2022-2023学年高二数学上学期期末常考题型重点突破11 抛物线的标准方程及最值问题

常考题型11 抛物线的标准方程及最值问题

1.抛物线的标准方程

2.抛物线的简单几何性质

考法一：求抛物线的标准方程

1.定义法和待定系数法

若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论.

2.3个注意点

(1)当坐标系已建立时，应先确定抛物线方程属于哪种类型；

(2)注意抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；

(3)注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离.

考法二：利用抛物线的定义解最值问题

与抛物线有关的最值问题的两个转化策略

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决.

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.

探究一：求抛物线的标准方程

已知抛物线C的顶点与坐标原点重合，焦点为.过F且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，若，则l的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【解析】依题意，抛物线C的方程：，显然直线l不垂直于y轴，设其方程为：，

由消去x并整理得：，设，

于是得，而直线l的斜率为正，且，即，有，

即有，则，解得，因此，解得，

所以直线l的方程为：，即.

故选：D

【答案】D

【变式练习】

1．如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为边的中点，抛物线经过，两点，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】由题意，得点的坐标为，点的坐标为，

∵，两点都在抛物线上，∴，

即，即，解得或，

又，∴,

故选:A

2．已知双曲线的离心率，且双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为（    ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】D

【解析】解：根据题意，，可得，

所以双曲线的渐近线方程为，

抛物线的准线方程为，

设准线与抛物线的交点分别为M，N，则，可解得，

同理，

所以，解得.

故选：D．

探究二：利用抛物线的定义解最值问题

已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【解析】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，

则．

又，所以当四边形的面积最小时，最小．

过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，

当点与坐标原点重合时，最小，此时．

故．

故选：C

【答案】C

【变式练习】

1．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知：，；

，，

；

令，则，

，

则当，即时，取最大值，此时.

故选：C.

2．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（    ）

A．3 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离，

根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为，

设圆心C到直线距离为d，，

当时，，

故选：D．

一、单选题

1．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】抛物线的顶点为，焦点为，

设符合题意，则有

，

即，解得，

所以符合条件的点为，

故选：D

2．我们知道，二次函数的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数的图象的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由抛物线知可以看做时抛物线(焦点坐标)先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，故的焦点坐标为

故选：C

3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设抛物线的焦点为，则抛物线的定义可得，解得，

所以抛物线的方程为，

因为点在抛物线上，

所以，得，

所以，

由题意得，双曲线的渐近线方程为，

因为离心率为，所以，

所以，得，

因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，

所以，得，

所以由，得，

所以双曲线的方程为，即，

故选：C

4．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（    ）

A．4 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】由题意，抛物线的准线方程为，

根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，

可得，解得

故选：D.

5．抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，

由到焦点距离等于到准线距离，得，则，

，可得，

故选：A.

6．直线过抛物线的焦点，且平分圆，则该直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】抛物线的焦点为，由于直线平分圆，故直线经过圆心，

所以可得直线经过点和，故斜率，

由斜截式可得方程为：，

故选：B

7．已知抛物线:（其中为常数）过点（1，3），则抛物线的焦点到准线的距离等于（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【解析】由抛物线y＝px2(其中p为常数)过点A(1,3)，可得p＝3，则抛物线的标准方程为x2＝y，

则抛物线的焦点到准线的距离等于.

故选：B

8．已知点F为抛物线的焦点，，点M为抛物线上一动点，当最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由抛物线的对称性，不妨设为抛物线第一象限内点，如图所示：

故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得

当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，

设直线方程为：，

联立，整理得，

其中，解得：，

由为抛物线第一象限内点，则，

则，解得：，

此时，即或

所以点的坐标且

由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为

设双曲线的实轴长为2a，则，

，

又，则，

故渐近线斜率的平方为

故选：B

二、多选题

9．设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（    ）

A．是等边三角形 B．

C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为

【答案】ACD

【解析】根据题意作图，如图所示:

因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，所以，

又，故，A在抛物线上，所以，

所以为等边三角形，故A正确；

因为，则轴，过作于点，则点为的中点，

点的横坐标为，点的横坐标为，所以点A的横坐标为，则，

所以，解得，

则，故B错误；

焦点到准线的距离为，故C正确；

抛物线的方程为，故D正确．

故选：ACD．

10．已知抛物线（）上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的可能取值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】BD

【解析】因为抛物线（）上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，

所以 ，即 ，代入抛物线方程可得，

整理得，解得或,

故选:BD．

11．已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（    ）

A． B．为线段的中点

C． D．

【答案】AB

【解析】解：易知，由题意可得直线的方程为．

由，消去并整理，得，

解得，．

由，得，

∴．

过点作垂直准线于点，易知，

∴，∴．.

∵，∴为线段的中点．

故选：AB．

12．已知点是抛物线C：上一动点，则（    ）

A．C的焦点坐标为 B．C的准线方程为

C． D．的最小值为

【答案】BCD

【解析】由抛物线的方程知，焦点坐标为，准线方程为．故A错误，B正确．

根据抛物线的定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，即，故C正确．

因为，所以

（当且仅当，即时，等号成立），故的最小值为，故D正确．

故选：BCD.

三、填空题

13．与抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是______．

【答案】

【解析】解：因为抛物线的焦点为，

设点关于直线对称的点为，

则有，解得，

所以点关于直线对称的点为.

故答案为：.

14．设抛物线的焦点弦被焦点分为长是的两部分，请写出一个必然满足的恒等式______．

【答案】

【解析】若斜率存在，设为，则过焦点的直线方程为，

联立，可得，

，由抛物线定义可得

．

．

所以．

若斜率不存在，则，符合．

故答案为：

15．已知抛物线：的焦点为，准线为，为上在第一象限的一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴相交于点，若，则______.

【答案】2

【解析】解：如图所示，连接，，设准线与轴交于点，

由题意得，.

∵，分别为，的中点，

∴.

∵垂直于点，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，，

又∵，

∴为等边三角形，

∴，则四边形为矩形，

∴，

∴.

故答案为：

16．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上．在△PAB中，，当m取最小值时，点P恰好在以A，B为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为________．

【答案】

【解析】如图，作垂直于准线于H，∵，∴，根据抛物线的定义有，∴，当m最小时，最小.

故当直线AP与抛物线相切时，PAH最小．易知点A（0，2），设直线AP方程为，联立

，

，．

此时，椭圆中，椭圆离心率．

故答案为：.

四、解答题

17．已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点相同，为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不过点F2的直线l：y＝kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点．若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】(1)

(2)证明见解析，定点坐标为

【解析】（1）由抛物线的方程得其焦点为，则，

当点M为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，则，

所以，

故椭圆的方程为.

（2）联立得，，

，

设，，则，，

，

由题意可得，

，即，

，

解得，

所以直线的方程为，故直线恒过定点，该定点坐标为

18．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4．

(1)求p的值；

(2)过焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，求．

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）由抛物线可得焦点，准线方程为，

又因为抛物线的焦点到其准线的距离为，

所以；

（2）由（1）可得抛物线的方程为，所以焦点，

则直线的方程为设，

联立，整理可得，所以，

由抛物线的性质可得．

19．已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)当时，求直线AB的方程.

【答案】(1)；(2)或

【解析】（1）设圆的圆心坐标为，可得.

易知抛物线的焦点为，准线方程为，

由题意得，

解得（负值舍去），则抛物线C的方程为.

（2）由（1）知，设直线AB的方程为，

与抛物线的方程联立，可得，

，，则，，，

则AB的中点M的坐标为，易知，故，

直线OA的方程为，即，直线OB的方程为，即，

令，可得，，

则，

即，解得，

所以直线AB的方程为，

即或.

20．已知抛物线上的点到其焦点的距离为．

(1)求和的值；

(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．

【答案】(1)，；(2)证明见解析

【解析】（1）解：抛物线的焦点为，准线方程为，

点到其焦点的距离为，则，可得，故抛物线的方程为．

将点的坐标代入抛物线方程可得，解得.

（2）解：由中垂线的性质可得，，，，所以，，

设、，联立消去并整理，得，

则，，且，即，

则．

设线段的中点为，则点的纵坐标为，

所以，点的横坐标为，则．

直线为线段的垂直平分线，所以，直线的方程为．

设、，联立，

消去并整理得，，可得，

则，，

故．

设线段的中点为，则．

，

，，

故，所以，，，

故，故，

所以，点、都在以为直径的圆上，故、、、四点共圆．