2023届新高考复习多选题与双空题 专题8数列多选题

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【多选题与双空题满分训练】专题8 数列多选题
2022年高考冲刺和2023届高考复习满分训练
新高考地区专用

1．（2022·江苏江苏·一模）记为等差数列的前项和，则（       ）
A． B．
C．，，成等差数列 D．，，成等差数列
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用等差数列求和公式分别判断.
【详解】
由已知得，
A选项，，，，所以，A选项错误；
B选项，，B选项正确；
C选项，，，，，，则，C选项正确；
D选项，，，，则，D选项正确；
故选：BCD.
2．（2022·江苏南通·模拟预测）若数列是等比数列，则（       ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
【答案】AD
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，利用等比数列的定义结合特例法可判断各选项的正误.
【详解】
设等比数列的公比为，
，则是以为公比的等比数列，A对；
时，，则不是等比数列，B错；
，时，，
此时不是等比数列，C错；
，所以，是公比为的等比数列，D对.
故选：AD．
3．（2022·福建宁德·模拟预测）数列{}中，设.若存在最大值，则可以是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据数列的单调性即可判断.
【详解】
对于A， ，
当n趋于无穷大时， 也趋于无穷大，
故不存在最大值；
对于B， ，
当 为偶数时， ，当为奇数时， ，
故 的最大值为1；
对于C， ，
当 时， ，∴   时 是递增的数列，不存在最大值；
对于D， 即当 时， ， ，
即 时， ，所以 是递减的数列，
最大值为 ；
故选：BD.
4．（2022·福建·模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
运用代入法，结合等差数列的通项公式和前项和公式逐一判断即可.
【详解】
取，则，解得，即A正确；
由A可知，，则，即B正确；
于是有，
因为，且，即C正确；
因为，即D错误.
故选：ABC
5．（2021·山东·模拟预测）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2019a2020＞1，＜0，下列结论正确的是（       ）
A．S2019＜S2020
B．a2019a2021﹣1＜0
C．T2020是数列{Tn}中的最大值
D．数列{Tn}无最大值
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据题意，由等比数列的通项公式可得（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，分析可得q＞0，可得数列{an}各项均为正值，又由＜0可得或，由等比数列的性质分析可得q的范围，据此分析4个选项，综合即可得答案.
【详解】
根据题意，等比数列{an}的公比为q，若a2019a2020＞1，则（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，
又由a1＞1，必有q＞0，则数列{an}各项均为正值，
又由＜0，即（a2019﹣1）（a2020﹣1）＜0，则有或，
又由a1＞1，必有0＜q＜1，则有，
对于A，有S2020﹣S2019＝a2020＞0，即S2019＜S2020，则A正确；
对于B，有a2020＜1，则a2019a2021＝（a2020）2＜1，则B正确；
对于C，，则T2019是数列{Tn}中的最大值，C错误，同理D错误；
故选：AB
6．（2022·海南·模拟预测）在数列中，，数列是公比为2的等比数列，设为的前n项和，则（        ）
A． B．
C．数列为递减数列 D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由已知结合等比数列通项公式可求，进而可求，然后结合单调性定义及数列的求和分别检验各选项即可判断和选择.
【详解】
因为，数列是公比为2的等比数列，所以
所以，故正确，错误；
因为是单调增函数，故是单调减函数，
故数列是减数列，故正确；
，故正确.
故选：.
7．（2022·江苏连云港·模拟预测）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将描述为“个，个，个”，则第五项为，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则的最后一个数字为6 D．若，则中没有数字
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题干中的递推规律，依次分析各项的正误.
【详解】
对于A项，，即“个”，，即“个，个”，，即“个，个”，故，故A项错；
对于B项，，即“2个2”， ，即“2个2”，以此类推，该数列的各项均为22，则，故B项正确；
对于C项，，即“1个6”， ，即“1个1，1个6”， ，即“3个1，1个6”，故，即“1个3，2个1，1个6”，以此类推可知，的最后一个数字均为6，故C项正确；
对于D项，，则，，，，
若数列中，中为第一次出现数字，则中必出现了个连续的相同数字，
如，则在的描述中必包含“个，个”，
即，显然的描述是不合乎要求的，
若或，同理可知均不合乎题意，
故不包含数字，故D项正确.
故选：BCD.
8．（2022·广东茂名·模拟预测）一组数据，，…，是公差为的等差数列，若去掉首末两项，后，则（       ）
A．平均数不变 B．中位数没变 C．极差没变 D．方差变小
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据平均数的概念结合等差数列的性质判断A，由中位数的概念可判断B，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断C，根据极差及等差数列的通项公式可判断D．
【详解】
由题意可知，对于选项A，
原数据的平均数为 ，
去掉，后的平均数为，
即平均数不变，故选项A正确；
对于选项B，原数据的中位数为，
去掉，后的中位数仍为，即中位数没变，故选项B正确；
对于选项C，原数据的极差为，
去掉，后的极差为，
即极差变小，故选项C错误；
对于选项D，设公差为d，则原数据的方差为
，
去掉，后的方差为
，
即方差变小，故选项D正确．
故选：ABD.
9．（2022·山东济宁·二模）已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（       ）
A．中位数不变 B．平均数变小 C．方差变大 D．方差变小
【答案】AC
【解析】
【分析】
由中位数的概念可判断A，根据平均数的概念结合等差数列的性质判断B，由方差计算公式即可判断CD.
【详解】
对于选项A，原数据的中位数为，去掉后的中位数为，即中位数没变，故选项A正确；
对于选项B，原数据的平均数为，去掉后的平均数为即平均数不变，故选项B错误：
对于选项C，则原数据的方差为，
去掉后的方差为，
故，即方差变大，故选项C正确，选项D错误.
故选：AC.
10．（2022·山东临沂·模拟预测）设数列的前项和为，已知．数列满足，则（       ）
A．
B．
C．数列的前项和
D．数列的前项和
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据与的关系，即可求出，利用错位相减法即可求出数列的前项和，据此，逐个选项判断即可得出答案.
【详解】
对于A，因为，所以，当时，，得，
当时，，经检验，当时，不符合，
所以，故A正确；
对于B，因为，得，故B错误；
对于C，数列的前项和①，
②，所以，得，
，得
，故C正确，D错误；
故选：AC
11．（2023·福建漳州·三模）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（       ）．
A．是递增数列 B．是递减数列
C． D．数列的最大项为和
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据，利用二次函数的性质判断D，利用数列通项和前n项和关系求得通项公式判断ABC.
【详解】
解：因为，所以数列的最大项为和，故D正确；
当时，，
当时，由，得，
两式相减得：，
又，适合上式，
所以，故C正确；
因为，所以是递减数列，故A错误，B正确；
故选：BCD
12．（2022·湖南怀化·一模）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（       ）
A． B． C． D．与均为的最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】
结合等比数列的定义利用数列的单调性判断各选项．
【详解】
由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，
又，
，，B正确；
，，即，A正确；
由得，，所以，而，，因此，C错；
由上知，先增后减，与均为的最大值，D正确．
故选：ABD．
13．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，公比为q，则下列命题正确的是(       )
A．若，，则
B．若，则数列是单调递增数列
C．若，，，则数列是公差为的等差数列
D．若，，且，则的最小值为4
【答案】AC
【解析】
【分析】
A：利用等比数列前n项和公式即可计算；B：根据函数单调性即可判断；C：根据等差数列定义即可判断；D：利用基本不等式即可判断．
【详解】
对于A，，故A正确；
对于B，∵，故的单调性由q和共同决定，q>1无法判断数列为递增数列，如，此时数列为递减数列，故B错误；
对于C，∵为常数，∴数列是公差为的等差数列，故C正确；
对于D，若，，则，，
∵，
∴，
即，即，即，
即当时，的最大值为4，故D错误．
故选：AC．
14．（2022·江苏泰州·模拟预测）数列满足，为数列的前n项和，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意求得，得到的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，且首项分别为，由，可判定A错误；求得为奇数和为偶数时，数列的通项公式，可判定B正确；根据为奇数和偶数，求得，可判定C正确；结合时，可判定D错误.
【详解】
由题意，数列满足，可得，
因为，可得，所以，
所以的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，且首项分别为，
对于A中，可得，所以A错误；
对于B中，若为奇数时，可数列的通项公式为；
若为偶数时，可数列的通项公式为，
当为奇数时，，，此时，
当为偶数时，，，此时，
综上可得：，所以B正确；
对于C中，数列为，
可得构成首项为，公比为的等比数列，
当为偶数时，可得，
当为奇数时，可得，
所以C正确；
对于D中，当时，可得，，此时，所以D错误.
故选：BC.
15．（2022·重庆·二模）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（       ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
由条件变形，先求的通项公式，再判断选项
【详解】
由题意得，故是首项为2，公比为2的等比数列，
，则．故B，C正确，A错误
,
,
两式相减得：，故D错误．
故选：BC
16．（2022·广东茂名·模拟预测）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（        ）
A．数列是等比数列
B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为
D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
由可得，，可判断A,B的正误，再求出，可判断C的正误，利用裂项相消法求，可判断D的正误.
【详解】
因为，
所以，，
即，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确，B错误；
所以，即，故C正确；
因为，
所以，
故D错误；
故选：AC.
17．（2022·重庆·二模）设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（       ）
A． B．当时，取得最小值
C． D．当时，的最小值为29
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可.
【详解】
解：根据题意，
由.故A正确；
因为，故当时，，，当时，，当或时，取得最小值，故B正确；
由于，故C正确；
因为，，所以由，可得：，因此n的最小值为，故D错误.
故选：ABC
18．（2022·河北保定·一模）已知数列的前项和为，且满足，，，则下面说法正确的是（       ）
A．数列为等比数列 B．数列为等差数列
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由已知递推式可得或，从而可得数列为公比为3的等比数列，数列为常数列，从而可求出，进而可分析判断
【详解】
根据题意得，令或，所以可得：或，所以数列为公比为3的等比数列，故选项A正确；
数列为常数列，即为公差为0的等差数列，故选项B正确；
所以，且，
解得，所以C错误，
所以



，所以D正确，
故选：ABD．
19．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，，则下列说法正确的有（       ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，3，则是等比数列 D．若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
A选项由递推关系计算可判断；B选项，递推关系变形为，构造一个等比数列，可求出通项公式，从而判断；C选项由递推关系变形出，从而得到判断；D选项，递推关系变形得出是等比数列，从而求得通项公式进行判断．
【详解】
A选项：若，则，即.
又，则，，故A错误.
B选项：若，则，即，
即，则.又，则，
所以是首项为1，公比为的等比数列，则，
即，即，故B正确.
C选项：若，则，即，
则，
所以是公比为的等比数列，故C正确.
D选项：若，则，则，
则，
即.又，则，
所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以，
即，即，故D错误，
故选：BC.
20．（2022·广东·一模）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（       ）
A．
B．为等比数列
C．
D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用递推式可求得 的值，可判断A,B;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C; 将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D;
【详解】
，则 ，又 ，
同理 ，故A正确；
而 ，故不是等比数列，B错误；

，故C错误；

，故D正确，
故选：AD
21．（2022·福建·模拟预测）已知是正项等差数列，其公差为，若存在常数，使得对任意正整数均有，则以下判断不正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用基本不等式可得，结合通项公式可得，从而可得，故可得，故可得正确的选项.
【详解】
由题设可得是无穷正项等差数列，故且，
由基本不等式有，
所以对任意的正整数恒成立，
即对任意的正整数恒成立，
即对任意的正整数恒成立，故且.
而，故，
所以，所以，
故选：ACD
22．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知数列{an}满足，，则（       ）
A．{an}是递增数列 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由递推公式和可判断A，由数列递增和可判断B，由递推公式知可判断C，对递推公式取倒裂项，然后累加、放缩可判断D.
【详解】
因为a1=1，，所以，故A正确；
易知，所以为正整数，又{an}是递增数列，所以，故B正确；
由递推公式得：，又，所以，，，易知，故C不正确；
取倒得，则由累加法得整理得，
又所以
故选：ABD
23．（2022·河北张家口·三模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，则（       ）
A．是等差数列 B．是关于n的二次函数
C．不可能是等差数列 D．“”是“”的充要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据等差数列前项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC，再结合充分条件和必要条件的定义即可判断D.
【详解】
解：由知，，
则，所以是等差数列，故A正确；
当时，不是n的二次函数，故B不正确；
当时，，
则，所以是等差数列，故C不正确；
当时，，故，
，
所以“”是“”的充要条件，故D正确.
故选：AD.
24．（2022·江苏江苏·三模）已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（       ）
A．是等差数列 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A,求出，再将转化为,即可证明，
对于B,利用A的结论求出，再利用基本不等式，即可证明.
对于C，求出，即可判断正误，
对于D，构造函数，即可判断正误
【详解】
，，解得：
时，，
整理得：
故是等差数列，选项A正确；
，则，，选项B正确；
，选项C错误；
令，，
在递增，，则
即，选项D正确；
故选：ABD.
25．（2022·河北保定·一模）已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是（       ）.
A．（）
B．
C．若，则
D．若数列单调递增，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A， 由 ，多写一项，两式相减即可得出答案.
对于B，由 （），多递推一项，两式相减即可得出答案少了条件.
对于C，由分析知，所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，由等差数列得前项和公式即可得出答案.
对于D，因为数列单调递增，根据，即可求出的取值范围.
【详解】
对于A，因为，当，两式相减得：
（）,所以A正确.
对于B，因为（）,所以，
两式相减得：（），所以B不正确.
对于C，，令，则，，因为
，所以.令，则， ，所以.
因为（），而，所以.
所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列.
偶数项是以为首项，2为公差的等差数列.
则：
，所以C正确.
对于D，，令，则，，则
又因为，令则，所以，
同理：，
，
因为数列单调递增，所以，
解得：，
解得：，
解得：，
解得：，
解得：，
所以的取值范围是，所以D不正确.
故选：AC.
【点睛】
本题考查的是等差数列的知识，解题的关键是利用，得出的奇数项、偶数项分别成等差数列，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.
26．（2022·山东日照·二模）已知数列满足，，则下列说法正确的有（       ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
直接计算出即可判断A选项；构造函数函数，由，得到，进而判断B选项；
由得到，再结合累乘法得到，按照等比数列求和公式即可判断C选项；
构造函数，由得到，结合累乘法求得，按照等比数列求和公式即可判断D选项.
【详解】
，则，又，所以，A不正确.
令函数，则，则在上单调递减，在上单调递增，，即，又易得是递增数列，，故，所以，B正确.
易知是递增数列，所以，则，则，即，所以，即，所以，所以，
而当时，则有，C正确.
令函数，则，所以在上单调递减，所以当时，，则，
所以，，，
所以，D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题关键点在于B选项通过构造函数进行放缩得到，结合即可判断；C选项由放缩得到，D选项构造函数得到，再结合累乘法和求和公式进行判断.
27．（2022·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（       ）


A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，则，同时第圈的最后一个点对应坐标为，设在第圈，则圈共有个数，可判断前圈共有个数，所在点的坐标为，向前推导，则可判断A，B选项；当时，所在点的坐标为，即可判断C选项；借助与图可知，即项之和，对应点的坐标为，，…，，即可求解判断D选项.
【详解】
由题，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即 ，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，
设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A正确；
，故B正确；
所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故C错误；
，对应点的坐标为，，…，，所以
，故D正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：观察图形，利用对称性求解问题，对D选项，考虑已知的前项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解.
28．（2022·辽宁·东北育才学校二模）如图所示，正五边形ABCDE的边长为，正五边形的边长为，正五边形的边长为，……，依次下去，正五边形的边长为，记，则下列结论中正确的是（       ）


A．
B．数列是公比为的等比数列
C．数列是公比为的等比数列
D．对任意，
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据正五边形的几何性质可知，根据长度关系列方程解得，再利用正弦定理可求得，通过图形类比归纳的，对于D，注意，利用诱导公式和两角和差公式化简计算．
【详解】
在△，，设
易知△∽△，则，
，则
∵，即，解得
又∵，由正弦定理得，即
∴，A正确；
同理：△∽△，则
即，则
以此类推，，则数列是公比为的等比数列
B正确，C不正确；
∵，则
又∵，则可得：


D不正确；
故选：AB．