【期中单元知识点归纳】苏教版2019 2023-2024学年高二数学 选修1 第三章 圆锥曲线与方程（知识归纳 题型突破）（试卷）

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第三章 圆锥曲线与方程（知识归纳+题型突破）

1．掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程．
2．会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．
3．掌握简单的椭圆的几何性质．
4．掌握直线与椭圆的位置关系及其应用．
5．了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程．
6．掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形．
7．理解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)．
8．能用双曲线的简单几何性质解决问题．
9．了解抛物线的定义及焦点、准线的概念．
10．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．
11．理解抛物线的简单几何性质．


1．椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
（1）对定义中限制条件“两个定点”的理解
椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆．
（2）对定义中限制条件“常数(大于F1F2)”的理解
条件
结论
2a＞F1F2
动点的轨迹是椭圆
2a＝F1F2
动点的轨迹是线段F1F2
2a＜F1F2
动点不存在，因此轨迹不存在
（3）定义的双向运用
一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．


2．椭圆的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

（1）椭圆标准方程中参数a，b的几何意义
标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状和大小，这是椭圆定形的条件，a，b，c三个量满足a2＝b2＋c2，恰好是一个直角三角形的三条边长，我们把如图所示的直角三角形F2OM称为椭圆的“特征三角形”．椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a，b，c的几何意义．
（2）椭圆的焦点位置
椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
3．与椭圆焦点三角形有关的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．
(2)在焦点三角形MF1F2中，由余弦定理可得F1F＝MF＋MF－2MF1·MF2cos∠F1MF2．
(3)设椭圆上任一点M(xM，yM)，焦点三角形的面积S△F1MF2＝c|yM|＝MF1·MF2·sin∠F1MF2＝b2tan．
4．椭圆的范围、对称性、顶点
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点

(1)椭圆的范围实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．由于椭圆方程中两个非负数的和等1，所以椭圆上任一点的坐标适合不等式≤1，即－a≤x≤a，同理有≤1，即－b≤y≤b，这说明椭圆位于直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形框里．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角三角形，其三边长满足关系式：a2＝b2＋c2．
5．椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．用e表示，即e＝．
(1)椭圆离心率e的取值范围是(0,1)，椭圆的离心率刻画了椭圆的“扁平程度”，离心率e越大，椭圆越扁平，离心率e越小，椭圆越接近于圆．当且仅当a＝b，c＝0时，两个焦点重合，椭圆就变为圆，它的方程为x2＋y2＝a2．
(2)椭圆离心率是焦距与长轴长的比，也可以形象的理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度．由椭圆的定义，椭圆的离心率e一般有以下几种表达方式：
①e＝＝cos α；
②e＝＝；
③e＝＝；
④e＝＝(如图)．

6．直线与椭圆的位置关系及判定
一般，联立直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的方程，得消去y，得一个一元二次方程．
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
__2__
Δ＞0
相切
__1__
Δ＝0
相离
__0__
Δ＜0

7．点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系：
(1)点P在椭圆上⇔＋＝1；
(2)点P在椭圆内部⇔＋＜1；
(3)点P在椭圆外部⇔＋＞1．
8．弦长公式
设直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝|x1－x2|＝·|y1－y2|．
9．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
符号语言：|PF1－PF2|＝常数(常数小于F1F2)．
10．双曲线的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2

(1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
(3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2．所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．




11．直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系的判断
一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将y＝kx＋m代入－＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0．
①当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点．
②当b2－a2k2≠0，即k≠±时，判别式Δ＞0⇔直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式Δ＜0⇔直线与双曲线相离，没有公共点．
(1)双曲线的通径
过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径．对于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，将x＝c代入双曲线的方程可得＝－1＝＝，所以直线x＝c与双曲线的两个交点为A，B，计算得通径长AB＝．同理，可求得双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的通径长也是．
(2)双曲线的焦点弦的最小值
若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径长；若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是2a．
12．双曲线的范围、对称性和顶点
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
性质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a；半虚轴长：b

13．双曲线的渐近线
(1)渐近线
一般地，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两支向外延伸时，与两条直线±＝0逐渐接近，我们把这两条直线叫作双曲线的渐近线．双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交．
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝．

14．双曲线的标准方程与渐近线方程
双曲线的标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


渐近线
直线y＝±x
直线y＝±x
双曲线与渐近线的关系
双曲线在渐近线的左、右两个区域，与渐近线无限靠近但不相交
双曲线在渐近线的上、下两个区域，与渐近线无限靠近但不相交
15．等轴双曲线的性质
(1)方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)；
(2)渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
(3)实轴长和虚轴长相等，离心率e＝．
16．双曲线与椭圆的六个不同点

双曲线
椭圆
曲线
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e＞1
0＜e＜1
a，b，c关系
a2＋b2＝c2
a2－b2＝c2

17．双曲线的离心率
定义
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率
范围
[1，＋∞)

双曲线形状与e的关系
由等式c2＝a2＋b2，得＝＝＝．
因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度．


18．抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
19．抛物线的标准方程
抛物线的标准方程有以下四种不同的形式
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形




焦点坐标




准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
p的几何意义
焦点到准线的距离
20．抛物线的简单几何性质
图形




标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
性
质
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
21．直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切、相交．
22．直线与抛物线位置关系的判断方法
(1)直线的斜率存在时，设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．
①当k＝0时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线只有一个公共点．
②当k≠0时，判别式Δ＞0⇔直线与抛物线相交，有两个公共点；
判别式Δ＝0⇔直线与抛物线相切，有且只有一个公共点；
判别式Δ＜0⇔直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)直线的斜率不存在时，设直线l：x＝m，抛物线：y2＝2px(p＞0)．
显然，当m＜0时，直线与抛物线相离，无交点；
当m＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当m＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点．
23．抛物线的通径
(1)定义：通过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB被称为抛物线的通径，如图所示．
对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A，B，得AB＝2p，故抛物线的通径长为2p．
(2)通径是所有焦点弦中最短的弦．
(3)通径在反映抛物线开口大小上的作用：
抛物线的通径AB(如图所示)的长度为2p，这是常数2p的又一几何意义，所以p越大，通径越长，即抛物线的开口越大；反之，p越小，通径越短，即抛物线的开口越小．


题型一　求椭圆的标准方程
【例1】　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q．


思维升华
1．待定系数法求标准方程的步骤
(1)先确定焦点位置；
(2)设出方程；
(3)寻求a，b，c的等量关系；
(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．易错提醒
当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．　
巩固训练
1．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴的交点为B，若BF2＝F1F2＝2，则该椭圆的方程为(　 )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1

2．过点(－3,2)且与椭圆C：＋＝1有相同焦点的椭圆E的方程是(　 )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1


题型二　椭圆的定义及其应用
【例2】(1)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　 )
A．2　 B．6 C．4 D．12
(2)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　 )
A．5 B．4 C．3 D．1


思维升华　
解决与椭圆焦点三角形有关问题的思路
画出图形，观察图形，充分利用椭圆的定义，正、余弦定理以及三角形的面积公式等来分析解决问题．　　

巩固训练
1．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为(　 )
A．6 B．7 C．8 D．9

2．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若F2A＋F2B＝12，则AB＝________．



题型三　与椭圆有关的轨迹问题
【例3】如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程．


思维升华　
与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法．
1．定义法
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．
2．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(也称相关点法)．　　

巩固训练
1．已知△ABC的两个顶点分别为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则点C的轨迹方程为(　 )
A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0)
C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0)

2．已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．


题型四　根据椭圆方程研究其几何性质
【例4】(1)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　 )
A．5,3,0．8 B．10,6,0．8
C．5,3,0．6 D．10,6,0．6
(2)(多选)已知椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为(　 )
　　　

思维升华　
1．由椭圆方程讨论其几何性质的步骤
(1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个坐标轴上；
(2)由标准形式求出a，b，c，写出其几何性质．
2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系
(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置；
(2)椭圆的范围决定椭圆的大小；
(3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度；
(4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这些点．　　

巩固训练
1．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝(　 )
A． B．2 C． D．4

2．设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．


题型五　根据椭圆的几何性质求其标准方程
【例5】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是．
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．
(3)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．

思维升华　
已知椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤
(1)确定焦点所在的坐标轴，从而确定椭圆标准方程的形式；
(2)由所给的几何性质充分挖掘a，b，c所满足的关系式，建立关于a，b，c的关系式或方程(组)解出a，b的值；
(3)写出椭圆的标准方程．　

巩固训练
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　 )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1

2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是____________．



题型六　求椭圆的离心率
【例6】设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．


思维升华　
求椭圆离心率及范围的两种方法
直接法
若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a．再代入公式e＝求解
方程法
若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围
　　

巩固训练
1．焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　 )
A． B． C． D．

2．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．

题型七　 直线与椭圆的位置关系的判断
【例7】(1)已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　 )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
(2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________．


思维升华　
直线与椭圆的位置关系的判断
判断直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想的运用．　
巩固训练
1．(多选)无论k为何值，直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1交点情况满足(　 )
A．没有公共点 B．一个公共点
C．两个公共点 D．无法确定

2．直线l：y＝kx＋2与椭圆C：＋y2＝1有公共点，则k的取值范围为________．

题型八　弦长及中点弦问题
【例8】过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦AB，若该弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求弦AB的长．
【解析】(1)设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0．
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝．
又M为AB的中点，所以＝＝2，
解得k＝－．故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4x＝0，
所以x1＋x2＝4，x1x2＝0，
所以AB＝·＝·＝2．
思维升华　
1．直线与椭圆相交弦长的求法
(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．
(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．
2．解决椭圆中点弦问题的两种方法
根与系数的关系法
联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决
点差法
利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系
巩固训练
1．(多选)已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a＞b＞0)截得的弦长为8，下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是(　 )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－2 D．y＝－3x

2．已知椭圆＋＝1的弦AB的中点为(－1，－1)，则弦AB的长为(　 )
　　 　

3．直线y＝x＋2交椭圆＋＝1于A，B两点，若AB＝3，则m的值为________．


题型九　利用双曲线的标准方程求参数
【例9】求满足下列条件的参数的值．
(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值；
(2)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，求a的值．




思维升华　
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围．


巩固训练
1．已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是 (　 )
A．k＞5 B．k＞5或－2＜k＜2
C．k＞2或k＜－2 D．－2＜k＜2

2．(多选)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值可以是(　 )
A．1 B．2 C．3 D．4


题型十　求双曲线的标准方程
【例10】根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．


思维升华　
1．求双曲线标准方程时有两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
　　
巩固训练
1．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　 )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1或－＝1
D．－＝0或－＝0

2．以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为____________．

题型十一　求双曲线的离心率
【例11】(1)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的一个端点为B，若△ABF为等腰三角形，则双曲线C的离心率是(　 )
A． B．
C．或 D．1＋
(2)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝1无交点，则C的离心率的取值范围为(　 )
A． B．
C． D．

思维升华　
求双曲线的离心率或其取值范围的思路
(1)求解双曲线的离心率一般有两种方法．
①由条件寻找a，c所满足的等式，常用的公式变形为e＝＝＝，其中a＞0，b＞0．
②依据条件列出含a，c的齐次方程，利用e＝转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e＞1对所得解进行取舍．
(2)求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a．
双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．　

巩固训练
1．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　 )
A． B．
C． D．

2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若双曲线上存在点P使得＝，则该双曲线的离心率的取值范围是____________．

题型十二　求双曲线的标准方程
【例12】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．


思维升华　
求抛物线标准方程的方法
(1)直接法：直接利用题中已知条件确定参数p．
(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件确定参数p．当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．　　


巩固训练
1．已知抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是(　 )
A．y2＝2ax B．y2＝4ax
C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax

2．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是(　 )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝y D．x2＝y


题型十三　由抛物线的几何性质求其标准方程
【例13】求与抛物线y2＝－16x共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程．

思维升华　
求抛物线标准方程的一般步骤是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中p的值，从而求出方程．　　


巩固训练
1．(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
(2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．

题型十四　焦点弦问题
【例14】已知抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．


【拓展】本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．


思维升华　
解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的常用结论
如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是焦点，直线AB的倾斜角为θ，准线l交x轴于点N，过A，B分别作准线l的垂线AC，BD，垂足分别为C，D．连接AN，BN，CF，DF，AO，BO．　　




巩固训练
1．(多选)设抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且AF·BF＝25，则k的值为(　 )
A．1 B．2 C．±2 D．－2

2．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；
(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．