湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用课后练习题

3.5　圆锥曲线的应用

A级必备知识基础练

1.开普勒发现了行星运动三大定律,其中开普勒第一定律又称为轨道定律,即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C,在地球绕太阳运动的过程中,若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为λ,则C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

2.若某卫星运行的轨道是以地心为一个焦点的椭圆,该卫星近地点离地面的距离为m km,远地点离地面的距离为n km,地球的半径为R km,则通信卫星运行轨道的短轴长等于(　　)

A.2 B.

C.2mn D.mn

3.如图所示,沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=2px(p>0)反射后,与x轴相交于点A(2,0),则p=　　　　　. 

4.某校兴趣小组运用计算机对轮船由甲地海湾行驶入乙地海湾进行了一次模拟试验.如图,乙地海湾的入口处有暗礁,其中线段AA1,B1B,CC1,D1D分别关于坐标轴或原点对称,线段B1B的方程为y=x,x∈[a,b],b>a>0,过O有一条航道.有一艘正在甲地海湾航行的轮船准备进入乙地海湾,在点M-a,0处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点Na,0处晚1 s(设海面上声速为a m/s).若该船沿着当前的航线航行(不考虑轮船的体积),则兴趣小组观察到轮船当前航线所在的轨迹是什么?

B级关键能力提升练

5.如图所示,一圆柱被与底面成θ0<θ<角的平面所截,其截口是一个椭圆,则这个椭圆的离心率为(　　)

A.sin θ B.cos θ 

C.1-sin θ D.1-cos θ

6.如图为一个抛物线型拱桥,当水面经过抛物线的焦点时,水面的宽度为36 m,则此时欲经过桥洞的一艘宽12 m的货船,其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过(　　)

A.6 m B.6.5 m C.7.5 m D.8 m

7.某市进行科技展览,其中有一个展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成(小孔在椭圆的左上方).如图,椭圆与抛物线均关于x轴对称,且抛物线的顶点和椭圆的左顶点都在坐标原点,F1,F2为椭圆C2的焦点,同时F1也为抛物线C1的焦点,其中椭圆的短轴长为2,在F2处放置一个光源,其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2经过的路程为8.由F2处的光源照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔,再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住.

(1)求抛物线C1的标准方程;

(2)若由F2处的光源发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔,再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切,求此时的线段QF1的长;

(3)在(2)的条件下,求线段PQ的长.

C级学科素养创新练

8.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M0,为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;

(2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A,B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?

参考答案

3.5　圆锥曲线的应用

1.C　设椭圆C的焦距为2c,长轴长为2a,根据题意可得地球与太阳的最远距离为a+c,最近距离为a-c,则=λ,易知λ≠-1,解得,即C的离心率为.

故选C.

2.A　由题意得n+R=a+c,m+R=a-c,可得a=,c=,则2b=2=2.故选A.

3.4　∵沿直线y=-2发出的光线经抛物线反射后的光线经过抛物线的焦点,

∴抛物线的焦点坐标是(2,0),∴p=2×2=4.

4.解设轮船所在的位置为点P,由题意可得|PM|-|PN|=a.

∵a<|MN|=a,∴点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支.

设所求双曲线的标准方程为=1(m>0,n>0),则m=a,n==a.

故兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是=1x≥a.

所以兴趣小组观察到轮船当前航线所在的轨迹是双曲线的一支.

5.A　设圆柱的底面直径为d,∵截面与底面成θ角,

∴椭圆的短轴长2b=d,椭圆的长轴长2a=,

根据c=得,椭圆的半焦距c=,则椭圆的离心率e==sinθ.故选A.

6.D　根据题意,画出抛物线如图所示:

设宽度为36m时与抛物线的交点为A,B,宽度为12m时与抛物线的交点为C,D.

当水面经过抛物线的焦点时,宽度为36m,由抛物线性质可知2p=36,则抛物线的标准方程为x2=-36y,则A(18,-9).当宽度为12m时,设C(6,a),代入抛物线方程可得62=-36a,解得a=-1.所以直线AB与直线CD之间的距离为h=(-1)-(-9)=8,即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过8m,故选D.

7.解(1)设椭圆C2的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,

由题可知,2b=2,4a=8,则b=,a=2,所以c=1.

故抛物线C1的焦点F1(1,0),所以抛物线C1的标准方程为y2=4x.

(2)由题可设Q(m,),代入抛物线的方程可得m=,即Q,

所以|QF1|=.

(3)由(2)可知直线QF1的斜率为=-4,

即tan∠QF1F2=-4,

由∠QF1F2+∠PF1F2=π,得tan∠PF1F2=4.

又∠PF1F2∈(0,π),

所以cos∠PF1F2=.

设|PF1|=m,则|PF2|=4-m,易知|F1F2|=2,

所以由余弦定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|cos∠PF1F2,

即(4-m)2=m2+4-2m·2·,

解得m=,

故线段PQ的长为.

8.解(1)由题意,设抛物线的方程为y=-ax2+(a>0),

因为抛物线经过点D(8,0),所以-64a+=0,解得a=.

联立

得4y2-7y-36=0,解得y=4或y=-(舍去),得x=6或x=-6(舍去),

故航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程为y=-x2+(6≤x≤8).

(2)设变轨点为C(x,y),由(1)知C(6,4),则|AC|=2,|BC|=4,

故观测点A,B测得离航天器的距离分别为2和4时,应向航天器发出变轨指令.