精品解析：黑龙江省哈尔滨市道外区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题-A4答案卷尾

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2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．下列各数中，小于﹣2的数是（ ）.
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣4
2．下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
3．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称图形的是（   ）
A． B． C． D．
4．在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是(     )
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．不等式组的解集是（       ）
A．x＞ B．﹣1≤x＜ C．x＜ D．x≥﹣1
7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，则BD＝（　　）

A．5 B．5.5 C．6 D．7
8．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为(       )

A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
9．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．
10．清清从家步行到公交车站台，等公交车去学校.下公交车后又步行了一段路程才到学校. 图中的折线表示清清的行程s(米)与所花时间t (分)之间的函数关系. 下列说法错误的是（        ）

A．清清等公交车时间为3分钟 B．清清步行的速度是80米/分
C．公交车的速度是500米/分 D．清清全程的平均速度为290米/分
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
11．2021年我国考研人数约为320万，将320万这个数用科学记数法表示为______．
12．函数y=中，自变量x的取值范围是_____．
13．分解因式：=_______．
14．计算：_____．
15．使分式与的值相等的x的值为 _____．
16．如图，为的直径，C，D两点在上，，则的度数为______°．

17．一个扇形的面积为2πcm2，半径OA为4cm，则这个扇形的圆心角为_____°．
18．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是______________．
19．已知矩形ABCD，E为CD的中点，F为AB上一点，连接EF，DF，若AB＝4，BC＝2，，则DF的长为______．
20．已知矩形ABCD，点E在AD边上，连接BE、BD，∠BED＝2∠BDC，BE＝25，BC＝32，则CD的长度为______．

三、解答题（本大题共7小题，共60分）
21．先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝2cos45°﹣tan60°．
22．如图，在小正方形的边长均为1的8×8方格纸中，有线段AB和线段CD．点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以AB为斜边的直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为5；
（2）在方格纸中画出以CD为一边的△CDF．点F在小正方形的顶点上，△CDF的面积为4，CF与（1）中画的线段AE所在直线垂直，连接EF，请直接写出线段EF的长．

23．随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善，旅游已成为人们的一种生活时尚，洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动，围绕“在松峰山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中，你最喜欢哪一个？(必选且只选一个)”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了多少名学生？
(2)通过计算补全条形统计图；
(3)若洪祥中学共有1350名学生，请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少名.

24．已知：在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为点O，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF．

(1)如图1，求证：四边形BFDE是菱形；
(2)如图2，当∠ABC＝90°，AE＝OF时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图２中的四条线段，使写出的每条线段长度都等于OE长度的倍．
25．为做好复工复产，某工厂用、两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比型机器人每小时多搬运20千克，且型机器人搬运1200千克所用时间与型机器人搬运1000千克所用时间相等．
（1）求这两种机器人每小时分别搬运多少原料；
（2）为生产效率和生产安全考虑，，两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克原料的搬运，则型机器人至少要搬运多少千克原料？
26．内接于，连接，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在外，，CD∥OB，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在圆周上（若与点位于AB的两侧），连接EB、EC，若，，，求的半径长．
27．如图1，抛物线交轴于、两点（左右），交轴于，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，P为第一象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设点P的横坐标为m，△PCD的面积为S，求S与m的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC交PA于点E，过点O作//，交BC于点F，若PE＝PF，求点P的坐标．

1．D
【详解】
试题分析：根据题意，结合有理数大小比较的法则，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．比﹣2小的数应该是负数，且绝对值大于2的数，分析选项可得，只有D符合．故选D．
考点：有理数大小比较．
2．D
【分析】
根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、单项式除以单项式的法则逐项进行计算即可得.
【详解】
A、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意，
故选D．
【点睛】
本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、单项式除以单项式等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
3．A
【详解】
解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，
A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选A．
考点：轴对称图形和中心对称图形．
4．D
【分析】
对于函数y＝来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．
【详解】
反比例函数y=的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，
所以1－k＜0，
解得k＞1．
故选：D．
【点睛】
本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．
5．D
【分析】
根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【详解】
从上边看第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是一个小正方形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图的知识，俯视图是从上边看得到的图形，考查了学生的观察能力及空间想象能力．
6．A
【分析】
先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可.
【详解】

解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集是.
故选A.
【点睛】
本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点.
7．A
【分析】
连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE＝BC＝4，∠CBE＝60°，从而有∠ABE＝90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．
【详解】
解：连接BE，如图，
∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，
∴∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE＝BC＝4，∠CBE＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，AE＝＝5，
∴BD＝5．
故选：A．

【点睛】
本题是对三角形知识的考查，熟练掌握图像旋转和勾股定理是解决本题的关键.
8．D
【分析】
根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=（海里）
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．
9．C
【分析】
先根据矩形的性质得，由得到,从而得到＝，＝，则可对B、C进行判断；由 得,从而得到＝，则可对A进行判断；由于＝，利用BC＝AD，则可对D进行判断．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝，所以B选项结论正确，C选项错误；
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝
所以A选项的结论正确；
∵BC＝AD
∴＝
所以D选项的结论正确．
故选：C
【点睛】
本题考查矩形的性质，三角形相似的性质，根据图形找见相似的条件是解题的切入点．
10．D
【详解】
试题解析：A. 依题意在第5分钟开始等公交车，第8分钟结束，故清清等公交车时间为3分钟，故选项正确；
B. 依题意得清清离家400米共用了分钟，故步行的速度为80米/分，故选项正确；
C. 公交车(20−8)分钟走了(6400−400)米，故公交车的速度为500米/分，故选项正确.
D. 清清全程6800米，共用时25分钟，全程速度为272米/分，故选项错误；
故选D.
11．
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
12．x≠4．
【分析】
根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【详解】
解：由题意得，x-4≠0，
解得，x≠4，
故答案为x≠4．
【点睛】
本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式分母不为0是解题的关键．
13．4（x+2）（x-2）
【分析】
先提公因式4，然后使用平方差公式因式分解即可．
【详解】
解：原式=4（x2-4）
=4（x+2）（x-2）．
【点睛】
本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键．
14．
【分析】
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】
．       
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．
15．9
【分析】
根据题意得到方程 ，解出即可求解．
【详解】
解：根据题意得：，
去分母得：3(x+1)=2(2x−3)，
解得：x=9，
检验：当x=9时，(2x-3)(x+1)≠0，
∴原方程的解为x=9，
即使分式与的值相等的x的值为9．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
16．150
【分析】
利用圆周角定理可得，根据邻补角即可求解．
【详解】
∵，，
∴，
∴，
故答案为：150．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
17．45
【分析】
根据扇形的面积公式解答即可．
【详解】
解：设扇形的圆心角为n°，
根据扇形的面积公式得，＝2π，
∴n＝45°，
故答案为：45．
【点睛】
本题是对扇形面积的考查，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键.
18．．
【详解】
解：向右平移1个单位所得直线解析式为：；
再向下平移3个单位为：．
故答案为．
【点睛】
本题考查二次函数图象与几何变换．
19．或##或
【分析】
分两种情况：①点F靠近点A时，作FG⊥CD于G，则FG=BC=2，∠FGE=90°，由勾股定理求出GE，由矩形的性质和已知条件得出DG，由勾股定理求出DF的长；②点F靠近点B时，作FG⊥CD于G，则FG=BC=2，∠FGE=90°，同①得出EG=1，得出DG=DE+EG=3，由勾股定理求出DF的长即可
【详解】
分两种情况：
①点靠近点时，如图①所示：

作于，
则，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴
②点F靠近点时，如图②所示：

作于，
则，
同①得出，
∴，
∴；
综上所述：DF的长为或.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键；本题需要分类讨论．
20．24
【分析】
过E作EF⊥BD于F，根据矩形的性质得到∠C=∠ADC=90°，于是得到∠ADB+∠BDC=90°，根据已知条件推出180°-∠AEB=2（90°-∠ADB），得到∠AEB=2∠EDB，根据等腰三角形的性质得到BF=BD，由平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，等量代换得到∠EBF=∠DBC，推出△EBF∽△DBC，根据相似三角形的性质，求得BD=40，由勾股定理即可得到结论．
【详解】
过作于，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：24．

【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，外角的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
21．化简得；求值得．
【分析】
先化简分式，再求出x的值代入进行计算即可．
【详解】
解：原式＝÷
＝
＝，
∵x＝2cos45°﹣tan60°，
∴x＝2×﹣，
当时，原式＝＝．
【点睛】
本题是对分式化简求值的考查，熟练掌握分式的化简求值和特殊的三角函数值是解决本题的关键.
22．（1）答案见解析；（2）答案见解析，.
【分析】
（1）根据题意可知：AB＝，AE＝BE＝，因为，，恰好构成以AB为斜边的直角三角形且面积为5，由此画出图形即可；
（2）根据题意可知：CD＝，以CD为底，高为的三角形面积为4，由此画出图形，根据勾股定理求出EF的长即可．
【详解】
解：（1）如图所示：△ABE即为所求．

（2）如图所示：△CDF即为所求，EF＝．
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，三角形的面积计算，灵活利用数据之间的联系，结合图形解决问题是解题关键．
23．（1）本次调查共抽取了50名学生；（2）补图见解析；（3）估计最喜欢太阳岛风景区的学生有540名．
【详解】
（1）10÷20%=50（名），
（2）50﹣10﹣20﹣12=8（名），补全条形统计图如图所示，

（3）1350×=540（名），
答：估计最喜欢太阳岛风景区的学生有540名．
24．(1)见解析
(2)AB、CD、OB、OD四条线段都等于OE长度的倍

【分析】
（1）证△DOE≌△BOF（ASA）；得出OE=OF，证出四边形EBFD是平行四边形，由EF⊥BD，即可得出结论；
（2）由（1）得OE=OF，∠OBE=∠OBF，证四边形ABCD是矩形，得出∠A=90°，证Rt△BAE≌Rt△BOE（HL），得出AB=OB=OD，∠ABE=∠OBE=∠OBF，证∠ABE=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出AB=AE=OE，即可得出结论．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，，
∴
∵垂直平分BD，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵，
∴四边形BFDE为菱形
(2)
解：AB、CD、OB、OD四条线段都等于OE长度的倍，理由如下：
由（1）得：，
∵，
∴
∵□ABCD中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴。
∴，
∴
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．（1）型机器人每小时搬运120千克原料，型机器人每小时搬运100千克原料；（2）型机器人至少要搬运480千克原料．
【分析】
（1）设B型机器人每小时搬运x千克原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）千克原料，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运1000千克所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A型机器人要搬运m千克原料，则B型机器人要搬运（580-m）千克原料，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合工作时间不能超过5小时，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】
（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料

解得：
经检验，是原方程的解
∴．
答：A型机器人每小时搬运120千克原料，型机器人每小时搬运100千克原料．
（2）设A型机器人要搬运千克原料.

解得：
答：A型机器人至少要搬运480千克原料．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)⊙O的半径长为

【分析】
（1）利用圆的两个半径构成的三角形是等腰三角形，最后用等腰三角形性质即可得出结论；
（2）先判断出∠CFB=90°，进而得出∠OBD=90°，再判断出∠BCD=∠ODB，进而判断出∠CAB=∠CBA，即可得出结论；
（3）先判断出∠ABE=∠AEB，进而判断出△AEM≌△ABN，得出CE-CM=CB+CN，再判断出CM=CN，最后用勾股定理求出BC，即可得出结论．
（1）
如图1，连接OA、OC，

∵OA＝OB＝OC，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
如图2，连接并延长交于，

由（1）知，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
由（1）知，，
∴，
（3）
如图3，连接，过点作于，过点作于，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴；
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴
在中，根据勾股定理得，，
∴
在和中，根据勾股定理得，，
即：，解得或（舍），
∴，
连接OC交AB于,
∴
在中，根据勾股定理得，，
设，在中，，
∴
【点睛】
本题考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形和全等三角形是解本题的关键．
27．(1)
(2)
(3)

【分析】
（1）令a（x+2）（x-5）=0，解得x=-2或x=5，得到A（-2，0），B（5，0），即OA=2，OB=5，再根据5OA=2OC，解得a=-，从而得出抛物线的解析式；
（2）点的横坐标为，则，过点作轴，垂足为，根据求得，根据即可求解；
（3）设PH交BC于点G，连接GD交OF点N，先推出四边形OHGD为矩形，再证明四边形AOND为平行四边形，从而DN=OA=2，设∠APF=2α，∠PEF=∠PFE=90°-α，再证明△PGF≌△NGF，求得，根据建立方程，求得的值，进而即可求解．
（1）
在中，
当时，，
∴，
∴，
此时，
∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）
∵点的横坐标为，则．
如图，过点作轴，垂足为，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）
∵，∴，
如图，设交于点，连接交点，

∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、待定系数法、全等三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用方程的思想思考问题．