专题16 圆锥曲线中的定值、定点、探索性问题（课时训练）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

专题16 圆锥曲线中的定值、定点、探索性问题

1．（·安徽·合肥市第六中学高二期中）已知抛物线上一点到焦点的距离.

（1）求的方程；

（2）点、在上，且，，为垂足.证明:存在定点，使得为定值.

2．（2021·安徽师范大学附属中学高二期中）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，短轴端点为P，Q，四边形的周长为8，面积为，且离心率，直线l过椭圆C的右焦点且与椭圆C交于M、N两点，其中M点在第一象限．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若分别为直线的斜率，是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．

3．（2021·江苏·常州市第二中学高二月考）已知点，椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点且与轴不垂直的直线椭圆交于、两点，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出直线；若不存在，说明理由．

4．（2021·四川·高二期中（理））已知椭圆：（）的焦距为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

5．（2021·四川·成都七中高三期中（文））已知椭圆的短轴长为，左顶点到右焦点的距离为．

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设直线与椭圆交于不同两点，（不同于），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：经过定点．

6．（2021·全国·高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上点作一条切线与直线相交于点与直线相交于点，证明并判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．

7．（2021·江西·南昌大学附属中学高二期中（理））已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离为2．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率为k的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M，N，且?若存在，请求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．

8．（2021·全国·高二期中）已知椭圆C：，F1(－1，0)，F2(1，0)分别为椭圆C的左，右焦点，M为C上任意一点，的最大值为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）不过点F2的直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点．

（i）若k2＝，且，求m的值；

（ii）若x轴上任意一点到直线AF2与BF2的距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

9．（2021·浙江·嘉兴一中高二月考）已知椭圆：的焦距为8，且椭圆经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于、两点，试问在直线上是否存在一点，使得为正三角形？若存在，求出相应的直线的方程；若不存在，说明理由．

10．（2021·江苏如皋·高二月考）已知椭圆的离心率为，椭圆C的一个顶点是抛物线的焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P（4，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点，在线段AB上一点存在点Q，满足，证明：点Q在一定直线上.

11．（2021·重庆八中高二期中）已知椭圆的离心率为，椭圆与直线相切（有且只有一个公共点）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）为椭圆上一点，射线分别交椭圆于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

12．（2021·全国·高二课时练习）在直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，的最小值为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆：，为椭圆上一点，过点的直线交椭圆于A，两点，且为线段的中点，过，两点的直线交椭圆于，两点，如图．当在椭圆上移动时，四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

13．（2021·河南·高三月考（理））已知椭圆的离心率，其左右焦为为椭圆上任意一点，点到原点的距离的最小值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，且，是否存在这样的直线同时又与圆相切？如果存在﹐直线有几条？如果不存在，请说明理由.

14．（2021·四川·成都七中高二期中（理））已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值，并求的最小值；

（3）如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动．

15．（2021·湖北武汉·高三期中）如图所示，已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的斜率大于0.

（1）当直线AB的斜率为1时，求弦长的长；

（2）已知为x轴上一点，弦AB过抛物线的焦点F，且斜率，若直线PA，PB分别交抛物线于C、D两点，问是否存在实数使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

16．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）已知椭圆的左､右焦点分别为､，点在椭圆上，且，点， 是椭圆上关于坐标原点O对称的两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于Q点），试求的值；

（3）已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

17．（2021·广东·高三月考）已知抛物线，点在抛物线上，且在第一象限，过的切线与轴交于点．

（1）求点的坐标；

（2）直线交抛物线于点，交直线于点，记直线的斜率分别为，求证：．