苏教版 (2019)必修 第一册5.3 函数的单调性第2课时随堂练习题

第5章函数概念与性质

5.3　函数的单调性

第2课时　函数的最大(小)值

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.函数f(x)=在[1,+∞)上(　　)

A.有最大值无最小值 

B.有最小值无最大值

C.有最大值也有最小值 

D.无最大值也无最小值

答案A

解析结合函数f(x)=在[1,+∞)上的图象可知函数有最大值无最小值.

2.函数f(x)=-x2+4x-6,x∈[0,5]的值域为(　　)

A.[-6,-2] B.[-11,-2]

C.[-11,-6] D.[-11,-1]

答案B

解析函数f(x)=-x2+4x-6=-(x-2)2-2,x∈[0,5],所以当x=2时,f(x)取得最大值为-(2-2)2-2=-2;当x=5时,f(x)取得最小值为-(5-2)2-2=-11.所以函数f(x)的值域是[-11,-2].故选B.

3.(2020山西太原五中月考)如图是函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象,则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)在[-4,-1]上是减函数,在[-1,3]上是增函数

B.f(x)在(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2

C.f(x)在[-4,1]上有最小值-2,有最大值3

D.当直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点时-1<t<2

答案C

解析对于A,由函数图象可得,f(x)在[-4,-1]上是减函数,在[-1,1]上是增函数,在[1,3]上是减函数,故A错误;

对于B,由图象可得,f(x)在(-1,3)上的最大值为f(1)=3,无最小值,故B错误;

对于C,由图象可得,f(x)在[-4,1]上有最小值f(-1)=-2,有最大值f(1)=3,故C正确;

对于D,由图象可得,为使直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点,只需-1≤t≤2,故D错误.故选C.

4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　)

A.90万元 B.120万元

C.120.25万元 D.60万元

答案B

解析设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.

因为该函数图象的对称轴为直线x=,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元.

5.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1] B.(-∞,0]

C.(-∞,0) D.(0,+∞)

答案C

解析令f(x)=-x2+2x,

则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.

又x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f(2)=0,

∴a<0.

6.若函数f(x)=在区间[1,a]上的最小值为,则a=　　　　　. 

答案4

解析∵f(x)=在区间[1,a]上是减函数,

∴函数f(x)的最小值为f(a)=,∴a=4.

7.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为　　　　. 

答案1

解析函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,x∈[0,1],且函数有最小值-2.

故当x=0时,函数有最小值,

当x=1时,函数有最大值.

∵当x=0时,f(0)=a=-2,

∴f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.

8.画出函数f(x)=的图象,并写出函数的单调区间,函数的最小值.

解函数的图象如图所示.

由图象可知f(x)的增区间为(-∞,0)和[0,+∞),无减区间;

函数的最小值为f(0)=-1.

9.已知函数f(x)=-x2+2x-3.

(1)求f(x)在区间[2a-1,2]上的最小值g(a);

(2)求g(a)的最大值.

解(1)f(x)=-(x-1)2-2,f(2)=-3,f(0)=-3,

当2a-1≤0,即a≤时,f(x)min=f(2a-1)=-4a2+8a-6;

当0<2a-1<2,即<a<时,f(x)min=f(2)=-3.

所以g(a)=

(2)当a≤时,g(a)=-4a2+8a-6是增函数,

所以g(a)≤g=-3.

又当<a<时,g(a)=-3,

所以g(a)的最大值为-3.

关键能力提升练

10.(2020河南郑州高一期中)已知函数f(x)=,其定义域是[-4,-2),则(　　)

A.f(x)有最大值-,最小值-

B.f(x)有最大值-,无最小值

C.f(x)有最大值-,最小值-

D.f(x)有最小值-,无最大值

答案D

解析函数f(x)==-3+.

因为x∈[-4,-2),所以-x∈(2,4],

所以1-x∈(3,5];所以∈,

所以-3+∈-,-,

所以f(x)∈-,-,

所以f(x)有最小值-,无最大值.故选D.

11.(2020四川成都七中高一月考)已知函数f(x)=kx2-4x+8在[5,10]上是减函数,且f(x)在[5,10]上的最小值为-32,则实数k的值为(　　)

A.- B.0

C.0或- D.0或

答案B

解析由函数f(x)=kx2-4kx+8在[5,10]上是减函数可知,当x=10时,函数取最小值,

即100k-40+8=-32,解得k=0.

当k=0时,f(x)=-4x+8,函数是减函数,满足题意.故选B.

12.(2020云南昆明一中期中)已知f(x)=x2-ax+在区间[0,1]上的最大值为g(a),则g(a)的最小值为(　　)

A.0 B. C.1 D.2

答案B

解析f(x)=x2-ax+的开口向上,对称轴为直线x=,①当,即a≤1时,此时函数取得最大值g(a)=f(1)=1-;

②当,即a>1时,此时函数取得最大值g(a)=f(0)=.故g(a)=

故当a=1时,g(a)取得最小值.故选B.

13.(多选)若函数y=ax+1在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是(　　)

A.2 B.-2 

C.1 D.0

答案AB

解析由题意a≠0,当a>0时,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知a=±2.

14.(多选)(2020山东潍坊高一检测)已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是(　　)

A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1

B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值

C.f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5

D.当0<a<1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为f(a),当a>1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为1

答案BCD

解析函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.

对于A,因为f(x)在区间[-1,0]上是减函数,所以f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,故A错误;

对于B,因为f(x)在区间[-1,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=1,又因为f(-1)=5,f(2)=2,f(-1)>f(2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)=5,故B正确;

对于C,因为f(x)在区间[2,3]上是增函数,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,故C正确;

对于D,当0<a<1时,f(x)在区间[0,a]上是减函数,f(x)的最小值为f(a),当a>1时,由图象知f(x)在区间[0,a]上的最小值为f(1)=1,故D正确.故选BCD.

15.(多选)已知函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),下列结论正确的是(　　)

A.∀x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则a<-3

B.∃x∈[0,3],g(x)=a,则-1≤a≤3

C.∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)

D.∃x∈[-2,2],∀t∈[0,3],f(x)=g(t)

答案ABD

解析对于A,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是减函数,所以当x=2时,函数的最小值为-3,因此a<-3,故A正确;

对于B,函数g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],当x=1时,函数g(x)取得最小值-1,当x=3时,函数g(x)取得最大值3,故函数的值域为[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈g(x)的值域,即-1≤a≤3,故B正确;

对于C,∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],故C错误;

对于D,∃x∈[-2,2],∀t∈[0,3],f(x)=g(t)等价于g(t)的值域是f(x)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],故D正确.故选ABD.

16.函数g(x)=2x-的值域为　　　　. 

答案-,+∞

解析设=t(t≥0),则x+1=t2,

即x=t2-1,∴y=2t2-t-2=2t-2-,t≥0,

∴当t=时,ymin=-,

∴函数g(x)的值域为-,+∞.

17.(2020山东菏泽高一月考)设f(x)=x2-2ax+a2,x∈[0,2],当a=-1时,f(x)的最小值是　　　　;若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为　　　　. 

答案1　(-∞,0]

解析当a=-1时,f(x)=x2+2x+1的图象开口向上,对称轴为直线x=-1,所以函数f(x)=x2+2x+1在[0,2]上是增函数,

所以函数的最小值f(x)min=f(0)=1.

若f(0)是f(x)的最小值,说明对称轴x=a≤0,则a≤0,所以a的取值范围为(-∞,0].

18.函数f(x)=2x-的定义域为(0,1](a为实数).

(1)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;

(2)若f(x)>5在定义域上恒成立,求a的取值范围.

解(1)∀x1,x2∈(0,1],且x1<x2,

则有f(x1)-f(x2)=(x1-x2)>0,

即a<-2x1x2恒成立,∴a≤-2.

故a的取值范围为(-∞,-2].

(2)由2x->5(x∈(0,1]),得a<2x2-5x(x∈(0,1])恒成立.∵2x2-5x=2,

∴函数y=2x2-5x在(0,1]上是减函数,

∴当x=1时,函数取得最小值-3,即a<-3.

故a的取值范围为(-∞,-3).

19.(2020河南南阳高一月考)已知二次函数f(x)的图象过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值是.

(1)求f(x)的解析式;

(2)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.

解(1)由题知二次函数图象的对称轴为直线x=,又最小值是,∴可设f(x)=ax-2+(a≠0).

又图象过点(0,4),

则a0-2+=4,解得a=1,

∴f(x)=x-2+=x2-3x+4.

(2)由已知,f(x)>2x+m对x∈[-1,3]恒成立,

∴m<x2-5x+4对x∈[-1,3]恒成立,

∴m<(x2-5x+4)min(x∈[-1,3]).

∵g(x)=x2-5x+4在x∈[-1,3]上的最小值为-,

∴m<-.

故实数m的取值范围为-∞,-.

学科素养创新练

20.(2020浙江台州中学月考)已知函数f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.

(1)求a,b的值;

(2)若不等式f(x)-kx≤0在x∈[2,3]上恒成立,求实数k的取值范围.

解(1)∵f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)的图象开口向上,且对称轴为直线x=1,

∴f(x)在[2,3]上是增函数,

∴

解得

(2)由(1)得f(x)=x2-2x+1,

∴不等式f(x)-kx≤0,即x2-(2+k)x+1≤0在x∈[2,3]上恒成立.

令g(x)=x2-(2+k)x+1,g(x)的图象开口向上,

则要使g(x)≤0在x∈[2,3]上恒成立,

需满足

解得k≥,

∴实数k的取值范围为,+∞.