2023年中考数学（苏科版）总复习一轮课时训练 33　平移与旋转(含答案)

平移与旋转

夯实基础

1.[2022·苏州]如图,在方格纸中,将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A'O'B,则图所示的四个图形中正确的是              (　　)

2.[2022·邵阳]如图,在△AOB中,AO=1,BO=AB=.将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°,得到△A'OB',连接AA'.则线段AA'的长为              (　　)

A.1 B. C. D.

3.[2022·河南]如图,平行四边形OABC的顶点O(0,0),A(1,2),点C在x轴的正半轴上,延长BA交y轴于点D.将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A',当点D的对应点D'落在OA上时,D'A'的延长线恰好经过点C,则点C的坐标为              (　　)

A.(2,0)  B.(2,0)

C.(2+1,0)  D.(2+1,0)

4.[2021·南京]如图,△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的,△A'B'C'还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到的?下列结论:①1次旋转;②1次旋转和1次轴对称;③2次旋转;④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是              (　　)

A.①④  B.②③ 

C.②④  D.③④

5.[2022·南充]如图,在矩形ABCD中,AB=15,BC=20,把边AB沿对角线BD平移,点A',B'分别对应点A,B,给出下列结论:

①顺次连接点A',B',C,D的图形是平行四边形;

②点C到它关于直线AA'的对称点的距离为48;

③A'C-B'C的最大值为15;

④A'C+B'C的最小值为9.

其中正确结论的个数是 (　　)

A.1个  B.2个 

C.3个  D.4个

6.[2022·临沂]在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A,B的坐标分别是(-1,1),(2,1),将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度,则顶点C的对应点C1的坐标是　　　　. 

7.[2022·怀化]如图,在平面直角坐标系中,已知A(-2,1),B(-1,4),C(-1,1),将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1,再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1,则点A2的坐标是　　　　. 

8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,将△ABC沿CB向右平移得到△DEF,若平移距离为2,则四边形ABED的面积等于　　　　. 

9.[2022·铜仁]如图,将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置,则阴影部分的面积是　　　　. 

10.[2022·上海]定义:平面上一点到图形的最短距离为d,如图,OP=2,正方形ABCD的边长为2,O为正方形中心,当正方形ABCD绕O旋转时,d的取值范围是　　　　. 

11.如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的顶点A,B,C都在格点上(两条网格线的交点叫格点).请仅用无刻度的直尺按下列要求画图,并保留画图痕迹(不要求写画法):

(1)将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B1,点C的对应点为C1,画出△AB1C1;

(2)连接CC1,△ACC1的面积为　　　　; 

(3)在线段CC1上画一点D,使得△ACD的面积是△ACC1面积的.

拓展提升

12.[2022·南京]如图,将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB'C'D'的位置,使点B'落在BC上,B'C'与CD交于点E.若AB=3,BC=4,BB'=1,则CE的长为　　　　. 

13.[2021·武汉]问题背景:如图①,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.

问题解决:如图②,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4.点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　　　　. 

14.[2022·十堰]已知等边三角形ABC,过A点作AC的垂线l,点P为l上一动点(不与点A重合),连接CP,把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ,连接QB.

(1)如图①,直接写出线段AP与BQ的数量关系;

(2)如图②,当点P,B在AC同侧且AP=AC时,求证:直线PB垂直平分线段CQ;

(3)如图③,若等边三角形ABC的边长为4,点P,B分别位于直线AC异侧,且△APQ的面积等于,求线段AP的长度.

答案

1.B　2.B

3.B　如图,由旋转可知,△ODA≌△OD'A',∴∠D'A'O=∠DAO,∠ADO=∠A'D'O,

∵BD∥OC,∴∠AOC=∠DAO,

∴△ODA∽△CD'O,∴,即,

∴OC=2,因此本题选B.

4.D　先将△ABC绕着B'C的中点旋转180°,再将所得的三角形绕着B'C'的中点旋转180°,即可得到△A'B'C';

先将△ABC沿着B'C的垂直平分线翻折,再将所得的三角形沿着B'C'的垂直平分线翻折,即可得到△A'B'C',

故选D.

5.D　如图①中,∵AB=A'B',AB∥A'B',AB=CD,AB∥CD,∴A'B'=CD,A'B'∥CD,

∴四边形A'B'CD是平行四边形,故①正确;

作点C关于直线AA'的对称点E,连接CE交AA'于点T,交BD于点O,则CE=4OC.

∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,CD=AB=15,

∴BD==25,

∵BD·CO=BC·CD,∴OC==12,

∴EC=48,故②正确;

∵A'C-B'C≤A'B',∴A'C-B'C≤15,

∴A'C-B'C的最大值为15,故③正确;

如图②,∵B'C=A'D,∴A'C+B'C=A'C+A'D,

作点D关于AA'的对称点D',连接DD'交AA'于J,过点D'作D'E⊥CD交CD的延长线于点E,连接CD'交AA'于A',此时CB'+CA'的值最小,最小值=CD',

易得△AJD∽△DAB,∴,

∴,∴DJ=12,∴DD'=24,

易得△DED'∽△DAB,∴,

∴,∴ED'=,DE=,

∴CE=CD+DE=15+,

∴CD'==9,

∴A'C+B'C的最小值为9.故④正确.

6.(4,-1)　∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点,∴点A,点C关于原点对称,

∵A(-1,1),∴C(1,-1),

∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度,则顶点C的对应点C1的坐标是(4,-1).

7.(2,2)

8.8　四边形ABED的面积等于AD·AC=2×4=8.

9.2-

10.2-≤d≤1

11.解:(1)如图,△AB1C1为所求三角形.

(2)　 显然AC=AC1=,∠CAC1=90°,

∴△ACC1的面积=.

(3)如图,点D为所求点. 易得,∴,∴△ACD的面积是△ACC1面积的.

12.　如图,过点A作AM⊥BC于点M,过点B作BN⊥AB'于点N,过点E作EG⊥BC,交BC的延长线于点G.

由旋转可知,AB=AB'=3,∠ABB'=∠AB'C',

∴∠ABB'=∠AB'B=∠AB'C',

∵BB'=1,AM⊥BB',∴BM=B'M=,

∴AM=.

∵S△ABB'=·AM·BB'=·BN·AB',

∴×1=·BN×3,则BN=,

∴AN=,

∵AB∥DC,∴∠ECG=∠ABC,

∵∠AMB=∠EGC=90°,∴△AMB∽△EGC,

∴,

设CG=a,则EG=a,

∵∠ABB'+∠AB'B+∠BAB'=180°,∠AB'B+∠AB'C'+∠C'B'C=180°,∠ABB'=∠AB'B=∠AB'C',

∴∠BAB'=∠C'B'C,

∵∠ANB=∠EGC=90°,∴△ANB∽△B'GE,

∴,

∵BC=4,BB'=1,∴B'C=3,B'G=3+a,

∴,解得a=.∴CG=,EG=,

∴EC=.

13.2　由题构造等边三角形MFN,等边三角形MHO,图中两个阴影三角形全等(△MFH≌△MNO(SAS)),

∴OM+ON+OG=HO+HF+OG,

连接FG,过G作GQ⊥FM交FM的延长线于Q,易得距离和的最小值为FG=2.

14.解:(1)AP=BQ.　在等边三角形ABC中,AC=BC,∠ACB=60°,

由旋转可得,CP=CQ,∠PCQ=60°,∴∠ACB=∠PCQ,

∴∠ACP+∠PCB=∠BCQ+∠PCB,

即∠ACP=∠BCQ,

∴△ACP≌△BCQ(SAS),∴AP=BQ.

(2)证明:在等边三角形ABC中,AC=BC,∠ACB=60°,

由旋转可得,CP=CQ,∠PCQ=60°,

∴∠ACB=∠PCQ,∴∠ACP+∠PCB=∠BCQ+∠PCB,即∠ACP=∠BCQ,∴△ACP≌△BCQ(SAS),

∴AP=BQ,∠CBQ=∠CAP=90°,

∴BQ=AP=AC=BC.

∵AP=AC,∠CAP=90°,

∴∠BAP=30°,∠ABP=∠APB=75°,

∴∠CBP=∠ABC+∠ABP=135°,

∴∠CBD=45°,∴∠QBD=45°,

∴∠CBD=∠QBD,即BD平分∠CBQ,

∴BD⊥CQ,CD=DQ,即直线PB垂直平分线段CQ.

(3)①当点Q在直线l上方时,如图①所示,延长BQ交l于点E,过点Q作QF⊥l于点F,

由(2)可知△ACP≌△BCQ,

∴AP=BQ,∠CBQ=∠CAP=90°,

∵∠CAB=∠ABC=60°,

∴∠BAE=∠ABE=30°,∴∠BEF=60°,

∵AB=AC=4,∴AE=BE=,

设AP=t,则BQ=t,∴EQ=-t,

在Rt△EFQ中,QF=EQ=-t,

∴S△APQ=AP·QF=,即t·-t=,

解得t=或t=.即AP的长为或.

②当点Q在直线l下方时,如图②所示,设BQ交l于点E,过点Q作QF⊥l于点F,

由(2)可知△ACP≌△BCQ,

∴AP=BQ,∠CBQ=∠CAP=90°,

∵∠CAB=∠ABC=60°,

∴∠BAE=∠ABE=30°,∴∠BEF=120°,

∵AB=AC=4,∴AE=BE=,

设AP=m,则BQ=m,∴EQ=m-,

在Rt△EFQ中,QF=EQ=m-,

∴S△APQ=AP·QF=,

即m·m-=,

解得m=m=舍去.

综上可得,AP的长为或或.