第09讲 角平分线常见辅助线的作法（原卷+解析）-2022-2023学年八年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第09讲 角平分线常见辅助线的作法（原卷版）第一部分 典例剖析+针对训练方法一  过角平分线上一点作两边的垂线段典例1（2021春•罗湖区校级期末）如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．针对训练11．（2021秋•北京校级期中）如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD＝DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求证：（1）∠DAB+∠C＝180° （2）BH（AB+BC）方法二 利用“角平分线+垂直”构造全等三角形典例2（2021秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE．求证：BD＝2CE．
针对训练22．（2021秋•惠山区期末）如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　）A．10 B．8 C．6 D．4方法三 借助角平分线的对称性构造全等典例3（2018秋•东胜区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，求证：AB＝AC+CD．针对训练3典例4 如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE是△ABC的角平分线，且交于点O．求证：AC＝AE+CD．（1）补短法构造全等三角形典例．（2019秋•浠水县期中）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定第二部分  专题提优训练1．（2020秋•金昌期末）如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F．若∠CAB＝30°，∠B＝55°，则∠BDE的度数为（　　）A．35° B．40° C．45° D．50°2．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）A．40° B．45° C．50° D．60°3．（2022春•新都区期末）如图，点P在∠AOB的角平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC＝8，则P到OB的距离为（　　）A．4 B．6 C．8 D．104．（2022春•二七区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝20，△ABD的面积为60，则CD长（　　）A．12 B．10 C．6 D．45．（2022春•碑林区校级期末）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（　　）A．1 B．1.5 C．2 D．2.56．（2021秋•木兰县期末）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（　　）A．28 B．14 C．21 D．77．（2020秋•綦江区期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）MN的长不变，（4）四边形PMON的面积不变；其中正确的序号是（　　）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）8．（2016秋•江岸区校级月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为　 　．9．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且，求∠ABC+∠ADC的度数．10．（2019秋•武昌区期中）如图，AE、BD是△ABM的高，AE，BD交于点C，且AE＝BE，BD平分∠ABM．（1）求证：BC＝2AD；（2）求∠MDE的度数． 11．（2010秋•海淀区校级期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB＝2AE．求证：∠B+∠ADC＝180°．12．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求证：BC＝CD．13．（2018秋•万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D＝180°，求证：AE＝AD+BE．14．已知，如图，点B、C分别在射线OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面积等于△PCD的面积求证：OP平分∠AOD．15．如图，△ABD与△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°．（1）求证：△ACD≌△AEB；（2）试判断∠AFD与∠AFE的大小关系，并说明理由．16．（2021春•文登区期末）已知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：AD＝DC．（1）如图1，小明利用圆规，添加辅助线进行证明，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，小明的方法可行吗？请说明理由；（2）请你用与小明不同的方法证明此题．