人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题08平面直角坐标系重难点题型专训(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题08平面直角坐标系重难点题型专训(原卷版+解析)，共68页。

题型一 有序数对问题
题型二 已知点所在的象限求参数问题
题型三 坐标与图形问题
题型四 点坐标规律探究问题
题型五 用坐标表示地理位置问题
题型六 用坐标表示平移问题
题型七 平移综合题（几何变换）
【经典例题一 有序数对问题】
有序数对，数学术语，是指用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作（a,b），利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。
1、平面直角坐标系
在平面内，两条具有公共原点、并且互相垂直的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做x轴或横轴，向右方向为正方向，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，向上方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。如图所示。
2、点的坐标：
用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标，表示方法为（a,b）.其中，a是过该点向横轴作垂线，垂足所对应的横轴上的数值。b是过该点向纵轴作垂线，垂足所对应的纵轴上的数值。
例如：上图中点A的坐标为（3，4）
点拨：横轴（x轴）上点的坐标特征是（x，0）；纵轴（y轴）上的点的坐标特征是（0，y）。
【考点解读】在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置，反之，任意一个点的位置都可以用一对有序实数来表示，这样的有序实数对叫作点的坐标.在平面直角坐标系中，一些特殊点的坐标特点如下:
【例1】（2023春·七年级单元测试）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，将整数按规律排列，若有序数对(a，b)表示第a排从左往右第b个数，则(9，4)表示的数是（ ）
A．49B．﹣40C．﹣32D．25
【变式2】（2021春·四川成都·八年级校考期中）八年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为11，则当取最小值时，的最大值为_________．
【变式3】（2023秋·甘肃兰州·八年级校联考期末）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A、B处．
(1)如果“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______．
(2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．
【经典例题二 已知点所在的象限求参数问题】
【解题技巧】根据点所在象限的特征求参数范围；
象限
平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个部分，这两条数轴的正方向的夹角部分叫做第_一_象限，其它三个直角逆时针依次叫做第二、三、四象限，坐标轴不属任何象限。
在平面直角坐标系中，第一象限的横坐标与纵坐标都是正数，简单记作（+，+），那么第二象限的坐标特征是（-，+） ，第三象限是（-，-） ，第四象限是（+，-） 。
【例2】（2022春·江西宜春·七年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，有三点，其中点A落在y轴上，P为直线AB上的一动点，若PC连线的长度最短，此时点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·河南商丘·七年级统考期末）若＝2，＝，由实数、组成的有序数对（，）在平面直角坐标系第二象限，则的值为（ ）
A．2B．﹣2C．0D．2或﹣2
【变式2】（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）点在第一象限，且到y轴的距离为3，直线轴，且．
（1）点A的坐标为__________；
（2）点C的坐标为__________．
【变式3】（2022秋·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点的“3级关联点”为点，即点．
(1)在平面直角坐标系中，已知点的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，已知点的“3级关联点”是点N，且点N位于轴上，求点N的坐标．
【经典例题三 坐标与图形问题】
知识点：平面直角坐标系中图形的面积
已知图形点的坐标求面积：
面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。
已知图形面积求点的坐标：
可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。
【例3】（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，、、、，点P在x轴上，直线将四边形面积分成两部分，求的长度（ ）．
A．B．C．D．或
【变式训练】
【变式1】（2022秋·安徽安庆·八年级校考期中）已知点，，若直线轴，则、间的距离是（ ）
A．5B．1C．3D．0.5
【变式2】（2022春·北京·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行，若，则点的坐标为___________．
【变式3】（2022秋·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有点，点，点．
(1)若，，求的面积．
(2)若在第二象限，轴，线段交y轴于点．
①判断的形状，并说明理由．
②沿x轴正方向平移，使点B与原点重合，得到，求四边形的面积．
【经典例题四 点坐标规律探究问题】
【例4】（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，已知正方形对角线的交点M的坐标为．规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2021次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，将若干个整点按图中方向排列，即，……，按此规律排列下去第24个点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·云南曲靖·九年级校联考期中）如图，矩形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为…依此类推，经过次翻滚后点对应点记为的坐标为____．
【变式3】（2022秋·江西九江·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至处，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处……如此继续下去，设，（为正整数）．
(1)依次写出、、的坐标；
(2)计算和；
(3)计算的值．
【经典例题五 用坐标表示地理位置问题】
【例5】（2022秋·山西·八年级山西实验中学校考期中）实验中学举行秋季田径运动会，为了保障开幕式表演的整体效果，该校在操场中标记了几个关键位置，如图表示点A的坐标为，表示点B的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始．按顺时针方向．取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
【变式2】（2022春·湖北鄂州·七年级统考期中）同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是：只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在_________位置就一定能胜．
【变式3】（2022秋·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
(1)（_______，________），
(2)（_______，________）
(3)若这只甲虫按最短路径行走的路线为，请计算该甲虫走过的路程；
(4)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，请在图中标出P的位置．
【经典例题六 用坐标表示平移问题】
【解题技巧】
知识点：平面内点的平移
1、在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，所得到对应点的坐标是（x+a，y）（或（x-a，y） ）；
2、将点（x，y）向上（或下）平移a个单位长度，所得对应点的坐标是 （x，y+a）（或 （x，y-a） ）；
3、如果把点P（a，b）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，所得对应点Q的坐标是 （x-m，y+n） 。
【例6】（2022春·山东临沂·七年级校考期末）如图第一象限内有两点，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）．
A．B．C．或D．或
【变式训练】
【变式1】（2022·重庆沙坪坝·统考一模）数轴上A，B两点表示的数分别为，b，点A在点B的左侧．将点B右移1个单位长度至点，再将点右移1个单位长度至点，以此类推，…．点是数轴上位于右侧的点，且满足（，2，）．若点表示的数为9，则b的值为（ ）
A．B．C．5D．7
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，，将点向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点，若点在轴上，且，则点的坐标为______．
【变式3】（2022秋·安徽六安·八年级统考期中）把向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△
(1)请你画出；
(2)请直接写出点，，的坐标；
(3)求的面积．
【经典例题七 平移综合问题（几何变换）】
【例7】（2023春·浙江·七年级专题练习）把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么 （ ）
A．是一个确定的值B．有两个不同的值
C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值
【变式训练】
【变式1】（2021春·湖北孝感·七年级统考期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论：
①，；
②；
③四边形的周长是18；
④；
⑤点到的距离为2.4．
其中正确结论的个数有（ ）
A．5B．4C．3D．2
【变式2】（2021春·浙江·七年级阶段练习）如图，将沿方向平移得到,如果四边形的周长是,则的周长是______．
【变式3】（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到△，图中标出了点的对应点． 根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
(1)画出△；
(2)画出的高；
(3)连接、，线段扫过的图形的面积为 ．
(4)在的左侧确定不同于点C的格点，使的面积和的面积相等，这样的点有 个．
【培优检测】
1．（2022秋·福建漳州·八年级漳州实验中学校考阶段练习）已知点，，点P在x轴上，且的面积为5，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）已知点与点在同一条平行于 x 轴的直线上，且 N 到 y 轴的距离等于 4，则点 N 的坐标是（ ）
A．或B．或C．或D．或
3．（2022春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A．B．C．D．
4．（2022秋·八年级课时练习）已知两点A（﹣1，3），B（2，﹣3），现将线段AB平移至，如果（a，1），（5，﹣b），那么的值是（ ）
A．16B．25C．32D．49
5．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得第2021个点的坐标是（ ）
A．（63，3）B．（63，4）C．（64，3）D．（64，4）
6．（2022秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）已知点Р的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点Р为“和谐点”，若点是“和谐点”，则点M所在的象限是（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
7．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（2022春·福建福州·七年级校联考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，均在格点上，以某一个格点为原点，适当方向为，轴的正方向，取相同单位长度建立平面直角坐标系，则下列不可能是同一个坐标系中点，的坐标的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
9．（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一三四中学校考期末）已知点，点，若点N在第一象限，所在直线平行于x轴，且M、N两点之间的距离为6，则的值为______．
10．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）已知，，若点在轴上，且的面积为，则点的坐标为______．
11．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，点B是x轴正半轴上的点，且点B的横坐标为n（n为正整数），记内部（不包括边界）的整点个数为m．
当时，m的值为________；当时，m的值为________．
12．（2022春·江苏南通·七年级校考期中）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“相关点”．例如：点与是的一对“相关点”．如图，过点作平行于x轴的直线l，点E是直线l上的动点，点F与点G是点E的一对“相关点”，当点F在坐标轴上时，G点的坐标______．
13．（2022秋·广东深圳·八年级校联考期中）已知在四边形中，若AB//CD，且AD//BC，则四边形叫做平行四边形．若一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是，且第四个顶点在第四象限，则第四个顶点的坐标是___________．
14．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为___________．
15．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，有点．
(1)当时，求点P到x轴的距离；
(2)若点P的横坐标比纵坐标少5，求点P的坐标；
(3)点的坐标为，直线轴，求点P的坐标．
16．（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考期中）已知的三个顶点坐标分别是：，，；
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出；
(2)将先向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到，画出．
17．（2020秋·江苏宿迁·八年级统考期末）在如图的直角坐标系中，将平移后得到，它们的三个顶点坐标如表所示：
(1)观察表中各对应点坐标的变化，填空： ______， ______；
(2)在图中画出；
(3)求出线段在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积．
18．（2022春·广东东莞·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动．
(1)求，的值；
(2)动点，同时从点A出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标；
(3)动点从点出发，同时动点从点出发：
①若点、均沿长方形的边界顺时针方向运动，为何值时，、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标；
②若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标．
19．（2022春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）如图，在方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点B'．利用网格点和直尺，完成下列各题：
(1)补全三角形；
(2)连接，则这两条线段之间的关系是 ；
(3)在上画出一点Q，使得三角形与三角形的面积相等；
(4)如果B（﹣1，5），C（﹣1，1）请建立合适的平面直角坐标系并写出A'点的坐标是 ；
(5)若B向左移动了个单位，向下移动了个单位后得到了，则的平方根是 ．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成△，第二次将△变换成△，第三次将变换成△；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△变换成△，则的坐标为 ，的坐标为 ．
(2)按以上规律将进行次变换得到△，则的坐标为 ，的坐标为 ；
(3)△的面积为 ．
点所在的象限或坐标
第一象限
第一象限
第一象限
第一象限
原点
X轴
Y轴
点的横坐标
+
-
-
+
0
任意实数
0
点的纵坐标
+
+
-
-
0
0
任意实数
专题08 平面直角坐标系重难点题型专训
【题型目录】
题型一 有序数对问题
题型二 已知点所在的象限求参数问题
题型三 坐标与图形问题
题型四 点坐标规律探究问题
题型五 用坐标表示地理位置问题
题型六 用坐标表示平移问题
题型七 平移综合题（几何变换）
【经典例题一 有序数对问题】
有序数对，数学术语，是指用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作（a,b），利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。
1、平面直角坐标系
在平面内，两条具有公共原点、并且互相垂直的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做x轴或横轴，向右方向为正方向，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，向上方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。如图所示。
2、点的坐标：
用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标，表示方法为（a,b）.其中，a是过该点向横轴作垂线，垂足所对应的横轴上的数值。b是过该点向纵轴作垂线，垂足所对应的纵轴上的数值。
例如：上图中点A的坐标为（3，4）
点拨：横轴（x轴）上点的坐标特征是（x，0）；纵轴（y轴）上的点的坐标特征是（0，y）。
【考点解读】在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置，反之，任意一个点的位置都可以用一对有序实数来表示，这样的有序实数对叫作点的坐标.在平面直角坐标系中，一些特殊点的坐标特点如下:
【例1】（2023春·七年级单元测试）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】首先根据题意，可得距离坐标为（2，1）的点是到l1的距离为2，到l2的距离为1的点；然后根据到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线，可得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个，据此解答即可．
【详解】解：如图1，
，
到l1的距离为2的点是两条平行于l1的直线l3、l4，到l2的距离为1的点是两条平行于l2直线l5、l6，
∵两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，
∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．
故选D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，将整数按规律排列，若有序数对(a，b)表示第a排从左往右第b个数，则(9，4)表示的数是（ ）
A．49B．﹣40C．﹣32D．25
【答案】B
【分析】根据有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，对如图中给出的有序数对和（3，2）表示整数5可得规律，进而可求出（9，4）表示的数．
【详解】解：根据有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，
对如图中给出的有序数对和（3，2）表示整数5可知：
（3，2）：；
（3，1）：；
（4，4）：；
…
由此可以发现，对所有数对（m，n）（n≤m）有，．
表示的数是偶数时结果为负数，奇数时结果为正数，
所以（9，4）表示的数是：．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律．
【变式2】（2021春·四川成都·八年级校考期中）八年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为11，则当取最小值时，的最大值为_________．
【答案】42
【分析】求出m＋n取最小值时，m、n的关系式，又，2，3，4，5，6，计算的值，比较求出最大的值．
【详解】解：由题意得，
则，
∵，，且i、j都是整数，
∴当时，取最小值13，
此时，
∴，
又，2，3，4，5，6．
则时，；m=2时，；时，；时，；时，；时，．
则的最大值是42．
故答案为：42．
【点睛】本题考查了利用坐标表示位置，几何变换的代数表示法，属于新定义型题目，解答本题需要同学们仔细审题，理解位置数是怎样规定的．
【变式3】（2023秋·甘肃兰州·八年级校联考期末）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A、B处．
(1)如果“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______．
(2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．
【答案】(1)，，
(2)路线见解析，走路线为
【分析】（1）结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置；
（2）结合图示，确定原点，再根据题意求出马走的路线．
【详解】（1）解：∵“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），
∴“马”所在的点的坐标为（-3，0），
点C的坐标为（1，3），
点D的坐标为（3，1）．
故答案为，，．
（2）解：以 “帅”为（0，0），则“马”走的路线为，
如图：
．
【点睛】本题考查了用有序数对解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．
【经典例题二 已知点所在的象限求参数问题】
【解题技巧】根据点所在象限的特征求参数范围；
象限
平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个部分，这两条数轴的正方向的夹角部分叫做第_一_象限，其它三个直角逆时针依次叫做第二、三、四象限，坐标轴不属任何象限。
在平面直角坐标系中，第一象限的横坐标与纵坐标都是正数，简单记作（+，+），那么第二象限的坐标特征是（-，+） ，第三象限是（-，-） ，第四象限是（+，-） 。
【例2】（2022春·江西宜春·七年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，有三点，其中点A落在y轴上，P为直线AB上的一动点，若PC连线的长度最短，此时点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据点A在y轴上求出m，从而可得，结合数轴可知当当CP⊥x轴时，CP长度最小，求出点P的坐标即可．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴m-1=0
解得m=1，
∴
如图所示，∵点P是直线AB上的动点，
∴当CP⊥x轴时，CP长度最小，
∴点P(4，3)．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标轴上点的坐标特征，垂线段最短等知识点，解题关键是理解x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0．
【变式训练】
【变式1】（2022春·河南商丘·七年级统考期末）若＝2，＝，由实数、组成的有序数对（，）在平面直角坐标系第二象限，则的值为（ ）
A．2B．﹣2C．0D．2或﹣2
【答案】C
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求出a、b的正负情况，再代入求值即可
【详解】解：实数、组成的有序数对（，）在平面直角坐标系第二象限，
∴
∵＝2，
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及实数的运算，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
【变式2】（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）点在第一象限，且到y轴的距离为3，直线轴，且．
（1）点A的坐标为__________；
（2）点C的坐标为__________．
【答案】 （3，4）； （3，7）或（3，1）##（3,1）或（3,7）；
【分析】（1）由点到坐标轴的距离，以及点在第一象限的符号特征，即可求出答案；
（2）结合点A的坐标，以及轴，，即可求出答案；
【详解】解：（1）∵点在第一象限，
∴，
∵点A到y轴的距离为3，
∴，
∴点A的坐标为（3，4）；
（2）∵直线轴，
∴点C的横坐标为3，
∵，
∴点C的坐标为：（3，7）或（3，1）；
故答案为：（3，4）；（3，7）或（3，1）；
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，点在象限的符号特征等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题．
【变式3】（2022秋·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点的“3级关联点”为点，即点．
(1)在平面直角坐标系中，已知点的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，已知点的“3级关联点”是点N，且点N位于轴上，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据“a级关联点”的定义进行求解即可；
（2）根据“a级关联点”的定义表示出点N的坐标，然后根据点N位于轴上可得，求出m即可得解．
【详解】（1）解：∵，，
∴点的“2级关联点”为点；
（2）解：∵，，
∴点的“3级关联点”是点，
∵点N位于轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点N的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标系的新定义问题，正确理解“a级关联点”的定义，掌握轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
【经典例题三 坐标与图形问题】
知识点：平面直角坐标系中图形的面积
已知图形点的坐标求面积：
面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。
已知图形面积求点的坐标：
可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。
【例3】（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，、、、，点P在x轴上，直线将四边形面积分成两部分，求的长度（ ）．
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值．
【详解】解：作轴于点P，
∵、、、，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
①当即时，
即，解得：，
∴；
②当即时，
即，解得：，
∴；
综上可知．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，分类讨论是解本题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·安徽安庆·八年级校考期中）已知点，，若直线轴，则、间的距离是（ ）
A．5B．1C．3D．0.5
【答案】B
【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征：纵坐标相等，由直线轴，点，，得到，解得，代入，，确定，，从而得到、间的距离是，从而得到答案．
【详解】解：直线轴，点，，
，解得，
，，
直线轴，
、间的距离是，
故选：B．
【点睛】本题考查平行于轴的直线上点的坐标特征：纵坐标相等，理解直线轴，掌握此时点的坐标特征及两点之间距离的求法是解决问题的关键．
【变式2】（2022春·北京·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行，若，则点的坐标为___________．
【答案】或
【分析】根据题意，根据点，直线与轴平行得到点的纵坐标与点纵坐标相同，再结合，分两种情况讨论：①若在点左侧，相当于将向左数个单位长度，得到；②若在点右侧，相当于将向右数个单位长度，得到；从而得到答案
【详解】解：在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行，
点的纵坐标与点纵坐标相同，
，分两种情况讨论：
①若在点左侧，相当于将向左数个单位长度，得到；
②若在点右侧，相当于将向右数个单位长度，得到；
故答案为：或．
【点睛】本题考查求点的坐标，理解平行于轴的直线上所有点的纵坐标均相同，再分情况讨论是解决问题的关键．
【变式3】（2022秋·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有点，点，点．
(1)若，，求的面积．
(2)若在第二象限，轴，线段交y轴于点．
①判断的形状，并说明理由．
②沿x轴正方向平移，使点B与原点重合，得到，求四边形的面积．
【答案】(1)6
(2)①等腰直角三角形，理由见解析；②
【分析】（1）由A、B的坐标可得的长度，由点C的坐标即可求得的面积；
（2）①由A、E的坐标可得，，由轴，即可得，从而，即可得的形状；
②由四边形的面积的面积的面积，即可求得．
【详解】（1）解：∵，，
，
，
，
；
（2）①结论：△ABC是等腰直角三角形．
理由：，
，
，
，轴，
，
，
是等腰直角三角形；
②四边形的面积的面积的面积
．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的判定，求图形面积等知识，熟悉这些知识是关键．
【经典例题四 点坐标规律探究问题】
【例4】（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，已知正方形对角线的交点M的坐标为．规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2021次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为，当n为偶数时为，继而求得把正方形连续经过2021次这样的变换得到正方形的对角线交点M的坐标．
【详解】解：∵对角线交点M的坐标为，
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为，即，
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：，即，
第3次变换后的点M的对应点的坐标为，即，
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为，当n为偶数时为，
∴连续经过2021次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为．
故选：A．
【点睛】此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质，得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为，当n为偶数时为是解此题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，将若干个整点按图中方向排列，即，……，按此规律排列下去第24个点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由题意写出前几个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特点，从而可得答案．
【详解】解：∵……
∴观察发现：每三个点为一组，每组第一个点坐标为：，
，
∴第24个点在第八组的第三个，
∵第八组的第一个点坐标为：，
∴第24个点的坐标为：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是点坐标规律的探究，解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从具体到一般的探究方法．
【变式2】（2022秋·云南曲靖·九年级校联考期中）如图，矩形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为…依此类推，经过次翻滚后点对应点记为的坐标为____．
【答案】
【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为，依据即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
，
观察图形可知，经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，，
∵长方形的周长为：，
每一次完整循环，相当于对应点的横坐标，纵坐标保持不变，
，即经过了次完整的循环后再向前翻滚次，是的对应点，
∴经过次翻滚后点对应点的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点坐标规律，读懂题意，理解图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置是解决问题的关键．
【变式3】（2022秋·江西九江·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至处，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处……如此继续下去，设，（为正整数）．
(1)依次写出、、的坐标；
(2)计算和；
(3)计算的值．
【答案】(1)，，
(2)4
(3)1010
【分析】（1）根据题意求得，即可求解；
（2）根据（1）中结论，即可求解；
（3）通过求解，找到规律，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，，，，，，，，
（2）解：由（1）得：， ，，，的值分别为1，，，3，3，3，，，
∴，
；
（3）解：由（2）得：，
，
…
，
所以．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中找规律，先写出前面几个点的坐标，发现规律是解题的关键．
【经典例题五 用坐标表示地理位置问题】
【例5】（2022秋·山西·八年级山西实验中学校考期中）实验中学举行秋季田径运动会，为了保障开幕式表演的整体效果，该校在操场中标记了几个关键位置，如图表示点A的坐标为，表示点B的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
【变式训练】
【变式1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始．按顺时针方向．取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据题目中定义的新坐标系的中点坐标的表示方法，求出点C的坐标，即可求得答案．
【详解】根据题意得：点C的坐标为，
则；
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，解题的关键是理解新定义的坐标系中点坐标的表示方法．
【变式2】（2022春·湖北鄂州·七年级统考期中）同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是：只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在_________位置就一定能胜．
【答案】或
【分析】根据题意得出原点位置进而得出答案黑棋应该放的位置．
【详解】解：如图所示建立直角坐标系，黑棋放在图中黑点A或B位置，就能获胜．
∵白①的位置是：(0，1)，黑②的位置是：(1，2)，
∴O点的位置为：(0，0)，
∴黑棋放在A(2，5)或B(6，1)位置就能获胜．
故答案为(2，5)或 (6，1)．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
【变式3】（2022秋·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
(1)（_______，________），
(2)（_______，________）
(3)若这只甲虫按最短路径行走的路线为，请计算该甲虫走过的路程；
(4)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，请在图中标出P的位置．
【答案】(1)，
(2)
(3)10
(4)见详解
【分析】（1）先向右走3格，再向上走4格；
（2）先向右走3格，再向下走2格；由此写出即可；
（3）先向右移动1格，向上移动4格，向右移动2格，在向下移动2格，最后向右移动1格，把移动的距离相加即可；
（4）由可知从A处右移2格，上移2格，再右移1格，下移1格，左移2格，上移3格，下移2个即是甲虫P处的位置．
【详解】（1）解：
故答案为：
（2）解：
故答案为：
（3）解：
答：甲虫走过的路程为10个格；
（4）解：如图，
【点睛】此题考查坐标表示地理位置，正负数的意义和有理数的加减混合运算，注意在方格内对于运动方向规定的正负．
【经典例题六 用坐标表示平移问题】
【解题技巧】
知识点：平面内点的平移
1、在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，所得到对应点的坐标是（x+a，y）（或（x-a，y） ）；
2、将点（x，y）向上（或下）平移a个单位长度，所得对应点的坐标是 （x，y+a）（或 （x，y-a） ）；
3、如果把点P（a，b）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，所得对应点Q的坐标是 （x-m，y+n） 。
【例6】（2022春·山东临沂·七年级校考期末）如图第一象限内有两点，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）．
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在轴上，在轴上；②在轴上，在轴上．
【详解】解：设平移后点、的对应点分别是、．
分两种情况：
①在轴上，在轴上，
则横坐标为0，纵坐标为0，
，
，
点平移后的对应点的坐标是；
②在轴上，在轴上，
则纵坐标为0，横坐标为0，
，
，
点平移后的对应点的坐标是；
综上可知，点平移后的对应点的坐标是或．
故选：C．
【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式训练】
【变式1】（2022·重庆沙坪坝·统考一模）数轴上A，B两点表示的数分别为，b，点A在点B的左侧．将点B右移1个单位长度至点，再将点右移1个单位长度至点，以此类推，…．点是数轴上位于右侧的点，且满足（，2，）．若点表示的数为9，则b的值为（ ）
A．B．C．5D．7
【答案】A
【分析】由题意可得Bn=b+n，则ABn=b+n-（-7）=b+n+7，BnCn=Cn-（b+n），结合条件即可求解．
【详解】解：∵点B右移1个单位长度至点B1，即B1表示的数为：b+1，
点B1右移1个单位长度至点B2，即B2表示的数为：b+2，
..．
∴Bn=b+n，
∴ABn=b+n-（-7）=b+n+7，BnCn=Cn-（b+n），
∵ABn=3BnCn，
∴b+n+7=3[Cn-（b+n）]，
整理得：Cn=，
∴当点C10表示的数为9时，＝9，
解得：b=-5．
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由题意得到Cn=．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，，将点向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点，若点在轴上，且，则点的坐标为______．
【答案】（0，2）或（0，）
【分析】根据题意确定点B的坐标，然后设C（0，m），结合图形，利用面积得出方程求解即可．
【详解】解：将点A向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点B，
∴B(0，)，
设C（0，m），
如图所示，
根据题意得：，
解得：m=2或，
∴C(0，2)或（0，），
故答案为：（0，2）或（0，）．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，坐标的平移，一元一次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式3】（2022秋·安徽六安·八年级统考期中）把向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△
(1)请你画出；
(2)请直接写出点，，的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)点，，
(3)
【分析】（1）直接利用平移的性质得出各对应点位置，进而画出；
（2）根据图象即可求得出点，，的坐标；
（3）直接利用△ABC所在正方形形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】（1）如图所示： ，即为所求；
（2）根据横坐标，纵坐标得到：
点，，；
（3）的面积为：．
【点睛】此题考查作图-平移变换，解题关键在于掌握作图法则．
【经典例题七 平移综合问题（几何变换）】
【例7】（2023春·浙江·七年级专题练习）把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么 （ ）
A．是一个确定的值B．有两个不同的值
C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值
【答案】B
【分析】根据两个全等的直角三角形可以组成一个矩形或一个平行四边形可得出答案．
【详解】解：（1）当两斜边重合时可组成一个长方形，此时，，；
（2）当两直角边重合时有两种情况：
①短边重合，此时，，；
②长边重合，此时，，．

综上可得或7．
故选B．
【点睛】本题考查了平移的知识，有一定难度，关键是利用两个全等的直角三角形可以组成一个矩形或一个平行四边形进行解答．
【变式训练】
【变式1】（2021春·湖北孝感·七年级统考期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论：
①，；
②；
③四边形的周长是18；
④；
⑤点到的距离为2.4．
其中正确结论的个数有（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】设AC与DE的交点为H，根据平移的性质可得，然后可得，过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，然后利用等积法可进行求解．
【详解】解：设AC与DE的交点为H，如图所示：
∵，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接，
∴根据平移的性质知，，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，，
∴四边形的周长为
，故③正确；
∵，
∴，故④正确；
过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，如图，
∵，
∴，故⑤正确；
∴正确的个数有5个；
故选A．
【点睛】本题主要考查平移的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【变式2】（2021春·浙江·七年级阶段练习）如图，将沿方向平移得到,如果四边形的周长是,则的周长是______．
【答案】20
【分析】先利用平移的性质得AC=DF，AD=CF=4，然后利用AB+BC+CF+DF+AD=28得到AB+BC+AC=20，从而得到△ABC的周长为20cm．
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移4cm得到△DEF，
∴AC=DF，AD=CF=4，
∵四边形ABFD的周长是28cm，
即AB+BC+CF+DF+AD=28，
∴AB+BC+AC+4+4=28，
即AB+BC+AC=20，
∴△ABC的周长为20cm．
∴△DEF的周长是20cm，
故答案为：20
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
【变式3】（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到△，图中标出了点的对应点． 根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
(1)画出△；
(2)画出的高；
(3)连接、，线段扫过的图形的面积为 ．
(4)在的左侧确定不同于点C的格点，使的面积和的面积相等，这样的点有 个．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
(3)10
(4)8
【分析】（1）分别作出A，B，C对应点，，即可．
（2）根据三角形高的定义画出图形即可．
（3）利用分割法求解即可．
（4）构造菱形，利用等高模型解决问题即可．
（1）
解：如图，根据题意可得，先将图形向下平移1个单位长度，然后向右平移6个单位长度，△即为所求作．
（2）
解：如图，线段即为所求作．
（3）
线段扫过的图形的面积为．
故答案为： 10．
（4）
解：满足条件的点有8个，如下图：
故答案为：8．
【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【培优检测】
1．（2022秋·福建漳州·八年级漳州实验中学校考阶段练习）已知点，，点P在x轴上，且的面积为5，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据B点的坐标可知边上的高为2，而的面积为5，点P在x轴上，可得，设点P的坐标为，再根据数轴上两点间的距离，即可求得P点坐标．
【详解】解：，，点P在x轴上，
的边上的高为2，
又的面积为5，
，
设点P的坐标为，
则，
或，
解得或，
点P的坐标为或，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
2．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）已知点与点在同一条平行于 x 轴的直线上，且 N 到 y 轴的距离等于 4，则点 N 的坐标是（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】A
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出b，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值求出a，然后写出点N的坐标即可．
【详解】解：∵点与点在同一条平行于x轴的直线上，
∴，
∵N到y轴的距离等于4，
∴，
∴点N的坐标为或．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于x轴的直线上点的坐标特征，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
3．（2022春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出四边形的周长为，得到的余数为，由此即可解决问题．
【详解】解：，，，，
，，，，
绕四边形一周的细线长度为，
，
细线另一端在绕四边形第圈的第个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点在点的位置，坐标为．
故选：D
【点睛】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形一周的长度，从而确定个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
4．（2022秋·八年级课时练习）已知两点A（﹣1，3），B（2，﹣3），现将线段AB平移至，如果（a，1），（5，﹣b），那么的值是（ ）
A．16B．25C．32D．49
【答案】C
【分析】根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，根据平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，可得出a，b的值，即可得到答案．
【详解】解：∵A（-1，3）平移后对应点的坐标为（a，1），
∴线段向下平移了2个单位，
∵点B（2，-3）平移后对应的点（5，-b），
∴线段向右平移了3个单位，
∴a=2，b=5，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，难度适中．
5．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得第2021个点的坐标是（ ）
A．（63，3）B．（63，4）C．（64，3）D．（64，4）
【答案】D
【分析】横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数．
【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，
依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，
第n列有n个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．
因为1+2+3+…+63=2016，则第2021个数一定在第64列，由下到上是第5个数．
因而第2021个点的坐标是（64，4）．
故选：D．
【点睛】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
6．（2022秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）已知点Р的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点Р为“和谐点”，若点是“和谐点”，则点M所在的象限是（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【答案】B
【分析】根据“和谐点”的定义列出关于的方程，然后求得的值，进而确定Ｍ的坐标，最后确定其所在的象限即可．
【详解】解：∵点是“和谐点”
∴3（m-1）=2（3m+2）+5，解得m=-4
∴
∴点M在第三象限．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、点所在的象限等知识点，根据“和谐点”的定义列出关于的方程是解答本题的关键．
7．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
如图，依题意可画出直角坐标系，
∴点A位于第四象限，点B位于第二象限，
∴点C位于第三象限．
故选：C．
【点睛】考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观，应用“数形结合”的数学思想是解题的关键．
8．（2022春·福建福州·七年级校联考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，均在格点上，以某一个格点为原点，适当方向为，轴的正方向，取相同单位长度建立平面直角坐标系，则下列不可能是同一个坐标系中点，的坐标的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】根据选项中给出的其中一个点的坐标找到直角坐标系的原点，设每个小正方形格长为单位长度，建立直角坐标系，再确认另一个点的位置，看是否符合题意判断答案即可．
【详解】解：按已知条件给出的点M的坐标，先确定直角坐标系的位置，
再在坐标系中判断点N是否与已知相符，
A.M（-2，0），N（1，1）
B.M（-1，0），N（0，2）
C.M（-4，-4），N（2，-2）
（当每个小方格边长代表2个单位长度时，即可成立．）
D.M（1，2），N（4，3）
通过画图，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】考查已知点的坐标画直角坐标系，直角坐标系中点的位置，关键要掌握直角坐标系中点的坐标的意义，特别注意B选项，直角坐标系的原点位置．
9．（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一三四中学校考期末）已知点，点，若点N在第一象限，所在直线平行于x轴，且M、N两点之间的距离为6，则的值为______．
【答案】20
【分析】根据所在直线平行于x轴，可得，再由M、N两点之间的距离为6，点N在第一象限可得的值即可解答．
【详解】解：∵点M(-2，5)，点， 所在直线平行于x轴，
∴，
∵M、N两点之间的距离为6，点N在第一象限，
∴，解得：
∴．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了直线平行于x轴的上两不同点的坐标特点，熟练掌握直线平行于x轴纵坐标相等是解题的关键．
10．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）已知，，若点在轴上，且的面积为，则点的坐标为______．
【答案】或
【分析】先画出图形，设点的坐标为，则，，再利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
设点的坐标为，
，，
，，
又的面积为，且轴轴，
，
解得或，
故点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，利用三角形的面积公式正确建立方程是解题关键．
11．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，点B是x轴正半轴上的点，且点B的横坐标为n（n为正整数），记内部（不包括边界）的整点个数为m．
当时，m的值为________；当时，m的值为________．
【答案】 15 3031
【分析】根据题意，分别找出时的整点的个数，即可发现n增加1，整点的个数增加6，然后写出横坐标为时的表达式，从而计算求解．
【详解】解：当点B的横坐标为时，在的网格图内（不包括边界），一共有个网格点，
而当n为奇数时，的网格图的对角线与网格线有1个交点，
当n为偶数时，的网格图的对角线与网格线有3个交点，
∵在内部（不包括边界）的网格点个数m，
∴当n为奇数时，
当n为偶数时，，
∴当，即时，；
当，即时，，
故答案为：15；3031．
【点睛】本题考查坐标与图象，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键．
12．（2022春·江苏南通·七年级校考期中）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“相关点”．例如：点与是的一对“相关点”．如图，过点作平行于x轴的直线l，点E是直线l上的动点，点F与点G是点E的一对“相关点”，当点F在坐标轴上时，G点的坐标______．
【答案】，，，
【分析】设，由题意可得，或，分两种情况讨论：当F点在x轴上时，或，得出或；当F点在y轴上时，或，得出或．
【详解】设，
∵点F与点G是点E的一对“相关点”，
∴，或，，
∵点F在坐标轴上，
当F点在x轴上时，或，
∴或，
∴或；
当F点在y轴上时，或，
∴或，
∴或；
综上所述：G点的坐标或或或，
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特点，理解定义并应用是解题的关键．
13．（2022秋·广东深圳·八年级校联考期中）已知在四边形中，若AB//CD，且AD//BC，则四边形叫做平行四边形．若一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是，且第四个顶点在第四象限，则第四个顶点的坐标是___________．
【答案】或或
【分析】根据题意画出平面直角坐标系，然后描出的位置，再找第四个顶点坐标．
【详解】解：如图所示，

第个顶点的坐标为或或．
故答案为：或或．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题关键是要分情况讨论，难易程度适中．
14．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据入射角等于反射角的定义作出图形，可知，每六次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】
如图，根据题意作出图形得：，，，，，，，，，
点的坐标六次一循环，经过六次反弹后动点回到出发点．
当点第次碰到长方形的边时为第个循环组的第六次反弹，
点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每六次反弹为一个循环依次循环是解本题的关键．
15．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，有点．
(1)当时，求点P到x轴的距离；
(2)若点P的横坐标比纵坐标少5，求点P的坐标；
(3)点的坐标为，直线轴，求点P的坐标．
【答案】(1)7
(2)
(3)
【分析】（1）根据得点P的坐标为，即可得到点P到x轴的距离；
（2）列得，求出a即可；
（3）根据直线轴，得到，求出a即可．
【详解】（1）解：当时，点P的坐标为，
∴点P到x轴的距离为7；
（2），
解得，
∴点P的坐标为；
（3）∵直线轴，
∴，
解得，
∴点P的坐标为．
【点睛】此题考查了点到坐标轴的距离，平行于坐标轴的点的坐标特点，解一元一次方程，正确理解坐标与图形的关系是解题的关键．
16．（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考期中）已知的三个顶点坐标分别是：，，；
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出；
(2)将先向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到，画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在直角坐标系中找出，，三点，然后依次连接即可；
（2）根据平移规律在直角坐标系中找出三点，然后依次连接即可；
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
【点睛】本题考查了坐标系中描点，平移作图，掌握平移的性质，数形结合是解题的关键．
17．（2020秋·江苏宿迁·八年级统考期末）在如图的直角坐标系中，将平移后得到，它们的三个顶点坐标如表所示：
(1)观察表中各对应点坐标的变化，填空： ______， ______；
(2)在图中画出；
(3)求出线段在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积．
【答案】(1)；3
(2)见解析
(3)12
【分析】（1）利用表格信息，判定平移的规律，可得结论；
（2）根据点的坐标画出图形即可；
（3）利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵对应点为，对应点，
∴将向右平移4个单位，向上平移3个单位后得到，
∴，，
故答案为：；3．
（2）解：在平面直角坐标系中找出点，，，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（3）解：，
答：线段在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积为12．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化——平移，解题的关键是根据平移前后对应点的坐标得出平移的方式．
18．（2022春·广东东莞·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动．
(1)求，的值；
(2)动点，同时从点A出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标；
(3)动点从点出发，同时动点从点出发：
①若点、均沿长方形的边界顺时针方向运动，为何值时，、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标；
②若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标．
【答案】(1)，
(2)时，、两点相遇，此时，两点的坐标为
(3)①时，、两点相遇，相遇时、所在位置的坐标为；②若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，时，、两点相遇，相遇时、所在位置的坐标为
【分析】（1）根据非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，即可进行解答；
（2）根据题意可得，相遇时，两点的路程和等于长方形的周长，列出方程求解即可；
（3）根据题意可得，点A和点D距离为6，①相遇时，点Q比点P多运动6个单位长度，列出方程求解即可；②相遇时，点Q比点P多运动14个单位长度，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵．
又∵．
∴，．
（2）∵
，
即时，、两点相遇．
此时点P所走路程：，
∵，
∴在边相遇，
∵，，点A的坐标为
∴点D的坐标为
∴相遇时横坐标为：，纵坐标为：，
此时，两点的坐标为．
（3）①由题意：∵，
∴，
，
此时点P所走的路程∶，
∵，
∴在边相遇，
∵点A的坐标为，，
∴，
相遇时横坐标为：，纵坐标为：，
、的坐标为．
②由题意：∵，，
∴，
∴，
，
此时点P所走的路程∶，
∵，
∴在边相遇，
∵，
相遇时横坐标为：，纵坐标为：，
、的坐标为．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，解题的关键是将其看作追击问题，根据题意列出方程求解．
19．（2022春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）如图，在方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点B'．利用网格点和直尺，完成下列各题：
(1)补全三角形；
(2)连接，则这两条线段之间的关系是 ；
(3)在上画出一点Q，使得三角形与三角形的面积相等；
(4)如果B（﹣1，5），C（﹣1，1）请建立合适的平面直角坐标系并写出A'点的坐标是 ；
(5)若B向左移动了个单位，向下移动了个单位后得到了，则的平方根是 ．
【答案】(1)见解析
(2)平行且相等
(3)见解析
(4)坐标系见解析，
(5)
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：连接，，则这两条线段之间的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等；
（3）解：如图，过A点画，交于Q点，连接，则为所求作的三角形，
（4）解：如图，建立平面直角坐标系，由图可知，
故答案为：；
（5）解：由图形知B向左移动了6个单位，向下移动了1个单位后得到了，
∴，
∴的平方根为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了作图-平移变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征，平移的性质，平方根等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键，
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成△，第二次将△变换成△，第三次将变换成△；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△变换成△，则的坐标为 ，的坐标为 ．
(2)按以上规律将进行次变换得到△，则的坐标为 ，的坐标为 ；
(3)△的面积为 ．
【答案】(1)，
(2)，，，
(3)
【分析】（1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可；
（2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可；
（3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可．
【详解】（1）解：、、．
的横坐标为：，纵坐标为：3．
故点的坐标为：．
又、、．
的横坐标为：，纵坐标为：0．
故点的坐标为：．
故答案为：，．
（2）由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3．
故的坐标为：，．
由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0．
故的坐标为：，；
故答案为：，，，；
（3）的坐标为：，，的坐标为：，，
△的面积为．
【点睛】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律．
点所在的象限或坐标
第一象限
第一象限
第一象限
第一象限
原点
X轴
Y轴
点的横坐标
+
-
-
+
0
任意实数
0
点的纵坐标
+
+
-
-
0
0
任意实数