四川省雅安市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

雅安市2021-2022学年上期期末检测高中一年级

数学试题

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出结果．

【详解】因为

故选：A

2. 设集合，若，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据，由集合A，B有公共元素求解.

【详解】集合，

因为，

所以集合A，B有公共元素，

所以．

故选：D

3. 已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 1或2

【答案】C

【解析】

【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．

【详解】幂函数为偶函数，

，且为偶数，

则实数，

故选：C

4. 若，则的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，把各数与中间值0，1比较即得．

【详解】利用指数函数的单调性知：，即；

利用指数函数的单调性知：，即；

利用对数函数的单调性知：，即；

所以．

故选：C．

5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）

A. 与

B. 与

C. 与

D. 与

【答案】B

【解析】

【分析】根据两个函数的定义域相同且对应关系也相同，逐项判断即可．

【详解】由于函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故A错误；

由于的定义域为，函数且定义域为，所以与是同一函数，故B正确；

在函数中，，解得或，所以函数的定义域为，

在函数中，，解得，所以的定义域为，所以与不是同一函数，故C错误；

由于函数的定义域为，函数定义域为为，所以与不是同一函数，故D错误；

故选：B.

6. （    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用诱导公式和两角和的正弦公式求出结果．

【详解】，

故选：．

7. 函数的一条对称轴是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由余弦函数的对称轴为，应用整体代入法求得对称轴为，即可判断各项的对称轴方程是否正确.

【详解】由余弦函数性质，有，即，

∴当时，有.

故选：B

8. 的值域是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求得的范围，再由单调性求值域．

【详解】因，

所以，又在时单调递增，

所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，

故选：A.

9. 若和都是定义在上的奇函数，则（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可知是周期为的周期函数，以及，，由此即可求出结果.

【详解】因为和都是定义在上的奇函数，

所以，，

所以，所以，

所以是周期为周期函数，

所以

因为是定义在上的奇函数，

所以，

又是定义在上的奇函数，所以，所以，即，

所以.

故选：A.

10. 中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期或战国初年.算筹记数的方法是：个位､百位､万位､…上的数按纵式的数码摆出；十位､千位､十万位､…上的数按横式的数码摆出，如可用算筹表示为.

这个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则的运算结果用算筹表示为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先利用指数和对数运算化简，再利用算筹表示法判断.

【详解】因为，

用算筹记数表示为 ，

故选：.

11. 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于

A 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】试题分析：由于函数与函数 均关于点成中心对称，结合图形以点 为中心两函数共有个交点，则有 ，同理有，所以所有交点横坐标之和为 .故正确答案为D.

考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.

【详解】

12. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，再数形结合得解.

【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，

由可知，当时，函数是周期为1的函数，

如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，

数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，

故函数有两个不同的零点.

故选：A.

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，则____________________.

【答案】7

【解析】

【分析】将两边平方，化简即可得结果.

【详解】因为，

所以,两边平方可得，

所以，故答案为7.

【点睛】本题主要考查指数的运算，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.

14. 若集合，则满足的集合的个数是___________.

【答案】4

【解析】

【分析】求出集合，由即可求出集合的个数．

【详解】因为集合，，

因为，故有元素0，3，且可能有元素1或2，

所以或或或

故满足的集合的个数为，

故答案为：．

15. 若函数，则函数的值域为___________.

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的定义域，进而求出的范围，利用换元法即可求出函数的值域.

【详解】由已知函数的定义域为

又，定义域需满足，

令，因为 ，

所以，

利用二次函数的性质知，函数的值域为

故答案为：.

16. 若，则___________.

【答案】1010

【解析】

【分析】根据题意，求出的解析式，分析可得，据此计算可得答案．

【详解】根据题意，函数，则，

则有；

故；

故答案为：1010．

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知集合.

（1）当时，求；

（2）当时，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求解集合，再根据交集运算求解结果．

（2）讨论当时，，当时，列出不等式组，能求出实数的取值范围．

【小问1详解】

已知集合.

当时，，

【小问2详解】

当即时，，符合题意；

当时，要满足条件，则有，

解得，

综上所述，实数的取值范围

18. 已知函数.

（1）求最小正周期；

（2）当时，求的值域.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据辅角公式可得，由此即可求出的最小正周期；

（2）根据，可得，在结合正弦函数的性质，即可求出结果.

【小问1详解】

解：

所以最小正周期为；

【小问2详解】

，

，的值域为.

19. 已知定义在上的奇函数

（1）求的值；

（2）用单调性的定义证明在上是增函数；

（3）若，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）由是定义在上的奇函数知，由此即可求出结果；

（2）根据函数单调递增的定义证明即可；

（3）根据函数的奇偶性和单调性，可得，解不等式，即可得到结果.

【小问1详解】

解：由是定义在上的奇函数知，

，

经检验知当时，是奇函数，符合题意.

故.

【小问2详解】

解：设，且，则

，故在上是增函数.

【小问3详解】

解：由（2）知奇函数在上是增函数，故

或，

所以满足的实数的取值范围是.

20. 如图所示，正方形边长为分别是边上的动点.

（1）当时，设，将的面积用表示，并求出面积的最大值；

（2）当周长为4时，设，.用表示，由此研究的大小是否为定值，并说明理由.

【答案】（1），   

（2），为定值，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由题意可知，进而可得，由此即可求出结果；

（2）由题意可知， 再根据的周长，化简整理可得，再根据两角和的正切公式即可求出结果.

【小问1详解】

解：设，则，

，

当时，.

【小问2详解】

解：由，

知，

由周长为4，可知，

，

，

而均为锐角，故，

为定值.

21. 降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同､相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点.

（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；

（2）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象.若锐角满足，求的值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用函数的振幅求得，代入求得的值，从而求得函数，利用对称性求得函数；

（2）利用三角函数图像变换求得，由得，利用同角三角函数的基本关系式及两角和与差的三角公式求得结果.

【小问1详解】

解：由振幅为2知，

，代入有，

，而，

而与关于轴对称，

【小问2详解】

由已知，

，

，

而，

故，

.

22. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的-增长函数.

(1)已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；

(2)已知函数，且是区间上的-增长函数，求正整数的最小值；

(3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.

【答案】(1)是，不是，理由见解析；(2)；(3).

【解析】

【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得；

(2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；

(3)根据题设条件，写出函数f(x)的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求.

【详解】(1)g(x)定义域R，，g(x)是，

取x=-1，，h(x)不是，

函数是区间上的增长函数，函数不是；

(2)依题意，，

而n>0，关于x的一次函数是增函数，x=-4时，

所以n2-8n>0得n>8，从而正整数n的最小值为9；

(3)依题意，，而，

f(x)在区间[-a2,a2]上是递减的，则x，x+4不能同在区间[-a2,a2]上，4>a2-(-a2)=2a2，

又x∈[-2a2，0]时，f(x)≥0，x∈[0，2a2]时，f(x)≤0，

若2a2<4≤4a2，当x=-2a2时，x+4∈[0，2a2]，f(x+4)≤f(x)不符合要求，

所以4a2<4，即-1<a<1.

因为：当4a2<4时，①x+4≤-a2，f(x+4)>f(x)显然成立；

②-a2<x+4<a2时，x<a2-4<-3a2，f(x+4)=-(x+4)>-a2，f(x)=x+2a2<-a2，f(x+4)>f(x)；

③x+4>a2时，f(x+4)=(x+4)-2a2>x+2a2≥f(x)，

综上知，当-1<a<1时，为上的增长函数，

所以实数a的取值范围是(-1，1).

【点睛】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；

(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.