2023届新高考复习多选题与双空题 专题11复数多选题

【多选题与双空题满分训练】 专题11 复数多选题

2022年高考冲刺和2023届高考复习满分训练

新高考地区专用

1．（2022·辽宁辽阳·二模）已知复数，，则（       ）

A．

B．

C．

D．在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用复数的加法与模长公式可判断A选项；利用共轭复数的定义以及复数的减法可判断B选项；利用复数的乘法可判断C选项；利用复数的几何意义可判断D选项.

【详解】

对于A选项，，所以，，A错；

对于B选项，，B对；

对于C选项，，C对；

对于D选项，在复平面内对应的点位于第四象限，D对.

故选：BCD.

2．（2022·广东·二模）已知复数z的共轭复数是，，i是虚数单位，则下列结论正确的是（       ）

A． B．的虚部是0

C． D．在复平面内对应的点在第四象限

【答案】BC

【解析】

【分析】

由复数除法求得，得共轭复数，然后再由复数的运算，复数的定义、几何意义判断各选项．

【详解】

由题意，，

，A错；

，虚部是0；B正确

；C正确

，对应点为，在第一象限，D错；

故选：BC．

3．（2022·湖南师大附中二模）设复数，则下列命题中正确的是（       ）

A． B．

C．z的虚部是 D．若，则正整数n的最小值是3

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则和复数的分类，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于A中，由，，

所以，所以A正确；

对于B中，由，则B正确；

对于C中，由，可得z的虚部是，则C错误；

对于D中，由，可得，，

所以，得正整数n的最小值是3，所以D正确.

故选：AD.

4．（2022·河北保定·二模）已知复数z满足方程，则（       ）

A．z可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．z可能为 D．方程各根之积为

【答案】BCD

【解析】

【分析】

解方程，求出或，从而判断四个选项的正误.

【详解】

由，得或，

即或，

解得：或，显然A错误，C正确；

各根之和为，B正确；

各根之积为，D正确

故选：BCD.

5．（2022·广东茂名·二模）已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（       ）

A． B．

C．为纯虚数 D．对应的点位于第三象限

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据已知条件，由其为实数，求得的值，依次计算即可得出结果.

【详解】

因为为实数，所以，解得，

所以，，所以，故A正确，

，故B错误，

因为，所以，故C正确，

因为，所以，其对应的点在第四象限，故D错误．

故选:AC．

6．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）若为复数，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

对于A选项，举例判断，设，，分别计算等号左侧与右侧，即可判断等式是否成立；对于B选项，设，，计算判断即可；对于C选项，设，令，则等号左侧为虚数，右侧为实数，二者不等；对于D选项，设，则，进而计算判断即可.

【详解】

对于A选项，当，时，

，，，

则，故A错误；

对于B选项，当，时，

，

则

，

因为，，

则，故B正确；

对于C选项，若，当时，，

，则，即，故C错误；

对于D选项，设，则，所以，

，即，故D正确；

故选：BD

7．（2022·湖北十堰·三模）已知复数，，则（       ）

A． B．

C． D．在复平面内对应的点位于第二象限

【答案】BC

【解析】

【分析】

直接根据复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义依次判断4个选项即可.

【详解】

由题可知，，A不正确；

，B正确；

，C正确；对应的点在第四象限，D不正确.

故选：BC.

8．（2022·湖南湖南·二模）设复数的共轭复数为，则下列选项正确的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据复数的乘除法、乘方、模的运算可判断A，C，D；根据特殊三角函数值与共轭复数的关系可判断A.

【详解】

对于A，由题可知，所以A正确；

对于B，因为，所以B错误；

对于C，因为，所以C正确；

因为，故D正确.

故选：ACD

9．（2022·江苏·金陵中学二模）复数，则下列选项一定正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据共轭复数的定义，结合复数的四则运算法则逐一判断即可.

【详解】

因为，所以.

A：因为，，所以，因此本选项正确；

B：因为，，所以，因此本选项不正确；

C：因为，，所以，因此本选项正确；

D：因为，

所以，因此本选项不正确，

故选：AC

10．（2022·湖北·一模）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程，它的两个虚数根分别为（       ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】

【分析】

对原方程分解因式，利用求根公式，即可直接求得结果.

【详解】

对于方程，移项因式分解可得：为实数根，

要求虚数根，解方程即可，解得.

故选：.

11．（2022·全国·模拟预测）已知复数z满足，则（       ）

A． B．

C．z的虚部为-i D．复数z在复平面内对应的点位于第三象限

【答案】ABD

【解析】

【分析】

化简复数为，结合共轭复数的概念，复数模和复数的几何意义，逐项判定，即可求解.

【详解】

由题意，可得，则，故A 正确；又由，故B正确；

由复数的虚部为，故C错误；

复数z在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D 正确．

故选：ABD．

12．（2021·重庆·模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（       ）

A．复数的虚部为

B．

C．的最大值

D．的最小值为

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据复数的概念和几何意义即可求解.

【详解】

对于A，由得，虚部为1，故A错误，

对于B，因为，，在复平面内对应的点为，则，

所以，故B正确，

对于C，由题意知，点B在以为圆心，半径为2的圆周上，

根据复数的几何意义，，

所以，，故C正确，

对于D，表示点B与定点的距离，易知点在圆内，所以，故D错误.

故选：BC.

13．（2022·辽宁·模拟预测）已知复数，满足，且在复平面内所对应的点为A，所对应的点为B，则下列结论正确的是（       ）

A．的虚部为2i B．点A在第二象限

C．点B的轨迹是圆 D．点A与点B距离的最大值为

【答案】BC

【解析】

【分析】

A.利用复数的相关概念判断；B.利用复数的几何意义判断；C.利用复数模的模的几何意义判断；D.利用点与圆的位置关系判断.

【详解】

的虚部为2，故A项错误；

点A的坐标为，所以点A在第二象限，B项正确；

由，可知点B的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，故C项正确；

，故D项错误．

故选：BC．

14．（2022·山东潍坊·二模）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．

C．若是纯虚数，那么

D．若在复平面内对应的向量分别为（为坐标原点），则

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用复数除法运算可知A正确；由复数乘法运算和共轭复数定义可知B正确；由纯虚数定义知C正确；由复数的向量表示和模长运算可知D正确.

【详解】

对于A，，A错误；

对于B，，；

又，，B正确；

对于C，为纯虚数，，解得：，C正确；

对于D，由题意得：，，，

，D正确.

故选：BCD.

15．（2022·海南海口·模拟预测）已知复数z及其共轭复数满足，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若为纯虚数，则或 D．若为实数，则或

【答案】AD

【解析】

【分析】

设，由给定条件求出a，b的关系，再逐项分析各个选项的条件，计算判断作答.

【详解】

设，则，，，

对于A，若，则b=0，有，此时z=a，，A正确；

对于B，若，则a=0，有，此时，，B错误；

对于C，若为纯虚数，则，，此时，C错误；

对于D，若为实数，则，有或，此时或，D正确.

故选：AD

16．（2022·山东滨州·二模）欧拉公式（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（       ）

A．复数为纯虚数

B．复数对应的点位于第二象限

C．复数的共轭复数为

D．复数在复平面内对应的点的轨迹是圆

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据纯虚数、共轭复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.

【详解】

解：对A：因为复数为纯虚数，故选项A正确；

对B：复数，因为，所以复数对应的点为位于第二象限，B正确；

对C：复数的共轭复数为，故选项C错误；

对D：复数在复平面内对应的点为，

因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确.

故选：ABD.

17．（2022·重庆·三模）已知复数，则（       ）

A． B．的虚部为-1

C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第一象限

【答案】ABC

【解析】

【分析】

化简得，求出复数的模即可判断选项A和B的真假；求出即可判断选项C的真假；求出即可判断选项D的真假.

【详解】

解：由题得，所以，所以选项A正确；

因为的虚部为-1，所以选项B正确；

由于为纯虚数，所以选项C正确；

在复平面内对应的点为位于第二象限，所以选项D错误.

故选：ABC

18．（2022·广东佛山·二模）关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（　　）

A． B．在复平面上对应的点位于第二象限

C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解

【详解】

所以

故A正确

，则在复平面上对应的点为位于第三象限

故B错误

故C正确

故D正确

故选：ACD

19．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知复数z满足，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（            ）

A．复数z的虚部为 B．

C． D．复数z的共轭复数为

【答案】BC

【解析】

【分析】

先求出复数z，再对四个选项一一验证：

对于A：直接求出复数z的虚部，即可判断；

对于B：直接求出，即可判断；

对于C：直接求出和，即可判断；

对于D：直接求出复数z的共轭复数，即可判断.

【详解】

设复数.

因为，且复数z对应的点在第一象限，

所以，解得：，即.

对于A：复数z的虚部为.故A错误；

对于B：.故B正确；

对于C：因为，所以.故C正确；

对于D：复数z的共轭复数为.故D错误.

故选：BC

20．（2022·全国·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则直接运算即可

【详解】

，，

故B错误；

，

故A正确；

，故C正确；

，，

，

，，

故D错误.

故选：AC.

21．（2022·福建泉州·模拟预测）设为复数，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则或

【答案】AD

【解析】

【分析】

通过反例可说明BC错误；设，，根据模长运算和复数乘法运算可分析得到AD正确.

【详解】

对于A，设，，则，

，即，，A正确；

对于B，令，，则，此时，B错误；

对于C，令，，则，此时，C错误；

对于D，设，，则，

，即，则；

若，则成立，此时；

若，，由知：；由知：；此时；

同理可知：当，时，；

若，，由得：，，此时；

综上所述：若，则或，D正确.

故选：AD.

22．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】

若 ，则， ，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.

【详解】

对于A：

若 ，则，故，

所以A正确；

对于B：

若，则，

所以B正确；

对于C：

设 ，

则 ，故 ，

所以C正确；

对于D：

如下图所示，若 ，，则，，故 ，

所以D错误.

故选：ABC

23．（2021·全国·模拟预测）若复数满足，则（       ）

A． B．

C．在复平面内对应的点在直线上 D．的虚部为

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据复数的基本概念和复数的运算逐项判断即可.

【详解】

设，则，由， 得，

整理得，

所以，解得，.

所以，所以，故选项A错误；

因为，所以，所以，B正确；在复平面内对应的点为，显然在直线上，C正确；

因为，所以的虚部为，D正确.

故选：BCD.

24．（2021·全国·模拟预测）欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.根据欧拉公式，下列说法正确的是（       ）

A．对任意的，

B．在复平面内对应的点在第二象限

C．的实部为

D．与互为共轭复数

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用复数的概念、几何意义、复数的模的概念及共轭复数的含义即得.

【详解】

对于A选项，，A正确；

对于B选项，，而，，故在复平面内对应的点在第二象限，B正确；

对于C选项，，实部为，C错误；

对于D选项，，又，故与互为共轭复数，D正确.

故选：ABD.

25．（2021·广东·模拟预测）下列命题中正确的有（       ）

A．若复数满足，则； B．若复数满足，则；

C．若复数满足，则； D．若复数，则．

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B不正确；取，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.

【详解】

对于A中，设复数，

可得，

因为，可得，所以，所以A正确；

对于B中，取，可得，所以B不正确；

对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；

对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.

故选：AD