中考总复习数学（河北地区）4第四章三角形（前三节+高分突破·微专项5,6）课件

这是一份中考总复习数学（河北地区）4第四章三角形（前三节+高分突破·微专项5,6）课件，共60页。PPT课件主要包含了直线与线段，考点1，角及其平分线，考点2，角平分线，∠BOC，相交线，考点3，垂线段，线段两端点等内容，欢迎下载使用。
考点1 直线与线段考点2 角及其平分线考点3 相交线考点4 平行线考点5 命题
1.两个基本事实(1)直线的基本事实:两点确定一条直线.(2)线段的基本事实:两点之间,线段最短.2.线段的中点及性质如图,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点,即AM=BM= AB.3.线段的和差运算如图,点B是线段AC上一点,则有:AB=①　　-BC; BC=AC②　　AB; AC=AB③　　BC. 4.两点之间的距离:两点间线段的长度叫做两点间的距离.
1.度、分、秒的换算:1°=60',1'=60″,度、分、秒之间的进制是60.2.余角与补角
1.对顶角(如图)(1)对顶角有:∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与∠8.(2)性质:对顶角⑨　　　. 2.三线八角(如图)(1)同位角有:∠1与⑩　　　,∠2与∠6,∠3与⑪　　　,∠4与∠8. (2)内错角有:∠2与⑫　　　,∠3与∠5. (3)同旁内角有:∠3与∠8,∠2与⑬　　　.
3.垂线及其性质(如图)(1)垂线:在两条直线AB和CD相交所成的四个角中,如果有一个角是⑭　　　,我们就说这两条直线互相⑮　　　,记作“AB⊥CD”.其中一条直线叫做另一条直线的⑯　　　,它们的交点O叫做垂足. (2)垂线段:过直线外一点,作已知直线的垂线,该点与垂足之间的线段,叫做该点到该直线的垂线段.(3)点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.(4)垂线的基本性质①在同一平面内,过一点有且只有⑰　　　条直线与已知直线垂直; ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,⑱　　　最短.
(5)线段的垂直平分线
判定一条直线是线段的垂直平分线时,需证明直线上有两点到线段两端点的距离相等,切忌只证明直线上有一个点到线段两端点的距离相等,就说这条直线是线段的垂直平分线.如图,AB=AC,但直线AD不是线段BC的垂直平分线.
2.平行线的判定和性质
同位角㉒　　 两直线平行;内错角相等 两直线㉓　　　; 同旁内角㉔　　 两直线平行.
3.利用平行线求角度时常见的辅助线的作法
在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;两条平行线之间的距离处处相等.
2.互逆命题:如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,那么这两个命题叫做互逆命题.把其中一个命题叫做原命题时,另一个命题就叫做原命题的逆命题.
第二节 三角形及其性质
考点1 三角形的分类考点2 三角形的性质考点3 三角形中的重要线段
命题角度1 三角形的三边关系命题角度2 三角形的内角和外角命题角度3 三角形中的重要线段
例1 [2020山东济宁]已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是　 　　　(写出一个即可).
【思路分析】根据三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边解答即可.
三角形三边关系的应用1.判断三条线段能否组成三角形,只需求两条较短线段的长度之和,若这两条线段的长度之和大于第三边的长度,则这三条线段能组成三角形,否则不能.2.若三角形两条边的长分别为a,b,则第三条边的长c的取值范围是|a-b|a,则周长C=2b+a.2.已知等腰三角形的一个角为α,求顶角或底角的度数时,有三种情况:(1)若α为钝角,则α为顶角,底角的度数为 (180°-α).(2)若α为直角,则α为顶角,且该三角形为等腰直角三角形,底角为45°.(3)若α为锐角,则应分两种情况讨论:①当α为顶角时,底角的度数为 (180°-α);②当α为底角时,顶角的度数为180°-2α.特别注意:无论哪种情况,都要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个角必须满足“三角形的内角和等于180°”.
等边三角形的性质与判定
例2 [2020浙江绍兴]如图,已知边长为2的等边三角形ABC,分别以点A,C为圆心,m为半径作弧,两弧交于点D,连接BD.若BD的长为2 ,则m的值为　　　　.
直角三角形的性质与判定
例3 [2020内蒙古包头]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,BE⊥CD,交CD的延长线于点E.若AC=2,BC=2 ,则BE的长为 (　　)
方法二：过点D作DF⊥BC于点F.
例4 [2019 湖北鄂州]如图,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,点P是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,BP=___________. 
【思路分析】分三种情况讨论: 利用勾股定理或三角函数计算即可. 
解决与直角三角形有关问题的常用方法1.当出现30°角时,应想到30°角所对的直角边是斜边的一半.2.当出现斜边上的中线时,要想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.3.作辅助线构造直角三角形,利用勾股定理或三角函数求线段长或角度.4.利用全等三角形或相似三角形的性质进行转换求相关的量.
高分突破·微专项6 与中点相关的五大模型
例1 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°.在Rt△ADE中,∠AED=90°,点D在线段AB上,点F是线段BD的中点,连接FE,FC,EC.请判断△FEC是不是等边三角形,并说明理由.
【思路分析】方法一(倍长中线法):延长EF到点G,使FG=EF,连接BG,CG,根据条件证明△CBG∽△CAE,可求得∠ECG=90°,∠CEG=60°,最后结合直角三角形斜边中线的性质,可得CF=EF,问题得证.方法二(倍长中线法):延长CF至点H,使FH=CF,连接DH,EH,根据条件证明△EDH∽△EAC,可求得∠CEH=90°,∠ECH=60°,最后结合直角三角形斜边中线的性质,可得CF=EF,问题得证.方法三:(构造直角三角形斜边中线法)取AD的中点M,连接EM,根据条件证明△AEC≌△MEF,得到EC=EF,∠AEC=∠MEF,从而得到∠CEF=60°,问题得证.方法四(构造直角三角形斜边中线法):取AB的中点N,连接CN,根据条件证明△CAE≌△CNF,得到CE=CF,∠ACE=∠NCF,从而得到∠ECF=60°,问题得证.方法五(构造直角三角形斜边中线法):过点D作DP⊥BC,DO⊥AC,垂足分别为点P,O,连接PF,根据条件证明△EDF≌△CPF,得到FE=FC,∠DFE=∠PFC,从而得到∠EFC=60°,问题得证.
解:△FEC是等边三角形.理由如下:方法一(倍长中线法):如图(1),延长EF到点G,使FG=EF,连接BG,CG,易证△EFD≌△GFB,∴BG=DE,∠FBG=∠EDF.易知∠EDA=30°,DE= AE,∠CAE=120°,∴ ,∠FBG=∠EDF=150°,∴∠CBG=150°-30°=120°=∠CAE,∴△CBG∽△CAE,∴∠BCG=∠ACE, ∴∠ECG=∠ECB+∠BCG=∠ECB+∠ACE=90°,∴∠CEG=60°,CF=EF,∴△FEC是等边三角形.
方法二(倍长中线法):如图(2),延长CF至点H,使FH=CF,连接DH,EH,易证△DFH≌△BFC,∴DH=BC= AC,∠HDF=∠B=30°,∴ ,∠EDH=180°-30°-30°=120°=∠EAC,∴△EDH∽△EAC,∴∠DEH=∠AEC, ∴∠CEH=∠CED+∠DEH=∠CED+∠AEC=90°,∴∠ECH=60°,CF=EF,∴△FEC是等边三角形.
方法三(构造直角三角形斜边中线法):如图(3),取AD的中点M,连接EM.∵∠AED=90°,∴EM=AM,又∠EAM=60°,∴△AEM是等边三角形,∴AE=EM,∠AME=60°,∴∠EMF=120°=∠CAE.∵MF=MD+DF= AD+ BD= AB,AC= AB,∴MF=AC,∴△AEC≌△MEF,∴EC=EF,∠AEC=∠MEF,∴∠CEF=∠MEF+∠CEM=∠AEC+∠CEM=∠AEM=60°,∴△FEC是等边三角形.
方法四(构造直角三角形斜边中线法):如图(4),取AB的中点N,连接CN,则CN=AN=BN= AB,又DF=FB= DB,∴NF=NB-FB= (AB-BD)= AD=AE.易证△ACN是等边三角形,∴AC=NC,∠ANC=60°,∴∠CNF=120°=∠CAE,∴△CAE≌△CNF,∴CE=CF,∠ACE=∠NCF,∴∠ECF=∠ECN+∠NCF=∠ECN+∠ACE=∠ACN=60°,∴△FEC是等边三角形.
方法五(构造直角三角形斜边中线法):如图(5),过点D作DP⊥BC,DO⊥AC,垂足分别为点P,O,连接PF,则PF=DF=BF.易证DE=DO=PC,∠FPC=∠FDE=150°,△DFP是等边三角形,∴△EDF≌△CPF,∠DFP=60°,∴FE=FC,∠DFE=∠PFC,∴∠EFC=∠DFP=60°,∴△FEC是等边三角形.
例2 如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E是AB上一点.过点D作BC的垂线,过点E作AC的平行线,两线交于点F.若AC=4,EF=3,求BE的长.
【思路分析】见等腰三角形底边中点,连接顶角顶点与底边中点,利用“三线合一”的性质解题.
解:如图,连接AD.∵AB=AC,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,又DF⊥BC,∴点A,D,F三点共线.∵EF∥AC,∴∠F=∠CAD,∴∠BAD=∠F,∴AE=FE=3,又AB=AC=4,∴BE=4-3=1.
例3 [2019广西桂林]如图,在矩形ABCD中,AB= ,AD=3,点P是AD边上的一个动点,连接BP,作点A关于直线BP的对称点A1,连接A1C,点Q为A1C的中点,点P从点A出发,沿边AD运动到点D时停止,则点Q的运动路径长为　　　　.
【思路分析】第一步(确定点Q的运动情况):连接BA1,取BC的中点O,连接OQ,则OQ是△BCA1的中位线,从而可得OQ= A1B= AB,为定值,故点Q在以点O为圆心、OQ为半径的圆上运动.第二步(确定点Q的运动路径):①确定起点,当点P与点A重合时,点Q所在的位置为起点,易知此时OQ⊥BC;②确定终点,当点P与点D重合时,点Q所在的位置为终点,易知此时∠COQ=30°;③确定点Q的运动路径对应的圆心角.第三步:利用弧长公式求解.