数学2.7 用坐标方法解决几何问题课后测评

2.7　用坐标方法解决几何问题

A级必备知识基础练

1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是(　　)

A.x2+y2=25

B.x2+y2=25(y≥0)

C.(x+5)2+y2=25(y≤0)

D.随建立直角坐标系的变化而变化

2.在平面内,A,B是两个定点,C是动点,若=2,则点C的轨迹为(　　)

A.椭圆 B.射线 C.圆 D.直线

3.已知等腰三角形ABC其中一腰的两个端点分别是A(4,2),B(-2,0),|AB|=|AC|,则另一腰的一个端点C的轨迹方程是(　　)

A.x2+y2-8x-4y=0

B.x2+y2-8x-4y-20=0(x≠-2,x≠10)

C.x2+y2+8x+4y-20=0(x≠-2,x≠10)

D.x2+y2-8x-4y+20=0(x≠-2,x≠10)

4.(2022四川内江第六中学高二月考)当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)相连,线段PQ的中点M的轨迹方程是(　　)

A.(x-3)2+y2=1

B.(2x-3)2+4y2=1

C.(x+3)2+y2=4

D.(2x+3)2+4y2=4

5.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)

A.π B.4π C.8π D.9π

6.过点A(8,0)的直线与圆x2+y2=4交于点B,则线段AB中点P的轨迹方程为　. 

7.已知:四边形ABCD,|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2.

求证:AC⊥BD.

B级关键能力提升练

8.在直角三角形ABC中,D是斜边AB的中点,P为线段CD的中点,则=(　　)

A.2 B.4 C.5 D.10

9.在△ABC中,D为BC边上任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.则△ABC为(　　)

A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.以上都不对

10.已知圆C:x2+y2-8x-6y+16=0,过点P(4,1)的直线与圆C交于点M,N,线段MN的中点为Q.则点Q的轨迹方程为　　　　　　　　　　. 

11.正方形ABCD与点P在同一平面内,已知该正方形的边长为1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,则|PD|的取值范围为　. 

12.如图,已知点A,B,C共线,△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用坐标法证明:|AE|=|CD|.

13.(2022四川成都云教联盟高二联考)(1)已知AD是△ABC边BC的中线,用坐标法证明:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).

(2)已知动点C与两个定点A(0,0),B(3,0)的距离之比为,若△ABC边BC的中点为D,求动点D的轨迹方程.

C级学科素养创新练

14.一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

参考答案

2.7　用坐标方法解决几何问题

1.D　由于建立的平面直角坐标系不同,因此该半圆的方程也不同,故选D.

2.C　以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,

设A(-a,0),B(a,0),C(x,y),则=(x+a,y),=(x-a,y).

由=2,得(x-a)(x+a)+y2=2,即x2+y2=a2+2,所以点C的轨迹为圆.

3.B　设C(x,y),由|AB|=|AC|,得(4+2)2+(2-0)2=(x-4)2+(y-2)2,

即x2+y2-8x-4y-20=0.又点B与点C不重合且B,C,A不共线,所以x≠-2,x≠10.故选B.

4.B　设线段PQ的中点M(x,y),点P与定点Q(3,0)相连,则P(2x-3,2y).点P在圆x2+y2=1上变动时,线段PQ的中点M的轨迹方程是(2x-3)2+4y2=1.故选B.

5.B　设P点的坐标为(x,y),因为两定点A(-2,0),B(1,0),且动点P满足|PA|=2|PB|,则(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得(x-2)2+y2=4,

所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π.故选B.

6.(x-4)2+y2=1　设点P的坐标为(x,y),点B为(x1,y1),由题意,结合中点坐标公式可得x1=2x-8,y1=2y,故(2x-8)2+(2y)2=4,化简得(x-4)2+y2=1.

即线段AB中点P的轨迹方程为(x-4)2+y2=1.

7.证明如图,以AC所在的直线为x轴,过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系.

设顶点坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(x,y),

∵|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2,

∴a2+b2+(x-c)2+y2=b2+c2+(x-a)2+y2,

化简得(a-c)x=0.∵a≠c,即a-c≠0,

∴x=0,即D在y轴上,∴AC⊥BD.

8.D　以直角三角形的直角顶点C为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),设B(a,0),A(0,b),则D,P.

则=10.

故选D.

9.A　如图所示,作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.

设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0)(b<d<c).

因为|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,

所以b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),

所以-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).

又因为d-b≠0,所以-b-d=c-d,

即-b=c,所以|OB|=|OC|.

又AO⊥BC,故△ABC为等腰三角形.

10.(x-4)2+(y-2)2=1　(1)由圆C:(x-4)2+(y-3)2=9方程可知(4-4)2+(1-3)2=4<9,

故点P(4,1)在圆C内.

∵弦MN过点P,Q是MN的中点,

则CQ⊥MN,∴点Q的轨迹是以CP为直径的圆,线段CP的中点为(4,2),

故其方程为(x-4)2+(y-2)2=1.

11.[2-,2+]　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.

则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).

设点P(x,y),则由|PA|2+|PB|2=|PC|2,得x2+y2+(x-1)2+y2=(x-1)2+(y-1)2,整理得x2+(y+1)2=2,即点P的轨迹是以点M(0,-1)为圆心,为半径的圆.

圆心M到点D的距离为|MD|=2,所以|PD|min=2-,|PD|max=2+,

所以|PD|的取值范围是[2-,2+].

12.证明如图,以点B为坐标原点,直线AC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.

设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,

则A(-a,0),C(c,0),D-a,E,

∴|AE|=,|CD|=,

∴|AE|=|CD|.

13.解(1)以BC边为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.

不妨设A(x,y),B(-b,0),C(b,0),其中b>0,

所以|AB|2+|AC|2=(x+b)2+y2+(x-b)2+y2=2(x2+y2+b2),2(|AD|2+|DC|2)=2(x2+y2+b2),故|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).

(2)设C(m,n),由,

则点C的轨迹方程为m2+n2+6m-9=0(m≠±3-3或n≠0).

设D(x,y),则C(2x-3,2y),将C(2x-3,2y)代入m2+n2+6m-9=0,

可得(2x-3)2+(2y)2+6(2x-3)-9=0,

整理得x2+y2=.

14.解以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示),

其中取10km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9,

港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),

则轮船航线所在直线l的方程为=1,即4x+7y-28=0,

圆心(0,0)到航线4x+7y-28=0的距离d=,而半径长r=3,

因为>3,所以直线与圆相离.

故这艘轮船不改变航线,不会受到台风的影响.