高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.7 用坐标方法解决几何问题说课课件ppt

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求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法:根据已知条件,直译为关于动点间的几何关系,再利用解析几何有关公 式(两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简,即把这种关系 “翻译”成含x,y的等式.(2)定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设方程,再确定其中的基本量,求 出动点的轨迹方程.(3)相关点法:有些问题中,动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动
求解与圆有关的轨迹问题  
点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的, 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动 点的轨迹方程.
 典例　已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC中点M的轨迹方程.
解析    (1)解法一:设C(x,y),由题意可知AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,所以AC,BC 所在直线的斜率存在,且y≠0,又kAC= ,kBC= ,所以 · =-1(y≠0),化简得x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).解法二:设C(x,y),由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化简得x2 +y2-2x-3=0,又A,B,C三点不共线,所以y≠0,即x≠3且x≠-1.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).解法三:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0).由直角三角形的性质知,|CD|= |AB|=2.
由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共 线,所以应除去与x轴的交点).设C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1).(2)设点M(x,y),点C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,所以由中点坐标公式得x= ,y= ,于是有x0=2x-3,y0=2y.由(1)知点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1)上,将C(x0,y0)代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1).因此,动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1).
  　通过直线与圆的方程和位置关系在实际问题中的应用培养数学运
算和数学建模的核心素养　　通过建立平面直角坐标系写出直线和圆的方程,将实际问题转化为坐标运 算,体现了数学建模的核心素养.通过代数式的变形研究不等式或最值问题,体现 了数学运算的核心素养.
 例题　如图1,某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2 m的圆柱形花柱,四周斑马线的内侧连线构成边长为20 m的正方形.因工程需要,测量员将使用仪器沿 斑马线的内侧进行测量,其中仪器P的移动速度为1.5 m/s,仪器Q的移动速度为1 m /s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡,则称仪器Q在仪器P的“盲区”中. (1)如图2,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD,仪器P在点A处,仪器Q在BC上且距 离点C 4 m处,试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中,并说明理由;(2)如图3,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD,仪器P从点A出发向点D移动,同时
仪器Q从点C出发向点B移动,在这个移动过程中,仪器Q在仪器P的“盲区”中的 时长为多少?  
信息提取    仪器Q在仪器P的“盲区”中要满足P,Q的连线与圆有公共点,即相交或相切.
解题思路    (1)仪器Q在仪器P的“盲区”中,理由如下:建立平面直角坐标系,求得点P,Q的坐标,进而求出直线PQ的方程.建立如图1所示的平面直角坐标系,则Q(10,6),P(-10,-10),所以kPQ= ,所以直线PQ的方程为4x-5y-10=0.通过判断直线PQ与圆的位置关系即可得出结论.圆心O到直线PQ的距离d= =