高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质5.3 函数的单调性第1课时课时训练

第5章函数概念与性质

5.3　函数的单调性

第1课时　函数的单调性

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.下列函数在(0,2)上是增函数的是(　　)

A.y= B.y=2x-1

C.y=1-2x D.y=(2x-1)2

答案B

解析对于A,y=在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;对于B,y=2x-1在R上是增函数;对于C,y=1-2x在R上是减函数;对于D,y=(2x-1)2在-∞,上是减函数,在,+∞上是增函数.故选B.

2.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则 (　　)

A.f(a)>f(2a) 

B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a) 

D.f(a2+1)<f(a)

答案D

解析对于D,因为a2+1>a,f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)<f(a).而对于其他选项,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.

3.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-3] B.[-3,+∞)

C.(-∞,5] D.[3,+∞)

答案A

解析由二次函数的性质知,f(x)的对称轴为直线x=-=1-a,由题意得1-a≥4,解得a≤-3.

故选A.

4.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2)时,f(x)是减函数,则m=　　　　,f(1)=　　　　　. 

答案-8　13

解析∵函数f(x)在区间(-∞,-2)上是减函数,在区间[-2,+∞)上是增函数,

∴x==-2,

∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.

∴f(1)=13.

5.作出函数f(x)=的图象,并指出函数f(x)的单调区间.

解函数f(x)=的图象如图所示.

由图可知,函数f(x)=的减区间为(-∞,1],(1,2],增区间为[2,+∞).

6.证明:函数f(x)=x2-在区间(0,+∞)上是增函数.

证明任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)==(x1-x2)x1+x2+.

∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2+>0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

∴函数f(x)=x2-在区间(0,+∞)上是增函数.

关键能力提升练

7.已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.(0,3) B.(0,3]

C.(0,2) D.(0,2]

答案D

解析依题意得实数a满足解得0<a≤2.

8.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是(　　)

A.(-1,0)∪(0,1) 

B.(-1,0)∪(0,1]

C.(0,1) 

D.(0,1]

答案D

解析f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,

∵f(x)在区间[1,2]上是减函数,∴a≤1.

∵g(x)=在区间[1,2]上是减函数,

∴a>0,∴0<a≤1.

9.(2021吉林汪清第六中学期中)如果f(x)=mx2+(m-1)x+1在区间(-∞,1]上为减函数,则实数m的取值范围为(　　)

A.0, B.0,

C.0, D.0,

答案B

解析当m=0时,f(x)=-x+1,满足在区间(-∞,1]上为减函数;

当m≠0时,由于f(x)=mx2+(m-1)x+1的对称轴为直线x=,且函数在区间(-∞,1]上为减函数,

则解得0<m≤.综上可得,0≤m≤.

故选B.

10.(2020河南陈州高级中学期中)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足<0且f(2)=4,则不等式f(x)->0的解集为(　　)

A.(2,+∞) B.(0,2)

C.(0,4) D.(-∞,2)

答案B

解析由题意,定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足<0,

设g(x)=xf(x),可得<0,所以函数g(x)在(0,+∞)上是减函数.

因为f(2)=4,则2f(2)=8.

不等式f(x)->0,可化为<0,即8-xf(x)<0,即2f(2)-xf(x)<0,

即g(x)>g(2),可得解得0<x<2,

所以不等式f(x)->0的解集为(0,2).故选B.

11.(多选)(2020辽宁大连第一中学高二期末)下列函数在区间(0,1)上是增函数的是(　　)

A.y=|x| B.y=x+3

C.y=|x-2| D.y=-x2+4

答案AB

解析y=|x|在区间(0,+∞)上是增函数,故A正确;y=x+3在区间(-∞,+∞)上是增函数,故B正确;当x∈(0,1)时,y=|x-2|=2-x,则y=|x-2|在区间(0,1)上是减函数,故C错误;y=-x2+4在区间(0,+∞)上是减函数,故D错误.故选AB.

12.(多选)如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论正确的是(　　)

A.>0

B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0

C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)

D.f(x1)>f(x2)

答案AB

解析由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;对于选项C,D,因为x1,x2的大小关系无法判断,则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断,故C,D不正确.故选AB.

13.(多选)(2021山东潍坊高三检测)已知f(x)是定义在R上的增函数,则下列结论错误的有(　　)

A.y=[f(x)]2是增函数

B.y=(f(x)≠0)是减函数

C.y=-f(x)是减函数

D.y=|f(x)|是增函数

答案ABD

解析设f(x)=x,f(x)在R上是增函数.对于A,y=x2在(-∞,0)上是减函数,故A错误.对于B,y=在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但不能说y=是减函数,故B错误.对于C,y=-x上是减函数,下面证明一般性:由于f(x)是定义在R上的增函数,设x1,x2为R上的任意两个值,且x1<x2,则(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0,当y=-f(x)时,(x1-x2)(-f(x1)+f(x2))>0,则y=-f(x)是减函数,故C正确.对于D,y=|x|在(-∞,0)上是减函数,故D错误.故选ABD.

14.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f的实数x的取值范围为　　　　. 

答案-1,

解析由题设得

解得-1≤x<.

15.(2020江西宜丰中学高二开学考试)若函数是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0都有f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x+6)+f(x)<2f(4)的解集为　　　　　　　　. 

答案{x|0<x<2}

解析对一切x>0,y>0都有f(xy)=f(x)+f(y),

所以f(x+6)+f(x)=f[x(x+6)],

2f(4)=f(4)+f(4)=f(4×4)=f(16).

则不等式f(x+6)+f(x)<2f(4)等价于f[x(x+6)]<f(16),

即

解得0<x<2.

故不等式的解集为{x|0<x<2}.

16.已知一次函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)(x+m),且f(f(x))=16x+5.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若g(x)在(1,+∞)上是增函数,求实数m的取值范围.

解(1)由题意设f(x)=ax+b(a>0).

从而f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=16x+5,

所以

解得(不合题意,舍去).

所以f(x)的解析式为f(x)=4x+1.

(2)g(x)=f(x)(x+m)=(4x+1)(x+m)=4x2+(4m+1)x+m,g(x)图象的对称轴为直线x=-.

若g(x)在(1,+∞)上是增函数,则-≤1,解得m≥-,

所以实数m的取值范围为-,+∞.

学科素养创新练

17.已知函数f(x)=,且f=-,f(0)=0.

(1)确定函数的解析式;

(2)用定义法判断函数在区间(-1,1)上的单调性.

解(1)因为f(0)=0,f=-,

所以有解得

所以函数f(x)的解析式为f(x)=.

(2)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=,

因为-1<x1<x2<1,

所以x1-x2<0,x1x2-1<0,1+>0,1+>0,

所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

所以函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数.