湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.3 抛物线课时作业

3.3.2　抛物线的简单几何性质

A级必备知识基础练

1.以x轴为对称轴,通径长为8,顶点在坐标原点的抛物线的标准方程是(　　)

A.y2=8x或x2=8y

B.y2=-8x或x2=-8y

C.y2=8x或y2=-8x

D.x2=8y或x2=-8y

2.已知F为抛物线C:x2=4y的焦点,直线l与C交于A,B两点,若AB中点的纵坐标为3,则|AF|+|BF|的值(　　)

A.等于8 

B.等于7

C.等于5 

D.随A,B两点坐标变化而变化

3.(2022北京二中高二月考)抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,则抛物线C的标准方程为(　　)

A.y2=4x B.y2=8x

C.y2=12x D.y2=16x

4.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.0

5.(多选题)平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C,则 (　　)

A.曲线C的标准方程为x2=4y

B.曲线C关于y轴对称

C.当点P(x,y)在曲线C上时,y≥2

D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d≥2

6.如图1是抛物线型拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,建立如图2所示的直角坐标系,则抛物线的标准方程为　　　　　;水面下降1米后,水面宽　　　　　米. 

图1

图2

7.已知抛物线的焦点F在x轴的正半轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积等于4,则抛物线的标准方程为　　　　　. 

8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C与y=2x的一个交点是M(m,2).

(1)求抛物线C的标准方程;

(2)若直线l:y=x+n(n≠0)与抛物线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求n的值.

B级关键能力提升练

9.已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB的中点G的横坐标是(　　)

A. B. C. D.1

10.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M.若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的标准方程为(　　)

A.y2=x B.y2=3x 

C.y2=x D.y2=9x

11.已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠OFM=120°,则|FM|等于(　　)

A.2 B. C.2 D.4

12.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是2,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是(　　)

A.C的准线方程为x=-1

B.线段AB的长度的最小值为4

C.M的坐标可能是(3,2)

D.存在直线l,使得OA与OB垂直

13.抛物线x2=y上到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是　　　　　. 

14.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

(2)若=3,求|AB|.

C级学科素养创新练

15.已知抛物线E的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且直线y=x+1与E相切.

(1)求E的标准方程;

(2)设P为E的准线上一点,过P作E的两条切线,切点为A,B,求证:PA⊥PB.

参考答案

3.3.2　抛物线的简单几何性质

1.C　当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x;

当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=-8x.

所以所求抛物线的标准方程为y2=±8x.故选C.

2.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+y2+p=6+2=8,故选A.

3.B　抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由抛物线的定义以及抛物线上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,可得1--=3,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x.故选B.

4.B　因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0.

因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,最小值为3.故选B.

5.AB　由抛物线定义可知曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其标准方程为x2=4y,曲线关于y轴对称,故A正确,B正确;由x2=4y知y≥0,故C错误;点P到直线l的距离d≥1,故D错误.故选AB.

6.x2=-4y　4　设这条抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由已知抛物线经过点(2,-2),

可得8=-2p×(-2),解得p=2,所以抛物线的标准方程为x2=-4y.

当y=-3时,x2=12,解得x=±2,

所以当水面下降1米后,水面宽4米.

7.y2=4x　由题意,可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则焦点F,0,直线l:x=,|AB|=2p.

因为△OAB的面积为S△OAB=×2p=4,所以p=2.

所以抛物线的标准方程为y2=4x.

8.解(1)由题意可得解得

故抛物线C的标准方程是y2=4x.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得y2-4y+4n=0,Δ=16-16n>0,n<1,

则y1+y2=4,y1y2=4n,从而x1x2==n2.

因为OA⊥OB,

所以=0,

即x1x2+y1y2=n2+4n=0,

又n≠0,所以n=-4.

9.C　如图所示,

由题意可得抛物线的准线m的方程为x=-.

过点G向准线m作垂线,垂足为D,过A,B分别向准线m作垂线,垂足为A',B',则|AA'|+|BB'|=|AB|=2.

因为弦AB的中点为G,

所以|GD|=(|AA'|+|BB'|)=|AB|=1,

所以点G的横坐标是1-,故选C.

10.B　由抛物线定义,|BF|等于点B到准线的距离,

因为|BC|=2|BF|,

所以∠BCM=30°.

又|AF|=3,所以A.

点A在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px(p>0),

解得p=(负值舍去).

故抛物线的标准方程为y2=3x.故选B.

11.D　抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,

设点M的坐标为,y,

∵∠OFM=120°,

∴>1,

∴|y|=-1,

整理得y2-4|y|-4=0.

解得|y|=2(负值舍去),

∴|FM|==4.

故选D.

12.ABC　由已知可得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x,

则点F(1,0),准线的方程为x=-1,故A正确;

当AB⊥x轴时,AB的长度取最小值,令x=1,代入抛物线方程解得y=±2,

所以AB的长度的最小值为4,故B正确;

设直线l的方程为x=my+1,A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),

将x=my+1代入抛物线方程可得y2-4my-4=0,Δ=16(m2+1)>0,则yA+yB=4m,所以xA+xB=m(yA+yB)+2=4m2+2,xM=2m2+1,

当m=1时,可得M(3,2),故C正确;

因为yAyB=-4,所以xAxB=1,所以=xAxB+yAyB=1-4=-3,所以≠0,故D错误.

故选ABC.

13.(1,1)　设抛物线y=x2上一点为A(x0,),

点A(x0,)到直线2x-y-4=0的距离d=|(x0-1)2+3|,

当x0=1时,抛物线x2=y上一点到直线2x-y-4=0的距离最短,此时点A的坐标为(1,1).

14.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).

(1)由题设得F,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+.

又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=.

联立可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,Δ=144(t-1)2-144t2=144(1-2t)>0,t<,

则x1+x2=-.

从而-,得t=-.

所以l的方程为y=x-.

(2)由=3可得y1=-3y2.

联立可得y2-2y+2t=0,Δ=4-8t>0,t<,

所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,

故y2=-1,y1=3.

代入C的方程得x1=3,x2=,

即A(3,3),B,-1.

故|AB|=.

15.(1)解依题意可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),与直线y=x+1联立,可得x2+(2-2p)x+1=0,由Δ=(2-2p)2-4=0,解得p=2(p=0舍去).所以抛物线的标准方程为y2=4x.

(2)证明易知过点P的两条切线斜率存在且不为0,设P(-1,m),切线的方程为y-m=k(x+1),与y2=4x联立,可得ky2-4y+4k+4m=0,

由Δ=0,即16-16(k+m)k=0,整理得k2+km-1=0,

易知方程有两个不相等的实数根,设为k1,k2,

所以k1k2=-1,即PA⊥PB.