2022-2023学年高二数学上学期期末常考题型重点突破12 圆锥曲线中与弦有关的问题

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常考题型12 圆锥曲线中与弦有关的问题

考法一：抛物线的焦点弦问题
1.焦半径与焦点弦：P(，)，Q(，)是抛物线上两动点，F是抛物线的焦点，且PQ过焦点，则线段PF称为抛物线的焦半径，线段PQ称为抛物线的焦点弦。
标准方程




图形




焦半径长
+
-+
+
-+
焦点弦长
++
-（+）+
++
-(+)+
2.解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解。
考法二：圆锥曲线的中点弦问题
点差法求圆锥曲线（以椭圆为例）中点弦所在直线方程的步骤：
①设直线y=kx+b与椭圆的两个交点坐标为A(，)，B(，)，AB的中点M(，)；
②把A，B两点的坐标分别代入曲线方程，则有，；
③将所得两式作差，整理得，则，，从而转化为直线AB的斜率与中点M之间的关系；
④将中点坐标代入、化简。
考法三：圆锥曲线中的弦长问题
设而不求，整体代换
(1)当弦的两端点坐标易求时，可先求出两端点坐标，再用两点间距离公式求解.
(2)若斜率为k的直线与圆锥曲线相交于A(，)，B(，)两个不同的点，则将直线方程与曲线方程联立，消元后得关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，得+，(或+)后，整体代入弦长公式求解；若斜率不存在，则可直接求交点坐标再求弦长.
(3)涉及椭圆或双曲线的焦点弦长注意定义的应用，当直线过抛物线的焦点时，可利用抛物线的焦点弦长公式求解弦长。

探究一：抛物线的焦点弦问题
已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（     ）
A．10 B．14 C．12 D．16
思路分析：
确定抛物线的准线方程，由抛物线定义可得，结合条件可得，结合抛物线的几何性质可得当且仅当A，F，B三点共线时，即可得答案。

【解析】设抛物线的焦点为F，则,焦准距,准线方程为，
根据抛物线的定义得，．
又，所以．
因为，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即，
所以的最大值为12，
故选：C
【答案】C
【变式练习】
1．若抛物线过焦点的弦被焦点分成长为m和n两部分，则m与n的关系式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令过焦点的弦为，与抛物线交点分别为A、B，
联立抛物线整理得：，则，，
故，，
若，，
所以，，故.
故选：C
2．已知抛物线的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论错误的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：

分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.
抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，
由轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，
，则，，得，
A选项正确；
，又，为的中点，则，B选项正确；
，，（抛物线定义），C选项正确；
，，D选项错误.
故选：D.
探究二：椭圆的中点弦问题
过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ）
A． B．
C． D．
思路分析：
由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出的关系即可计算作答。

【解析】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，
则有，两式相减得：，
而，且，即有，
又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，
所以椭圆的方程为.
故选：A
【答案】A
【变式练习】
1．若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设弦被点平分，弦的两个端点,为 ，
则， ，
两式作差变形可得 ,即 ，
而 ，
故，即弦的斜率为-1，
所以弦的方程为 ，即 ，
故选：B.
2．若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】显然点在椭圆内，设点，
依题意，，两式相减得：，
而弦恰好被点平分，即，
则直线AB的斜率，直线AB：，即，
所以所在的直线方程为.
故选：D
探究三：双曲线的中点弦问题
已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ）
A． B． C． D．
思路分析：
设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可。

【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：
设，则，所以，解得，
则，.
弦长|MN|.
故选：D.
【答案】D
【变式练习】
1．直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】设点，，因为AB的中点，则有，
又点A，B在双曲线上，则，即，
则l的斜率，此时，直线l的方程：，
由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，
所以l的斜率为2.
故选：C
2．已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线交双曲线于点、，则，
由已知得，两式作差得，
所以，，即直线的斜率为，
故直线的斜率为，即.经检验满足题意
故选：B.
探究四：抛物线的中点弦问题
已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（   ）
A． B．
C．的面积为 D．
思路分析：
求出抛物线的准线方程，可求得的值，可判断A选项的正误；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得的值，可判断B选项的正误；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断CD选项的正误。

【解析】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确；
因为，所以抛物线的方程为，其焦点为，
又直线，即，所以直线恒过抛物线的焦点，
设点、，因为、两点在抛物线上，
联立方程，两式相碱可得，，
设的中点为，则，
因为点在直线上，解得，
所以点是以为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆的半径.
因为，所以，
解得，故选项B正确；
因为，所以，直线为，即，
由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为，
所以，故选项C错误，D正确.
故选：C.
【答案】C
【变式练习】
1．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：根据题意，设，
所以①，②，
所以，①②得：，即，
因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，
所以，即，
所以抛物线，准线方程为.
故选：B
2．直线与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则的值为（    ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设，由，
消去y得，
由题意得，
∴，.
故选：B
探究五：圆锥曲线中的弦长问题
斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（    ）
A．2 B． C． D．
思路分析：
设直线方程与椭圆方程联立，求得弦长，即可得到最大值。

【解析】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为，
由消去y得，
则，.
∴
，
∴当时，取得最大值，
故选:D.
【答案】D
【变式练习】
1．已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】双曲线C：的一条渐近线方程是，，即左焦点，，，，，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，，由，消去y可得，，
故选：D
2．已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，的延长线交抛物线于点，若，则（    ）
A．5 B． C．10 D．15
【答案】C
【解析】如图，过向准线作垂线，垂足为，设与轴的交点为，
因为，所以，
根据已知条件，结合抛物线的定义，得，又，∴，∴．
故选：C．



一、单选题
1．已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，则下列不正确的是（    ）.
A．椭圆的焦点坐标为， B．椭圆C的长轴长为4
C．直线的方程为 D．
【答案】A
【解析】依题意椭圆C：，
所以，
所以椭圆的焦点坐标为，A选项错误.
椭圆的长轴长为，B选项正确.
设，
则，
两式相减并化简得，
由于是的中点，
所以，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，C选项正确.
消去并化简得，
，
所以，D选项正确.
故选：A
2．已知为椭圆上任意一点，EF为圆的任意一条直径，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意椭圆的下焦点，是圆的直径，
则，
椭圆中，椭圆上的到焦点的距离的最大值为，最小值为，所以的最大值为24，最小值为8．
所以的取值范围．
故选：B．
3．已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点，依题意，，
相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，
又为线段的中点，则，，因此有，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A
4．已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设，，
从而，，
由两式相减可得，，
又因为线段AB的中点为，从而，，
故，即直线AB的斜率为，
直线AB的方程为：，即，
将代入可得，，
从而，，
故.
故选：C.
5．过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若，在同一支上，当时为双曲线的通经，即有；
若，不在同一支上，则．
因为与不可能同时等于6，所以或，
解得或
故选：B
6．已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设、、，则，
两式相减得，所以．
因为，，所以．
因为，，所以，故，
故．
故选：A.
7．已知直线与抛物线相交于两点，若，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，直线不可能与轴平行，设直线的方程为，
由，消去，得，
设，则，
所以，
因为，所以，解得或（舍），

，
当且仅当即时，取的最小值为,
所以的最小值为,
故选：C.
8．过抛物线C：y2=4x的焦点F分别作斜率为k1、k2的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，若|k1·k2|=2，则|AB|+|DE|的最小值为（    ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【解析】抛物线C：y2=4x的焦点F为，直线l1的方程为，
则联立后得到，设，
，，则，
同理设可得：，
因为|k1·k2|=2，所以，
当且仅当，即或时，等号成立，
故选：B
二、多选题
9．椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，满足垂直于轴，且与以为直径的圆相切于点（为坐标原点），则（   ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】不妨设点在第一象限，以为直径的圆的圆心为，如图所示：
当时，由（负值舍去），所以，
因为圆的半径为，是圆的切线，显然是也是圆的切线，
因此有，所以选项B正确；在直角中，
，
由椭圆的定义可知：，显然选项C不正确；
由，
化简得：，
所以，，
，，选项AD正确，
故选：ABD

10．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点和，两焦点为，是上的动点，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点．下列结论正确的是（    ）
A．面积的最大值为2
B．若直线方程为，则点坐标为
C．若点坐标为，则直线方程为
D．的最大值为2
【答案】ACD
【解析】解：设椭圆C方程为，
因为椭圆C过点和，所以，解得
所以，椭圆C方程为，
设，，又，所以当时，，故A正确；
若直线方程为，联立方程得，
设，则，，
故点坐标为，故B选项错误；
设，因为点坐标为，故，
故，进而由点差法知 ，即，
所以直线方程为，即，故C选项正确；
因为，，
所以，
因为，所以，故的最大值为2，D项正确．
故选：ACD
11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点，和，连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，则（    ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有3条
【答案】ABC
【解析】考察选项A，设，由题意可得，，
由题意可得：，
整理可得：，故选项A正确；
考察选项B，可得，，所以，
所以双曲线的离心率，所以选项B正确；
考察选项C，渐近线的方程为：，即，
故圆心为，半径 的圆的圆心到渐近线的距离，
所以选项C正确；
考察选项D，联立方程组，
整理可得，
由于直线l过定点（2，0），在双曲线E的内侧，故l与E必有交点
所以，，
所以弦长，
由题意可得，
整理可得：，
解得：（因为曲线方程中，故时直线与曲线无交点）或，
所以只有两条直线满足条件，所以选项D不正确；
故选：ABC．
12．已知点，为坐标原点，A，B为曲线C：上的两点，F为其焦点.下列说法正确的是（    ）
A．点的坐标为
B．周长的最小值为
C．若P为线段AB的中点，则直线AB的斜率为－2
D．若直线AB过点F，且是与等比中项，则
【答案】BD
【解析】由曲线C：，则焦点为，故A错误；
由曲线C：，可知其准线为，设到准线的距离为，则，

所以周长为，当时，取得最小值，周长取得的最小值为，故B正确；
若P为线段AB的中点，设，则，，
所以，所以，故C错误；
若直线AB过点F，且是与等比中项，则，
设，则，，
∴，
设，代入，得，所以，
∴，即，∴，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．已知抛物线的焦点为，过且被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程______．
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【解析】设直线的方程为，
且直线与抛物线交于，，联立，
可得，所以，
所以，取等号时，
所以抛物线过焦点的弦长最短为，
又因为被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，
所以，所以，取，此时抛物线方程为．
故答案为：（答案不唯一，满足即可）
14．以直线为渐近线，且截直线所得弦长为的双曲线的标准方程是___________.
【答案】
【解析】根据双曲线的一条渐近线为，可设双曲线为()，
将代入双曲线得：，
若直线与双曲线交点为，则，，
则，解得：，
故双曲线的方程为.
故答案为：.
15．已知双曲线，过点作一直线交双曲线于、两点，并使为的中点，则直线的斜率为________．
【答案】
【解析】设点、，则，即，
由已知条件可得，两个等式作差得，
即，即，
所以，直线的斜率为.
故答案为：.
16．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，且，，，则的标准方程为___________；若过点的直线与椭圆交于两点，且点关于点对称，则的方程为___________.
【答案】         
【解析】记椭圆的半焦距为，
根据椭圆的定义可得，，则，
又，则，所以，
则；所以，因此椭圆的方程为；
设，，因为点关于点对称，所以；
由题意可得，两式作差可得，
则，
所以直线的方程为，即.
故答案为：；.
四、解答题(共0分)
17．已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），长轴长为2，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.
【答案】(1)
(2)中点坐标，弦长
【解析】（1）因为椭圆C的焦点为和 ，长轴长为，
所以椭圆的焦点在轴上，.
所以.
所以椭圆C的标准方程.
（2）设，，AB线段的中点为，
由得，
所以，  
所以，，
所以弦AB的中点坐标为，
.
18．已知双曲线过点，给出以下2个条件：
①离心率为2，②与双曲线有相同的渐近线．
(1)选一个条件，求出双曲线的方程．
(2)直线l与直线平行，l被C截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【解析】(1)解：若选①，则，解得，
所以双曲线的方程为；
若选②，设双曲线方程为，依题意可得，即，
所以双曲线的方程为；
(2)解：由题意设直线的方程为，
联立，得．
由，解得或．
设交于，，
则，，
，
解得．
直线的方程为或．
19．已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）设 ，则 ，两式相减得 ，所以 ，又因为为弦的中点,故 ，所以，所以直线的方程为，即，由方程组得，其 ，说明所求直线存在，故直线的方程为.
（2）假设存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，设该直线与双曲线交于C,D两点，设 ，则 ，两式相减得 ，所以 ，又因为为弦的中点,故 ，所以，所以直线的方程为，即，由方程组 ,得 ，根据 ，说明所求直线不存在,故假设不成立，即不存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点.
20．在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且______．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）解：选择条件①，
由抛物线的定义可得，
因为，所以，解得，
故抛物线C的标准方程为．
选择条件②，
因为，所以，，
因为点在抛物线C上，
所以，即，解得，
所以抛物线C的标准方程为．
选择条件③．
当轴时，，所以．
故抛物线C的标准方程为．
（2）解：设，，由（1）知．
由，得，
则，，
所以，
故．
因为点F到直线l的距离，
所以的面积为．