2023年中考数学（苏科版）总复习一轮课时训练 21　相似与位似(含答案)

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相似与位似夯实基础1.[2021·赤峰] 如图,D,E分别是△ABC边AB,AC上的点,∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是 (　　) A.1  B.2 C.3  D.42.[2022·重庆B卷]如图,在平面直角坐标系中,将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,若B(0,1),D(0,3),则△OAB与△OCD的相似比是              (　　) A.2∶1  B.1∶2 C.3∶1  D.1∶33.如图,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是 (　　) A.  B. C.  D. 4.[2017·常州] 如图,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD=2OA=6,AD∶AB=3∶1,则点C的坐标是              (　　) A.(2,7)  B.(3,7) C.(3,8)  D.(4,8)5.[2022·南充]如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC=AB=3BD,则AD∶AC的值为　　　　.  6.[2022·上海]如图所示,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,,则=　　　.  7.[2022·包头]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为　　　　.  8.[2022·无锡]下列命题中,正确命题的个数为　　　　. ①所有的正方形都相似;②所有的菱形都相似;③边长相等的两个菱形都相似;④对角线相等的两个矩形都相似.9.[2017·镇江] 如图,△ABC中,AB=6,DE∥AC,将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD'E',点D的对应点落在边BC上,已知BE'=5,D'C=4,则BC的长为　　　　.  10.如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1　　　　S2(填“>”“<”或“=”).  11.[2021·宁夏]如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1;(2)画出△ABC以点O为位似中心,位似比为1∶2的△A2B2C2. 12.[2022·玉林]如图,在△ABC中,D在AC上,DE∥BC,DF∥AB.(1)求证:△DFC∽△AED;(2)若CD=AC,求的值.   拓展提升13.如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=-x+1与x轴、y轴分别交于点A和点B,直线l2:y=kx(k≠0)与直线l1在第一象限交于点C,若∠BOC=∠BCO,则k的值为              (　　) A. B. C. D.214.[2015·连云港] 如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为　　　　.  15.[2022·安徽]如图①,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD,点E在边BC上,且AE∥CD,DE∥AB,作CF∥AD交线段AE于点F,连接BF.(1)求证:△ABF≌△EAD;(2)如图②,若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED,求BE的长;(3)如图③,若BF的延长线经过AD的中点M,求的值.  
答案1.C　2.D3.C　因为正方形ABCD中,AE=3ED,DF=CF,所以设正方形ABCD的边长为4a,则AE=3a,ED=a,DF=CF=2a,延长BE,CD交于点M,易得△ABE∽△DME,可得MD=a,因为△ABG∽△FMG,AB=4a,MF=a,所以.4.A　如图,作CE⊥y轴,垂足为E.∵OD=2OA=6,∴OA=3.由题意易得Rt△CED∽Rt△DOA,∴,又∵CD=AB,∴,∴CE=2,DE=1,∴OE=7,∴C点的坐标为(2,7).5.　∵BC=AB=3BD,∴,∵∠B=∠B,∴△ABC∽△DBA,∴,∴AD∶AC=.6.　∵AD∥BC,∴,易知:,由比例的性质可知,∴.7.　由题意得AC∥BD,∴△ACM∽△BDM,∴,∴,∵BD⊥CB,MN⊥CB,∴BD∥MN,∴△CMN∽△CDB,∴,∴MN=DB=.8.1　多边形的相似,要同时满足对应角相等、对应边成比例.对于①,所有的正方形四个角相等,四条边都成比例,所以①正确;对于②,四条边都成比例,但角不一定对应相等,因此所有菱形不一定都相似,所以②不正确;对于③,边长相等的两个菱形内角不一定对应相等,所以不一定都相似,所以③不正确;对于④,矩形对角线相等,边不一定成比例,所以④不正确,所以正确的命题的个数是1.9.2+　①由条件“DE∥AC”可得△BDE∽△BAC,即有;②由题意可得BE=BE'=5,BD=BD'=BC-D'C=BC-4,AB=6.设BC=x,由①②可列方程:,解得x=2+(2-已舍),经检验,x=2+是分式方程的根.故BC的长为2+.10.=　∵点P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,∴,即AP2=PB·AB.∵S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,∴S1=AP2,S2=PB·AB,∴S1=S2.11.解:(1)△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1),则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标分别为A1(1,-3),B1(4,-1),C1(1,-1),连接A1C1,A1B1,B1C1,得到△A1B1C1.如图所示,△A1B1C1为所求.(2)由题意知:位似中心是原点,则分两种情况:第一种,△A2B2C2和△ABC在原点同侧,则A2(2,6),B2(8,2),C2(2,2),连接各点,得△A2B2C2.第二种,△A2B2C2和△ABC在原点异侧,则A2(-2,-6),B2(-8,-2),C2(-2,-2),连接各点,得△A2B2C2.因为在网格中作图,图中网格是有范围的,所以△A2B2C2只能画一个.如图所示,△A2B2C2为所求.12.解:(1)证明:∵DE∥BC,DF∥AB,∴∠ADE=∠C,∠A=∠CDF,∴△DFC∽△AED.(2)∵CD=AC,∴CD=AD,∵△DFC∽△AED,∴=2=.13.B　在y=-x+1中,令x=0,得y=1,∴OB=1.令y=0,得x=2,∴OA=2.在Rt△OAB中,由勾股定理得AB==3.∵∠BOC=∠BCO,∴BO=BC=1,∴AC=3-1=2.作CD⊥OA于点D,则△ADC∽△AOB,∴,即,解得CD=.将y=代入y=-x+1得x=,∴C,.将C,的坐标代入y=kx得k=,故选B.14.　如图,过点B作DE⊥l2,交l1,l3于点D,E,过点C作CF⊥l1,垂足为F,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,∴.∵l1∥l2∥l3,∴DE⊥l1,DE⊥l3,则∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,∴∠1=∠3.在△ABD与△BCE中,∠1=∠3,∠ADB=∠BEC=90°,∴△ABD∽△BCE,∴,即,解得AD= ,CE=.则AF=CE-AD=,在Rt△ACF中,AC=.故答案为.15.解:(1)证明:∵AE∥CD,∴∠AEB=∠BCD,∵∠ABC=∠BCD,∴∠ABC=∠AEB,∴AB=AE,∵DE∥AB,∴∠DEC=∠ABC,∠AED=∠BAF,∵∠ABC=∠BCD,∴∠DEC=∠BCD,∴DE=DC,∵CF∥AD,AE∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形,∴AF=CD,∴AF=DE,在△ABF和△EAD中,∴△ABF≌△EAD(SAS).(2)由(1)知:四边形ADCF是平行四边形,∴AD=CF,AF=CD.由(1)知BF=AD,∴BF=FC,∴∠FBE=∠ECF=∠AED=∠BAE,又∠AEB=∠BEF,∴△ABE∽△BFE,∴,∵AB=9,CD=5,∴AE=9,AF=5,∴EF=AE-AF=9-5=4,故,∴BE=6.(3)如图,延长BM,ED交于点G,∵△ABE,△DCE均为等腰三角形,且∠ABC=∠DCE,∴△ABE∽△DCE,∴,设CE=1,BE=x,DC=DE=a,则AB=AE=ax,AF=CD=a,∴EF=AE-AF=ax-a=a(x-1),∵AB∥DG,∴∠ABG=∠G.∵点M是AD的中点,∴AM=DM,∵∠AMB=∠DMG,∴△AMB≌△DMG(AAS),∴DG=AB=ax,∴EG=DG+DE=ax+a=a(x+1),∵AB∥EG,∴△ABF∽△EGF,∴,即,∴x2-2x-1=0,解得:x=1+或x=1-(舍去),∴=x=1+.