四川省眉山市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

眉山市高中2024届第一学期期末教学质量检测

数学试题卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 若全集，，，则集合等于（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】本题首先可以根据题意中给出的条件依次写出、、以及，然后将得出的集合与集合进行对比即可得出结果．

【详解】由题意可知：，，

，，

故选D．

【点睛】本题考查集合的运算，主要考查集合的运算中的交集、并集以及补集，考查计算能力，体现了基础性，是简单题．

2. 函数的最小正周期为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用周期公式求解

【详解】函数的最小正周期为.

故选：C.

3. 若函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由对数的性质知，当真数为1时，对数值一定为0，由此性质求函数图象所过的定点即可.

【详解】当x+3=1时，即x=-2时此时y=0,

则函数（，且）的图象恒过定点（-2,0）

故选A

【点睛】本题考查有关对数型函数图象所过的定点问题，涉及到的知识点是1的对数等于零，从而求得结果，属于简单题.

4. 《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于公元前450年的作品，刻画的是一名强健的男子在掷出铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现把掷铁饼者张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”，经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算雕像两手掌心之间的距离约为（    ）（参考数据：，）

A. 2.945米 B. 2.043米 C. 1.768米 D. 1.012米

【答案】C

【解析】

【分析】先利用弧长公式结合已知条件求出弧所对的圆心角，则两手掌心之间的距离为其所对的弦长

【详解】因为两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.25米，

所以其所对的圆心角，

所以两手掌心之间的距离为（米），

故选：C

5. 设是第三象限角，且，则是（    ）

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

【答案】B

【解析】

【分析】求出的终边所在的象限，由已知可得，即可得出结论.

【详解】因为，

所以，，

若为奇数，可设，则，

此时为第四象限角；

若为偶数，可设，则，

此时为第二象限角.

因为，则，故为第二象限角.

故选：B.

6. 函数的零点所在的区间是（    ）(注：)

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可.

【详解】函数的定义域为，且函数图象是连续的，

因为在上为减函数，在定义域内为增函数，

所以在上为减函数，

因为在上为减函数，

所以在上递减，

所以在上至多只有一个零点，

因为，，

，又，

所以，

所以函数有唯一零点所在的区间为，

故选：B

7. 函数的图象大致是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数的值域即可判断；

【详解】解：根据题意，，其定义域为，

有，为偶函数，函数图象关于轴对称，排除，

又由，则，即的值域为，，因为，所以，排除、，

故选：．

8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用中间量结合对数函数，指数函数的性质及余弦函数的符号问题即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，

，

因为，所以，

所以.

故选：C.

9. 若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】两边平方得，，故选B.

10. 下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是

A f(x)=│cos 2x│ B. f(x)=│sin 2x│

C. f(x)=cos│x│ D. f(x)= sin│x│

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．

【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．

【点睛】利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；

11. 已知函数.若存在，使得，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由可得出，令，其中，由题意可知，实数的取值范围即为函数在上的值域，求出函数在上的值域即可得解.

【详解】由，可得，令，其中，

由于存在，使得，则实数的取值范围即为函数在上的值域.

由于函数、在区间上为增函数，所以函数在上为增函数.

当时，，又，

所以，函数在上的值域为.

因此，实数的取值范围是.

故选：B.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

12. 函数只有一个零点，则实数的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

函数只有一个零点，等价于与图象只有一个交点，作出两个函数的图象，数形结合即可求解.

【详解】函数只有一个零点，

可得只有一个实根，

等价于与图象只有一个交点，

作出两个函数的图象如图所示，

由可得其周期，

当时，

最高点

所以若恰有一个交点，只需要，即，

解得：，又因为，所以，

故选：C

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且．若角的终边上有一点，则x的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数的概念即可直接求出x的值.

【详解】因为，所以，解得.

故答案为：.

14. 已知，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据函数解析式，先求出，从而可得出答案.

【详解】解：因为，

则，

则.

故答案为：.

15. 若偶函数对任意都有，且当时，，则______．

【答案】##0.1

【解析】

【分析】由得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算可得答案.

【详解】因为，所以，

所以周期为6，且为偶函数，当时，，

，

，所以，

根据函数为偶函数，

所以，

即.

故答案为：.

16. 以下关于函数的结论：

①的图象关于直线对称；

②的图象关于点对称；

③在区间上是减函数；

④若对任意都有成立，那么最小值为．

其中正确的结论是______（写出所有正确结论的序号）．

【答案】①③④

【解析】

【分析】利用整体代入的方法即可直接求出函数对称轴，对称中心和单调递减区间，从而可判断①②③；利用函数的周期和最值即可判断④.

【详解】由，所以，所以的图象关于直线对称，故①正确；

由，所以，所以的图象关于点对称，故②错误；

由，得，所以在区间上是减函数，故③正确；

若对任意都有成立，则为函数的最小值，为函数的最大值，

又因为的周期为，所以的最小值为，故④正确．

故答案为：①③④.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据诱导公式化简题干条件，得到，进而求出的值；（2）结合第一问求出的正切值和，利用同角三角函数的平方关系求出正弦和余弦值，进而求出结果.

【小问1详解】

∵

∴，化简得：

∴

【小问2详解】

∵，

∴为第四象限，故，

由得，

故

18. 已知的函数是奇函数．

（1）求a的值；

（2）证明：在上为增函数．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据函数为奇函数可得，从而可得出答案；

（2）任取，利用作差法证明，即可得证.

【小问1详解】

解：∵函数是奇函数且，

∴，即，

，所以；

【小问2详解】

证明：任取，

则

，

∵，

∴，即，又，，

∴，∴，

即，故在上为增函数.

19. 1986年4月26日，一场地震造成乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸并引起大火．这一事故导致约8吨的强辐射物严重泄漏，事故所在地被严重污染．主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为2.47%，经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的8.46%时，事故所在地才能再次成为人类居住的安全区；要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年．设辐射物中原有的锶90有吨．

（1）设经过年后辐射物中锶90的剩余量为吨，试求的表达式，并计算经过800年后辐射物中锶90的剩余量；

（2）事故所在地至少经过多少年才能再次成为人类居住的安全区？（结果保留为整数）

参考数据：，．

【答案】（1），，经过800年后辐射物中锶90的剩余量为吨；（2）事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区．

【解析】

【分析】（1）锶90每年的衰减率为2.47%，即可得到的表达式，然后令t=800代入求解即可；

（2）根据题意列出表达式，两边取对数，结合题目数据进行分析即可求解.

【详解】（1）由题意，得，．

化简，得，．

∴．

∴经过800年后辐射物中锶90的剩余量为吨．

（2）由（Ⅰ），知，．

由题意，得，

不等式两边同时取对数，得．

化简，得．

由参考数据，得．∴．

又∵，∴事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区．

20. 已知函数部分图像如图所示．

（1）求的值；

（2）若现将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再把图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，求当时，函数的值域．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由图可求出函数的周期，从而可求出，由图可得，然后将点代入函数中可求出的值，进而可求得函数解析式，则可求出的值，

（2）根据三角函数图象变换规律求出，再由求出，再由余弦函数的性质可求得的值域

【小问1详解】

由题意得：，

∴，，

当时，，，

∴，令可得：，

又易知，故：，

则，

【小问2详解】

由（1）知：，

由题意得：，

∵，∴，

∴，

故函数的值域为

21. 设函数，．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若函数在区间内有零点，求a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】小问1：讨论对称轴与区间的位置关系，分析函数的单调性即可求解；

小问2：由，分离参数，根据函数的值域即可求解结果．

小问1详解】

解：（1）∵

∴函数的对称轴

①当时，函数在上单调递增

②当时，函数在上单调减的

③当时，

故

【小问2详解】

函数在区间内有零点

方程在区间内有解

方程在区间内有解

令在上单调递增，在上单调递减

函数的值域为∴∴

故a的取值范围

22. 已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1．

（1）求实数a的值；

（2）已知函数的定义域是R，对任意的，都有不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）分，两种情况讨论，结合对数函数的单调性求出函数的最值，从而可得出答案；

（2）由函数的定义域是R，可求得，对任意的，都有不等式恒成立，即恒成立，令且，利用基本不等式求出的最小值即可得解.

【小问1详解】

解：当时，函数在上单调递增，

则，，

由题意得：，解得满足题设，

当时，函数上单调递减，

则，，

由题意得，解得满足题设，

综上或；

【小问2详解】

解：∵函数的定义域是R，

∴对任意不等式恒成立，

，即，∴，

∵对任意的，都有不等式恒成立，

由，得，

∴对任意的，不等式恒成立，

由，得，

令且，则对任意的，不等式恒成立，

因为，当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为1，

∴，又，故实数m的取值范围为.