2021-2022学年吉林省白山市高三（上）期末数学试卷（理科）（含答案解析）

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2021-2022学年吉林省白山市高三（上）期末数学试卷（理科）     已知R是实数集，集合，，则(    )A.  B.  C.  D.     已知复数的实部与虚部的和为12，则(    )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6    已知向量，，，则与的夹角为(    )A.  B.  C.  D.     若x，y，z为非零实数，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件    已知M为抛物线C：上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则(    )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6    已知，则(    )A.  B.  C.  D.     某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(    )A. 18
B. 36
C. 54
D. 108    某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额单位：万元和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是(    )
A. 2020年第四季度的销售额为380万元
B. 2020年上半年的总销售额为500万元
C. 2020年2月份的销售额为60万元
D. 2020年12个月的月销售额的众数为60万元    已知四棱锥的底面是矩形，平面ABCD，，，，则四棱锥外接球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为(    )A. 12 B. 14 C. 16 D. 18已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于3，则C的离心率为(    )A.  B.  C. 2 D. 3已知，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，…，1，2，4，…，，，…，2，1，…的前n项和为，若，则n的最小值为(    )A. 81 B. 90 C. 100 D. 2021已知是奇函数，且当时，若，则__________.若x，y满足约束条件，则的最大值为______.若曲线在点处的切线与曲线相切，则______.函数的部分图象如图所示，其中，，若对于任意的恒成立，则实数的取值范围为______.
 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知，
求a；
若，求已知等差数列满足，数列的前n项和为，且
求数列与的通项公式；
令，求数列的前n项和某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项，整理数据后得到如下统计表： 女生男生合计环境保护8040120社会援助404080合计12080200能否有的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？
以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为X，求X的分布列和期望．
附：，其中 如图，AB是圆O的直径，圆O所在的平面，C为圆周上一点，D为线段PC的中点．，

证明：平面平面
若G为AD的中点，求二面角的余弦值．已知O为坐标原点，椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为
求椭圆C的方程；
过C的左焦点F作弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若，求面积的最大值．已知函数，
设函数，求的最大值；
证明：
答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：是实数集，集合，
或，
，

故选：
求出集合A，B，，由此能求出
本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】C 【解析】解：，
所以复数z的实部与虚部分别为，，
则，得，
，
故选：
先利用复数的乘法运算求助复数z的代数形式，然后由复数的定义得到实部和虚部，列出等式求解即可．
本题考查了复数的定义，考查了复数的运算法则的运用，解题的关键是求出复数的代数形式，属于基础题．
 3.【答案】A 【解析】解：因为，，
又因为，，所以，，，，所以，
故选：
用向量数量积定义计算两向量夹角问题．
本题考查了向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
 4.【答案】A 【解析】解：x，y，z为非零实数，
“”“”，
“”推导不出来“”，例如，，，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：
“”“”，举例说明“”推导不出来“”，由此能求出结果．
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 5.【答案】B 【解析】解：设M的纵坐标为，由抛物线的方程可得准线方程为：，
由题意可得，两式相减可得，即，
故选：
设P的纵坐标，由抛物线的性质可得到焦点的距离代入到准线的距离，由题意可得，两式相减可得p的值．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
 6.【答案】A 【解析】【分析】本题考查同角三角函数关系式的应用及齐次式的应用，属于基础题．
由同角三角函数关系式化简得，代入求解即可．【解答】解：


故选：  7.【答案】C 【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图为：该几何体为底面腰长为的等腰直角三角形，高为6的三棱柱体；
如图所示：

故
故选：
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 8.【答案】D 【解析】【分析】
根据第一季度的销售额和销售额占总销售额的百分比求出总销售额，即可选出答案．
本题考查双层饼图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．
【解答】
解：设全年总销售额为x万元，则，
故，
选项A：第四季度销售额为万元，故A错误．
选项B：上半年销售额度为万元，故B错误．
选项C：2月份的销售额为万元，故C错误．
选项D：由图易知销售额占比为的月份最多，故月销售额的众数为万元，故D正确．
故选：  9.【答案】D 【解析】解：四棱锥的底面是矩形，取PC中点O，连接AC，OA，OB，OD，如图，

因为平面ABCD，平面ABCD，
则，而，，AB，平面PAB，
则有平面PAB，
又平面PAB，
即有，
同理有，
而，
因此有，
于是得四棱锥外接球的球心为O，半径为OA，
矩形ABCD中，，
从而得，
即球半径，
所以四棱锥外接球的表面积为
故选：
根据给定条件确定四棱锥外接球的球心位置，计算出球半径，代入球的表面积公式计算即可．
本题考查了四棱锥的外接球问题，属于中档题．
 10.【答案】B 【解析】解：若安排丙丁中的一名志愿者到首钢滑雪大跳台，其余3人到另外两个场馆，则有种，
若安排丙丁两名志愿者到首钢滑雪大跳台，甲乙人到另外两个场馆，则有种，
故有种．
故选：
根据题意，安排丙丁中的一名志愿者或排丙丁两名志愿者到首钢滑雪大跳台，根据分类和分步计数原理可得．
本题考查了分类和分步计数原理，属于基础题．
 11.【答案】C 【解析】解：由双曲线的方程可得，，设，
由可得--，
则，
所以离心率，
故选：
由双曲线的方程可得，的坐标，设P的坐标，可得P的横纵坐标的关系，求出直线与的斜率之积的表达式，由题意可得a，b的关系，进而求出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的性质的应用，属于基础题．
 12.【答案】B 【解析】解：观察数列，第1项为1，第项为1，2，1，第项为1，2，4，2，1，
则第项为1，2，4，…，，…4，2，1，，
则第项，这项之和为…
其中项等比数列求和，
则…
所以从第1项加到第项之和，
要使，
则，，
因为当时，；
当时，，
则所求最小n必在第81项和第100项之间，
而第82项第100项为1，2，4，…，，…4，2，1，这里前面10项和，即…，
而，这里前9项和，即…，
而，这里前面8项和，即…，
而，
若，则最小n是第81项后面第9项，即第90项，
故选：
观察数列规律，所求最小n必在第81项和第100项之间，依次计算第82项第100项前10项和，前9项和，前8项和直到若时可得结果．
本题考查了数列求和，属于难题．
 13.【答案】1 【解析】【分析】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，是奇函数，且，
则，
又由当时，，则有，
解可得，
故答案为  14.【答案】3 【解析】【分析】
本题考查了线性规划的应用，考查了学生的数形结合能力，属于基础题．
利用约束条件画出可行域，然后利用数形结合即可求解．
【解答】
解：x，y满足约束条件，
则x，y满足的可行域如图所示：三角形ABC边界及内部，
联立方程，解得，
由图可得在点A处取得最大值，即，
故答案为：  15.【答案】 【解析】解：因为，所以，则，
所以曲线在点处的切线方程为
设与相切于点，
因为，所以，
则，，
所以，所以
故答案为：
对求导，求出切线的斜率k，再根据在点处的切线与曲线相切，列方程求出a的值．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，考查了方程思想，属基础题．
 16.【答案】 【解析】解：因为，所以的图象关于直线对称，
又，由图知，
所以，从而，
由，得，
所以，
，可化为，
当时，
所以，解得，即
故答案为：
由题知，进而待定系数得，即，进而得，再根据三角函数的值域得可得，解不等式即可得答案．
本题考查由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
 17.【答案】解：因为，
由余弦定理得，，
因为
整理得，，，
若，
所以，
所以，
由B为三角形内角得，，
由正弦定理得，，
所以，
因为A为三角形内角且，
所以或 【解析】由已知结合余弦定理进行化解可求b，进而可求a；
由已知结合余弦定理及三角形面积公式化简可求，进而可求B，然后结合正弦定理可求，进而可求
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 18.【答案】解：等差数列满足，，
设公差为d，
则，解得，
所以，解得，
所以，，
数列的前n项和为，且①，
当时，，
当时，②，
①-②得，时也满足此式，
所以，
由得，
所以①，
②，
①-②得：
，
整理得： 【解析】本题考查等差数列的通项公式，错误相减法求和，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
设数列的公差为d，根据等差数列的通项公式求出d，即可得到；利用可得的通项公式；
利用的结论，进一步利用错位相减法求和即可．
 19.【答案】解：由表中的数据可得，
故没有的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关；
女生共有120人，参加环境保护的人数为80人，则女生参与率为，
由已知可得X可取0，1，2，3，4，
所以，，
，，
，
所以X的分布列如下：X01234P    因为X服从二项分布，即，
所以X的数学期望为 【解析】利用已知表格中的数据以及对应的公式求解即可判断；先求出女生的参与率，然后根据X的取值求出对应的概率，由此求出X的分布列以及期望．
本题考查了离散型随机变量的期望与分布列，涉及到二项分布的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．
 20.【答案】解：证明：因为圆O所在的平面，圆O所在的平面，所以，
因为C为圆周上一点，AB是圆O的直径，所以，
因为，PA、平面PAC，所以平面PAC，
因为平面PAC，所以，
因为，所以，又因为，所以，
因为D为PC中点，所以，
又因为，PC、平面PBC，所以平面PBC，
因为平面ABD，所以平面平面
解：不妨设，
则，，所以，
由知平面PAC，所以，，
所以是二面角的平面角，
，
二面角的余弦值为 【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
只要证明平面ABD内直线AD垂直于平面PBC即可；
寻找二面角的平面角，转化为解直角三角形问题求解．
 21.【答案】解：易知，
因为的面积为，所以
又直线AB的方程为，即，点O到直线AB的距离为，
所以
联立方程组，
解得，，
所以椭圆C的方程为
由题意知直线DE，MN的斜率均存在，设DE的斜率为k，，，由知，
则直线DE的方程为
联立方程组消去y，得，
由韦达定理可得
因为为DE的中点，所以，，即，
所以
因为直线MN的斜率为，用代替k得，所以，
所以
设，则，当且仅当时取等号．
设，由对勾函数的性质知在区间上单调递增，
所以当时，最小，即最大，此时，解得，
所以面积的最大值为 【解析】通过三角形的面积，结合点O到直线AB的距离为，求解a，b，得到椭圆方程．
设DE的斜率为k，，，由知，直线DE的方程为联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过为DE的中点，求出，推出，求解，然后求解三角形的面积，利用换元法求解面积的最大值即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 22.【答案】解：，
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
的最大值为
证明：，
，原不等式等价于，
则，
令，则，
在上单调递增，
令，，在上单调递增，
，，
存在唯一，使得，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
要证，即要证，
于是原问题转化为证明不等式组
，
由得，
两边同时取常用对数得，
代入，
可得，
，
当且仅当即，时，等号成立，
，即 【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了基本不等式的应用，属于难题．
利用导数分析函数在定义域上的单调性，由此得到函数的最大值．
原不等式等价于，利用导数分析函数的单调性，求出的最小值，结合基本不等式可证得不等式成立．