2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，点(−1,2)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.某市身高不超过1.2m的儿童可以免费乘坐公共汽车，若可以免费乘坐公共汽车儿童的身高为ℎ(m)，则( )
A. ℎ>1.2B. ℎ<1.2C. ℎ≥1.2D. ℎ≤1.2
3.以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cmB. 2cm，2cm，4cm
C. 3cm，4cm，5cmD. 3cm，4cm，8cm
4.下列命题是真命题的是( )
A. 同旁内角互补B. 一个锐角与一个钝角的和是一个平角
C. 相等的角为对顶角D. 全等三角形的对应角相等
5.等腰三角形的一个内角为40°，那么它的底角是( )
A. 40°或70°B. 70°C. 40°D. 100°
6.若−12x>y，则( )
A. x<−2yB. 2x0D. x+2y>0
7.已知A(2,a)，B(b,−3)是平面直角坐标系上的两个点，AB/​/x轴，且点B在点A的右侧.若AB=5，则( )
A. a=−3，b=−3B. a=−3，b=7
C. a=2，b=2D. a=−8，b=2
8.已知正比例函数y=−2x的图象与一次函数y=kx−2k(k为常数，k≠0)的图象交于点A(m,−1)，若(k+2)x>2k，则( )
A. x>12B. x>−1C. x<12D. x<−1
9.已知A，B两地相距240km，甲，乙两车分别匀速从A，B两地出发，相向而行.甲车先出发，甲，乙两车离B地的路程S(km)与甲车行驶时间t(ℎ)之间的函数图象如图所示.下列结论：①甲车的平均速度是60千米/小时；②乙车的平均速度是80千米/小时；③乙车从B地到A地用了3.5小时，正确的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
10.如图，已知AB/​/CD，∠ACD=70°，CE平分∠ACD交AB于点E，点P为线段CE上一点，∠CAP与∠EAP度数之比为k、若△ACP为直角三角形，且AP>PE，则k的值为( )
A. 1B. 92C. 112或1D. 1或92
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.点P(1,−1)关于x轴对称的点的坐标为P′______．
12.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°，CD平分∠ACB交AB于点D，则∠ACD= ______ °.
13.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，且C岛在B岛的北偏西40°方向，则∠ACB= ______ °.
14.小马用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小马最多能买支______钢笔．
15.在平面直角坐标系中，点A(m,n)，点B(n,m)和点C(m+n,t)都在一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象上，其中m≠n，则t的值为______ ．
16.如图，在△BED中，BC⊥DE于点C，点A在BE上，连接AC，已知AB=AC=2，CD=1.若∠ABC+2∠CBD=90°，则AE= ______ ，BD= ______ ．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
△ABC在直角坐标系中的位置如图所示．
(1)写出点A，B，C的坐标；
(2)把△ABC先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，作出平移后的△A1B1C1，并写出点B1的坐标．
18.(本小题8分)
解不等式组5x+2>3x−21−x2≥x+13+1，并将解集表示在数轴上．
19.(本小题8分)
如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．
(1)求证：DB=DE；
(2)设△BCD的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1：S2的值．
20.(本小题10分)
点A(x,y)在第一象限，且x+y=8，点B(6,0)，设△AOB的面积为S．
(1)用含x的式子表示S，并写出x的取值范围；
(2)画出这个函数的图象；
(3)当x>3时，求S的取值范围．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，点E在AD上，DE=DC，连接BE.M，N分别是BE，AC的中点，连接MN，ND，MD．
(1)求证：△BED≌△ACD；
(2)求证：△MND是等腰直角三角形；
(3)若DC=1，∠ABE=15°，求MN的长．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，设一次函数y=ax−2a−1(a为常数，且a≠0)．
(1)若函数图象过坐标原点，求a的值．
(2)已知该函数图象经过第一，三，四象限．
①求a的取值范围．
②点A(m,t1)和点B(n,t2)在该函数图象上，若m−n=2，t1+t2>−2，求证：n>1．
23.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，在AC的右侧作锐角三角形ACD，使AC=AD，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE．
(1)求证：∠ABE=∠ACE；
(2)求证：△ACE≌△ADE；
(3)若AE= 2，DE=1，求AD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号特点是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)。
【解答】
解：∵点(−1,2)中，横坐标−1<0，纵坐标2>0，
∴点(−1,2)在第二象限。
故选B。
2.【答案】D
解：由题意可得ℎ≤1.2，
故选：D．
根据题意列得不等式即可．
本题考查列不等式，理解题意并列得正确的不等式是解题的关键．
3.【答案】C
解：A、1+2=3，长是1cm、2cm、3cm的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、2+2=4，长是2cm、2cm、4cm的线段不能组成三角形，故B不符合题意；
C、3+4>5，长是3cm、4cm、5cm的线段能组成三角形，故C符合题意；
D、3+4<8，长是3cm、4cm、8cm的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：C．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4.【答案】D
解：两直线平行，同旁内角互补，
故A不符合题意；
一个锐角与一个钝角的和不一定是平角，
故B不符合题意；
相等的角不一定为对顶角，
故C不符合题意；
全等三角形的对应角相等，
故D符合题意；
故选：D．
根据平行线的性质、平角的定义、对顶角定义、全等三角形的性质判定求解即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
5.【答案】A
解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数=180°−40°2=70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故选：A．
由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
6.【答案】A
解：A、∵−12x>y，
∴x<−2y，故本选项符合题意；
B、∵−12x>y，
∴2x<−4y，故本选项不符合题意；
C、∵−12x>y，
∴2x+4y<0，故本选项不符合题意；
D、∵−12x>y，
∴x+2y<0，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
7.【答案】B
解：∵A(2,a)，B(b,−3)，且AB=5，且AB/​/x轴，
∴a=−3，b−2=5，
解得：a=−3，b=7，
故选：B．
由A与B的坐标，根据AB与x轴平行，确定出a的值，根据AB=5求出b的值即可．
此题考查了坐标与图形性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.【答案】A
解：把A(m,−1)代入y=−2x，得m=12，
∴A(12,−1)．
∵一次函数y=kx−2k=k(x−2)过定点(2,0)，结合图象易知，k>0．
∵(k+2)x>2k，
∴kx−2k>−2x，
结合图象可得x>12．
故选：A．
先利用正比例函数解析式确定A点坐标，即可利用待定系数法求得m的值，然后观察函数图得到当x<1时，y=kx−2k的图象都在直线y=−2x的上方，由此得到不等式(k+2)x>2k的解集．
本题主要考查一次函数的交点与不等式的关系，解题的关键是将不等式问题转化为函数的交点问题，判断出一次函数y=kx−2k的大致走向，结合图象求解．
9.【答案】A
解：由图象可得，甲车从A地到B地共用时4小时，
∴甲车的平均速度为240÷4=60(千米/小时)，
故①正确；
由图象知，当t=2时，两车相遇，
此时甲行驶的路程为60×2=120(千米)，
即甲车距离B地为240−120=120(千米)，
∴乙行驶的路程为120千米，
∴乙车的速度为120÷(2−0.5)=80(千米/小时)，
故②正确；
乙车从B地到A地用了240÷80=3(小时)，
故③错误．
故选：A．
由图象可知甲4小时行驶的路程，用速度=路程÷时间即可求出甲的速度；通过甲2小时行驶的路程可求出乙1.5小时行驶的路程，再用速度=路程÷时间可求出一的速度；用总路程÷乙的速度即可求出乙走完全程所用时间．
本题考查一次函数的应用，关键是掌握速度、路程、时间的关系的运用．
10.【答案】B
解：设∠EAP=x，则∠CAP=kx．
∵CE平分∠ACD，∠ACD=70°，
∴∠ACE=∠ECD=35°，
∵AB/​/CD，
∴∠AEP=∠ECD=35°，
∵AP>PE，
∴∠EAP<∠AEP，
即x<35°，
∴∠APC=∠EAP+∠AEP=x+35°<70°，
∵△ACP为直角三角形，
∴kx=90°，
∴∠ACP+∠APC=90°，
即35°+x+35°=90°，
解得x=20°，
∴k=92，
故选：B．
设∠EAP=x，则∠CAP=kx.根据角平分线定义及平行线的性质求出∠AEP=∠ECD=35°，根据题意求出x<35°，进而推出∠APC<70°，则∠CAP=kx=90°，据此求解即可．
本题综合考查了平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是由AP>PE判断出∠APC的取值范围，得到∠CAP为直角．
11.【答案】(1,1)
解：点P(1,−1)关于x轴对称的点的坐标为P′(1,1)，
故答案为：(1,1)．
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】35
解：∵∠A=60°，∠B=50°，
∴∠ACB=∠180°−∠A−∠B=70°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=12∠ACB=35°．
故答案为：35．
由三角形内角和定理求出∠ACB=∠180°−∠A−∠B=70°，由角平分线定义得到∠ACD=12∠ACB=35°．
本题考查三角形内角和定理，角平分线定义，关键是由角平分线定义得到∠ACD=12∠ACB．
13.【答案】90
解：如图，过C作CD/​/AE，
∴∠ACD=∠CAE=50°，
∵AE/​/BF，
∴CD/​/BF，
∴∠BCD=∠CBF=40°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
故答案为：90．
过C作CD/​/AE，根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，方向角，正确地作出辅助线是解题的关键．
14.【答案】13
解：设小马能买x支钢笔，则可购买(30−x)本笔记本．
2(30−x)+5x≤100，
解得，x≤403，
∵购买的钢笔为整数，
∴最多购买钢笔13支，
故答案为：13．
根据题意可以列出相应的不等式，从而可以得到小马最多购买多少支钢笔．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
15.【答案】0
解：将A，B，C的坐标分别代入y=kx+b，
得mk+b=n,①nk+b=m,②(m+n)k+b=t,③，
①−②得(m−n)k=n−m，
∵m≠n，
∴k=−1．
由①+②可得(m+n)k+2b=m+n，
把k=−1代入，
解得m+n=b．
再把k=−1，m+n=b代入③，
解得t=0．
故答案为：0．
分别把A、B、C三点的坐标代入函数中，再解方程求出t的值．
本题考查了一次函数点的坐标特征，关键用代入法来解答．
16.【答案】2 2 2
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BC⊥DE，
∴∠BCE=90°．
∴∠E+∠EBC=90°，∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠E=∠ACE，
∴AE=AC=AB=2，
设∠E=∠ACE=x，则∠ACB=∠ABC=90°−x．
∵∠ABC+2∠CBD=90°，
∴∠CBD=12x，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°−12x=∠D，
∴DE=BE=AB+AE=4，
∴CE=DE−CD=3．
在Rt△BCE中，BC= BE2−CE2= 42−32= 7，
∴BD= BC2+CD2=2 2，
故答案为：2，2 2．
根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质得到∠E=∠ACE，得到AE=AC=2，设∠E=∠ACE=x，根据题意得到∠ABD=90°−12x=∠D，再根据勾股定理计算即可．
本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用“等边对等角”以及“等角对等边”的性质，由已知的边、角相等关系得到未知的边、角之间的相等关系．
17.【答案】解：(1)由图可得，A(2,4)，B(1,1)，C(5,0)．
(2)如图，△A1B1C1即为所求．

B1(−1,−3)．
【解析】(1)由图可得答案．
(2)根据平移的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图−平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：5x+2>3x−2①1−x2≥x+13+1②，
解不等式①得：x>−2，
解不等式②得：x≤−1，
∴不等式组的解集为：−2表示在数轴上，如图所示：

【解析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=12×60°=30°．
∵CE=CD，∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=∠CDE=12∠ACB=12×60°=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE；
(2)解：过点D作DM⊥BC，如图所示．
则S1=12BC⋅DM，S2=12CE⋅DM．
由(1)可知：CE=CD=12AC=12BC，
∴S1：S2=BC：CE=2．
【解析】(1)利用等边三角形的性质及三线合一，可得出∠DBC的度数，由CE=CD及三角形的外角性质，可求出∠E的度数，由∠DBC=∠E=30°，可证出BD=DE；
(2)过点D作DM⊥BC，利用三角形的面积公式，可得出S1=12BC⋅DM，S2=12CE⋅DM，结合CE=12BC，即可求出S1：S2的值．
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质以及三角形的面积，解题的关键是：(1)根据各角之间的关系，找出∠DBC=∠E=30°；(2)利用三角形的面积公式，找出S1：S2=BC：CE．
20.【答案】解：(1)∵点A(x,y)在第一象限，且x+y=8，
∴点A在线段y=8−x(0∵B(6,0)，△AOB的面积为S，
∴S=12×6(8−x)=−3x+24(0(2)S=−3x+24(0
(3)当x=3时，S=−3×3+24=15，
∵S随x的增大而减小，且S>0，
∴当x>3时，0【解析】(1)由点A(x,y)在第一象限，x+y=8，可得点A在线段y=8−x(0(2)直线S=−3x+24经过(0,24)，(8,0)，据此可画出图象；
(3)当x=3时，S=−3×3+24=15，由一次函数性质即可得当x>3时，0本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是读懂题意，掌握三角形面积公式列出函数关系式．
21.【答案】(1)证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
在△BED和△ACD中，
BD=AD∠BDE=∠ADCDE=DC，
∴△BED≌△ACD(SAS)；
(2)证明：∵点M、N分别是BE、AC的中点，∠BDE=∠ADC=90°，
∴DM=BM=12BE，DN=AN=12AC，
由(1)得：△BED≌△ACD，
∴BE=AC，∠EBD=∠CAD，
∴DM=BM=DN=AN，
∴∠EBD=∠MDB，∠CAD=∠ADN，
又∵∠EBD=∠CAD，
∴∠EBD=∠MDB=∠CAD=∠ADN，
∵∠MDB+∠MDE=∠BDE=90°，
∴∠NDA+∠MDE=90°，
即∠MDN=90°，
又∵DM=DN，
∴△MND是等腰直角三角形；
(3)解：∵AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∵∠ABE=15°，
∴∠EBD=∠ABD−∠ABE=45°−15°=30°，
∵DE=DC=1，
在Rt△BDE中，∠EBD=30°，
∴BE=2DE=2×1=2，
由(2)得：DM=12BE=12×2=1，△MND是等腰直角三角形，
∴MN= 2DM= 2×1= 2．
【解析】(1)由SAS证得△BED≌△ACD即可；
(2)由直角三角形斜边上的中线性质得DM=BM=12BE，DN=AN=12AC，再由全等三角形的性质得BE=AC，∠EBD=∠CAD，则DM=BM=DN=AN，∠EBD=∠MDB=∠CAD=∠ADN，然后证∠NDA+∠MDE=90°，即可得出结论；
(3)先求出∠EBD=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得BE=2DE=2，然后由等腰直角三角形的性质即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
22.【答案】(1)解：将(0,0)代入一次函数y=ax−2a−1，得0=−2a−1．
解得a=−12．
(2)解：①∵函数图象经过第一、三、四象限，
∴a>0，−2a−1<0，
解得a>0．
②证明：把点A(m,t1)和点B(n,t2)代入一次函数y=ax−2a−1，
得t1=am−2a−1，t2=an−2a−1，
∴t1+t2=am+an−4a−2，
∵t1+t2>−2，
∴am+an−4a−2>−2，即am+an−4a>0，
∵a>0，
∴m+n−4>0，
∵m−n=2，
∴2+n+n−4>0，
∴n>1．
【解析】(1)根据一次函数的图象过原点可知−2a−1=0，解方程即可解题；
(2)①根据函数图象经过第一、三、四象限时k和b的取值范围即可解题；
②A、B两点代入一次函数解析式，根据题意建立方程和不等式，即可解题．
本题考查一次函数的图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠CAB=90°，CE⊥BD，
∴∠OAB=∠OEC=90°，
∴∠ABE=90°−∠AOB，∠ACE=90°−∠COE，
∵∠AOB=∠COE，
∴∠ABE=∠ACE；
(2)证明：∵AB=AC，AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADE，
由(1)得：∠ABE=∠ACE，
∴∠ACE=∠ADE，
∴∠ACD−∠ACE=∠ADC−∠ADE，
即∠ECD=∠EDC，
∴CE=DE，
在△ACE和△ADE中，
AC=ADAE=AECE=DE，
∴△ACE≌△ADE(SSS)；
(3)解：由(2)得：△ACE≌△ADE，
∴∠AEC=∠AED，
∵CE⊥BD，
∴∠CED=∠BEC=90°，
∴∠AEC=∠AED=12(360°−∠CED)=12×(360°−90°)=135°，
∴∠AEB=∠AEC−∠BEC=135°−90°=45°，
如图，过点A作AF⊥BD于点F，

则△AFE为等腰直角三角形，
∴EF=AF= 22AE= 22× 2=1，
∴DF=DE+EF=1+1=2，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD= AF2+DF2= 12+22= 5，
即AD的长为 5．
【解析】(1)由直角三角形的性质得∠ABE=90°−∠AOB，∠ACE=90°−∠COE，再由对顶角相得∠AOB=∠COE，即可得出结论；
(2)由等腰三角形的性质得∠ACD=∠ADC，∠ABD=∠ADE，再证∠ECD=∠EDC，则CE=DE，然后由SSS证△ACE≌△ADE即可；
(3)由全等三角形的性质得∠AEC=∠AED，再证∠AEB=45°，过点A作AF⊥BD于点F，则△AFE为等腰直角三角形，得EF=AF=1，然后由勾股定理求出AD的长即可．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．