规律，经过2019次运动后，动点的坐标为___________．
【答案】(2019，2)
【分析】先找出点的横坐标的变化规律即可求出经过2019次运动后，动点的横坐标，然后找出点的纵坐标的变化规律即可求出结论．
【详解】解：由坐标可知：动点的横坐标变化为：1、2、3、4……
∴经过2019次运动后，动点的横坐标为2019
动点的纵坐标变化为：1、0、2、0、1、0、2、0……每4个数字一循环
2019÷4=504……3
∴经过2019次运动后，动点的纵坐标为2
∴经过2019次运动后，动点的坐标为(2019，2)
故答案为：(2019，2)．
【点睛】此题考查的是探索坐标的规律题，找出横、纵坐标的变化规律是解决此题的关键．
19．（2018秋·山东济宁·七年级统考期中）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则An（___，__），Bn（_____，_____）．
【答案】 2n 3 2n+1 0
【分析】观察可得，点A系列的横坐标是2的指数次幂，指数为脚码，纵坐标都是3；点B系列的横坐标是2的指数次幂，指数比脚码大1，纵坐标都是0，根据本规律解答即可；
【详解】解:∵A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），
2＝21、4＝22、8＝23，
∴An（2n，3），
∵B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0），
2＝21、4＝22、8＝23，16＝24，
∴Bn（2n+1，0）．
故答案为：2n，3；2n+1，0．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，观察出点A、B系列的坐标的变化规律是解题的关键.
20．（2019春·河南洛阳·七年级东方二中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（2，﹣2），第4次接着运动到点（4，﹣2），第5次接着运动到点（4，0），第6次接着运动到点（5，）…按这样的运动规律，经过2019次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是_____．
【答案】（1616，﹣2）
【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标的为1，2，2，4，4，4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，每5次一轮，每次比前一次起始多4，这一规律纵坐标为，0，﹣2，﹣2，0，，0，﹣2，﹣2，0，…，每5次一轮这一规律，进而求出即可．
【详解】解：前五次运动横坐标分别为：1，2，2，4，4，
第6到10次运动横坐标分别为：4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，
…
∴第5n+1到5n+5次运动横坐标分别为：4n+1，4n+2，4n+2，4n+4，4n+4，
前五次运动纵坐标分别为，0，﹣2，﹣2，0，
第6到10次运动纵坐标分别为为，0，﹣2，﹣2，0，
…
第5n+1到5n+5次运动纵坐标分别为，0，﹣2，﹣2，0，
∵2019÷5＝403…4，
∴经过2019次运动横坐标为＝4×403+4＝1616，
经过2019次运动纵坐标为﹣2，
∴经过2019次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是（1616，﹣2）．
故答案为：（1616，﹣2）
【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
21．（2022秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点，与点，之间的“直角距离”为．已知点，点．
(1)A与B两点之间的“直角距离”___________；
(2)点为y轴上的一个动点，当t的取值范围是___________时，的值最小；
(3)若动点P位于第二象限，且满足，请在图中画出点P的运动区域（用阴影表示）．
【答案】(1)6
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据“直角距离”的定义求解即可；
（2）当时，的值最小；
（3）首先确定的位置，再在图中画出点的运动区域（用阴影表示）即可．
【详解】（1），，
，
故答案为：6；
（2）∵点为y轴上的一个动点
∴
∴当时，的值最小；
故答案为：；
（3）∵动点P位于第二象限，
∴设点，则，
∴，
∴当时，或或或，
如图，阴影部分即为所求（不包括坐标轴上的点）．
【点睛】本题考查作图复杂作图，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2021春·浙江·七年级期中）电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网，例如，再下一步即．
（1）若则坐标是______，的坐标是_______．
（2）分别取坐标，根据你对蜘蛛织网的理解，请在网格上画出这两张网．
（3）在电子蜘蛛织网过程中，第n步的坐标，请你写出第1步所有可能的结果．
（4）进一步思考：若点那么点有没有可能始终在y轴的右侧，若有可能直接写出a，b的取值范围．若不可能说明理由．
【答案】（1）（9，-3），（5，7）；（2）见解析；（3）（-5，3）或（5，7）或（9，-3）或（-1，-7）；（4）
【分析】（1）根据题中的规律，烈出方程组，计算可得P1，再继续得出后面的点的坐标，得到规律，可得P2022；
（2）分别取P1的坐标为（0，0），（0，2），得到之后点的坐标，画出图形即可；
（3）根据（1）中所得一个周期内点的坐标，可得P1的可能坐标；
（4）分别用a，b表示出一个周期内P点坐标，根据点在y轴右侧得到不等式组，解之即可．
【详解】解：（1）由意题意可知：
P1（a，b），则P3[-（a-2）+2，（-b+2）-2]，
即P3（-a+4，-b），
∴，解得：，
∴P1（9，-3），
同理：P1（9，-3），P2（5，7），P3（-5，3），P4（-1，-7），P5（9，-3），4个为一周期，
2022÷4=，
∴P2022（5，7）；
（2）①P1（0，0），P2（2，-2），P3（4，0），P4（2，2）；
②P1（0，2），P2（0，-2），P3（4，-2），P4（4，2）；
如图所示：
（3）由（1）知：4个为一周期，
Pm（9，-3），Pm+1（5，7），Pm+2（-5，3），Pm+4（-1，-7），
n=1时，P1（-5，3），
n=2时，P1（5，7），
n=3时，P1（9，-3），
n=4时，P1（-1，-7），
n≥5时，又出现周期变化，
综上：P1（-5，3）或（5，7）或（9，-3）或（-1，-7）；
（4）由题意可得：P1（a，b），P2（-b+2，a-2），P3（-a+4，-b），P4（b+2，-a+2），
∵周期为4，P1，P2，P3，P4在y轴右侧，即可满足题意，
∴，则，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形，点的坐标规律，不等式组的应用，解题的关键是由题中的织网方式得到4个为一周期．
23．（2020秋·北京·八年级北京师大附中校考期中）在平面直角坐标系中， 对任意的点， 定义 的绝对坐标，任取点，，，，若此时成立，则称点，相关．
（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ．
①，．
②，．
（2）对于点 ， 其中，，其中，是整数．则所有满足条件的点有 个；
求所有满足条件的所有点中与点相关的点的个数；
对于满足条件的所有点中取出个点，满足在这个点中任意选择 ，两点，点 ，都相关，求的最大值．
【答案】（1）②；（2）， ，
【分析】（1）根据已知条件，分别将坐标代入进行计算，判断是否符合条件，即可得出结论；
（2）因为且为整数，所以符合条件的x有13个，同理符合条件的y也有13个，所以得出满足条件的P点有169个；
根据点A，B相关的定义得到，把代入，得，分别讨论在四处象限及坐标轴上与点相关的点的个数；
由中的变换得，从而可知点A，B相关时的条件，从而求得n的最大值．
【详解】解（1）①因为，，
所以A＇（-2，2），B＇（3，1），
（2＋1）2＋（3＋2）2＝34，（2＋2）2＋（3＋1）2＝32
所以此项不符合要求；
②因为，，
所以C＇（4，4），D＇（4，－3），
（4＋3）2＋（2＋4）2＝85，（4＋4）2＋（2＋3）2＝89，
所以此项符合要求．
故答案为：②．
（2）因为 ，且是整数，
所以符合条件的x有13个，同理符合条件的y也有13个，
所以满足条件的P点有13×13＝169个．
故答案为：169．
要满足A，B相关，则有，
整理得：，
把代入，得，带有绝对值，所以四个象限是对称的，
首先考虑第一象限以及x、y轴正向，符合条件的有（0，3），（0，4），（0，5），（0，6），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），共16个．
x2，y2也是对称的，所以第一象限以及x、y轴正向有16×2－1＝31个点满足条件，
所以满足条件的点有4×4＋（12×2－1）×4＝108（个）．
对中稍作变换，得：，，
当＝0时等号成立，否则有．
因为x1，x2任取，所以，即，
故需满足横坐标绝对值相等或纵坐标的绝对值相等．
所以n的最大值为13×2＝26．
【点睛】本题主要考查绝对值的概念和平面直角坐标系的应用．
24．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与x轴负半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴负半轴的交点依次记作，，…，，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（2）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（3）请求出四边形的面积．
【答案】（1），，，；（2），，，；（3）684.
【分析】（1）根据点的坐标规律即可写出.
（2）根据点的坐标规律即可写出.
（3）四边形的面积为计算即可.
【详解】由题意得:
的横坐标为，纵坐标为0，得出
的横坐标为0，纵坐标为，得出
的横坐标为 ，纵坐标为0，得出
的横坐标为0，纵坐标为，得出
故答案为：，，，
（2）根据上式得出的规律，直接即可写出，，，
故答案为：，，，
（3）∵，，，，
∴四边形的面积为
【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是根据图形得出点的坐标的规律进行分析.
25．（2022秋·全国·八年级专题练习）综合与实践：
(1)动手探索在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，，分别写出，，，的坐标；
(2)观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为、，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律 ，并用，的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” ；
(3)实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点，点，则线段的中点的坐标为 ；
②已知点是线段的中点，且点，，求点的坐标．
【答案】(1)，，，
(2)；是
(3)①；②
【分析】、
（1）根据图形可以直接读取坐标即可得到答案；
（2）根据观察得到规律并写出等式，再利用B、C、D、G、I五点坐标即可验证所得规律，得到答案；
（3）①根据（2）中发现的规律，即可得到线段的中点的坐标；
②设点的坐标为，根据根据（2）中发现的规律解方程求解即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：根据图形可以直接读取各点坐标，，，，，，
，，，的坐标分别为：，，，；
（2）解：根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
、，线段的中点是，
，
，，，，，、分别为线段、的中点，
检验得，，，
通过，的坐标验证规律是正确的，
故答案为：；是；
（3）解：①点，点，
根据（2）中发现的规律，线段的中点的坐标为，
故答案为：；
②设点的坐标为，
点是线段的中点，且点，，
，
，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，探索规律，通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系是解题关键．
26．（2022春·河北邢台·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，．
(1)若点在线段上，当点与点的距离最小时，点的坐标为____；
(2)把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两点之间线段最短即可求出答案；
（2）计算“凸”形图中各线段的长度，绕一周需要多少个单位长度，因为是周期变化，所以计算出绕了多少周，余下的线段落在哪里即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意，画图如下，
∵两点之间线段最短，
∴当点 在的直线上时，点与点的距离最小，且点在线段 上，
∴点的坐标是 ，
故答案是：．
（2）解：∵，，，，，
从点的线段之和为 ，即，
∴ ，即绕了 周余下 个单位长度，也就是落在点 ，
∴细线的另一端所在位置的点的坐标是，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查图形中最短距离，线段的求和与点坐标的特点，理解图形的意思，线段加减是解题的关键．
27．（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从处出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动距离为1个单位长度，其行走路线如图所示．
(1)在图中补出y轴，并写出点，，的坐标；
(2)写出点的坐标（n为正整数）；
(3)蚂蚁从点到点的移动方向是 （填“向上”“向右”或“向下”）．
【答案】(1)（-2，1），（0，1），（2，1）
(2)（2n-4，1）
(3)向右
【分析】（1）根据点即可得到y轴，观察图形可知，，，都在x轴上方，求出的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据（1）中规律写出点的坐标即可写出其他各点的坐标；
（3）根据2021是4×506-3，可知从点到点的移动方向与从点到的方向一致．
（1）
解：如图，建立直角坐标系，
∵按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动距离为1个单位长度，
∴，⊥x轴，⊥x轴，⊥x轴，
∴（-2，1），（0，1），（2，1）；
（2）
当n=1时，为（-2，1），
当n=2时，为（0，1），
当n=3时，为（2，1），
当n=4时，为（4，1），
，
∴的横坐标为2（n-2）=2n-4，纵坐标为1，即（2n-4，1）；
（3）
由（2）可知，每四个点以循环，
∵4×506-3=2021，
∴从点到点的移动方向与从点到的方向一致，即向右，
故答案为：向右．
【点睛】此题主要考查了点的变化规律，比较简单，仔细观察图形，确定出的坐标是解题的关键．
28．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点（1，1），（3，1），（3，5），连接，，．
(1)特例感知：分别找到线段，，的中点，并依次标记为，，，它们的坐标为
（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）．
(2)观察猜想：仔细观察上述三条线段中点的横坐标与纵坐标，分别与对应的线段，，的两端点的横坐标与纵坐标进行比较，看看它们之间有什么关系，并根据你的猜想完成下列问题．
①若点（-5，1.5），（-1，-3.5），则线段的中点坐标为_________；
②若点（a，b），（c，d），则线段的中点坐标为_________．
(3)拓展应用：若，分别是三角形中，的中点，请直接写出与的位置关系及数量关系．
【答案】(1)（2，1），（3，3），（2，3）．
(2)①（-3，-1）；②（，）．
(3)，．
【分析】（1）根据所给的条件结合图像可以直接得到找到线段，，的中点的坐标．
（2）由（1）可以归纳出一个“已知线段两个端点的坐标，求线段中点的坐标”的结论，然后根据结论求出答案即可．
（3）将三角形放在平面直角坐标系中，表示出M，N的坐标，然后根据坐标得出结论．
【详解】（1）根据图中的方格直接得到线段，，的中点分别为：（2，1），（3，3），（2，3）．
（2）根据（1）可以猜想出一个结论：已知线段的两个端点A、B的坐标，线段AB中点的横坐标和纵坐标分别为A、B的横坐标和的一半和纵坐标和的一半．
所以①（-5，1.5），（-1，-3.5），线段的中点坐标为（-3，-1）；
②（a，b），（c，d），线段的中点坐标为（，）．
（3）如图，将三角形放在平面直角坐标系中，点和点O重合，在x轴的正半轴上，则，设，，
所以，，
M、N纵坐标相同，所以，
，MN=，所以，
∴，．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系相关知识，前两问需要学生认真归纳总结，第三问方法不唯一，需要学生认真探索方法，能够正确理解题意并归纳出相关结论是解决本题的关键．
29．（2022春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期末）在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．例如，点，点，，，，
(1)若点，点B在x轴的正半轴上，，求点B的坐标；
(2)若点，点P，Q在x轴上，且点P在点Q的左侧，点B在线段PQ上，将的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为，
①若点，，求的值；
②若点，点，，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)或．
(2)①②．
【分析】（1）根据公式，，并结合具体的点的坐标，即可求出．
（2）根据（1）中的运算过程，类比即可求出①，②．
(1)
设，，
∵，，
∴，，
∴，
∴或，
而，
∴或
(2)
①∵，，，
∵点P在点Q的左侧，
∴，
当点B在点P时，
∴，，
，
同理可得：点B在点Q时，，
综上所述，．
②依据题意可知：若，，，，
∵点P在点Q的左侧，
∴，
∴，
依据小问①，可知点A与点Q的横纵偏差较大，
∴，，，
∴或0，
∴a的取值范围为．
【点睛】此题考查了绝对值的性质，平面直角坐标系等知识点，培养学生的阅读素养与创新能力，细心审题与正确计算是解题的关键．
30．（2021春·浙江·七年级期中）阅读：在平面直角坐标系内，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．如点的伴随点为，即．
（1）若点M的伴随点坐标为，则点M的坐标为__________．
（2）若点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点．
①若点的坐标为，则点的坐标为_________．
②点有没有可能始终在y轴的左侧？若可能，请分别求出a、b的取值范围；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）（0，6）；（2）①（2，6）；②-2
（2）①待定点A1坐标（a，b），并根据规则求出A2（-b+1，a+3）→A3（-a-2，-b+4）→A4（b-3，-a+1）→A5（a，b）…确定其循环规则，分析即可；
②根据待定的点An的坐标，列出不等式组，分析其是否有解即可．
【详解】解：（1）设点M（m，n），则它的伴随点为（-n+1，m+3），
∵点M的伴随点坐标为（-5，3），
∴-n+1=-5，m+3=3，
解得，m=0，n=6，
∴M（0，6）．
故答案为（0，6）；
（2）An的变化规律：A1（a，b）→A2（-b+1，a+3）→A3（-a-2，-b+4）
→A4（b-3，-a+1）→A5（a，b）…
①104÷4=26，
∴A4与A104坐标同为（3，-1），即b-3=3，-a+1=-1，
则a=2，b=6，
∴点的坐标为（2，6）；
②列不等式组，，
解得-2
【点睛】此题主要考查新定义规则的运用，会合理待定点坐标，归纳规律，并用方程与不等式分析解决相关问题是解题的关键．
相关试卷
人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题09矩形、菱形、正方形的性质与判定重难点题型专训(原卷版+解析)： 这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题09矩形、菱形、正方形的性质与判定重难点题型专训(原卷版+解析)，共130页。
人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题08平面直角坐标系重难点题型专训(原卷版+解析)： 这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题08平面直角坐标系重难点题型专训(原卷版+解析)，共68页。
人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题06实数相关计算30道题专训(原卷版+解析)： 这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题06实数相关计算30道题专训(原卷版+解析)，共34页。
