2022湖南省大联考高二上学期期末考试数学试题含答案

湖南省高二年级期末考试

数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册至第二册第4章．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

2. 若，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 5

【答案】A

3. 已知向量，，则（    ）

A.  B. 10 C. 5 D. 25

【答案】C

4. 已知直线与垂直，则与的等比中项为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

5. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则（    ）

A.  B. 5 C.  D.

【答案】C

6. 若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

7. 某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数（假设每人的得票数各不相同）排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2000元，前20名共发放3500元，则前30名共发放（    ）

A. 4000元 B. 4500元 C. 4800元 D. 5000元

【答案】B

8. 在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列四个关于圆锥曲线的命题中，为真命题的是（    ）

A. 椭圆与双曲线有相同的焦点

B. 设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线

C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

D. 动圆P过定点且与定直线相切，则圆心P轨迹方程是

【答案】AD

10. 如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点，，，则（    ）

A.  B. 平面ABCD

C.  D. 三棱锥外接球的表面积是

【答案】BCD

11. 已知为曲线上一动点，则（    ）

A. 最小值为

B. 存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离

C. 到直线距离的最小值小于

D. 最小值为6

【答案】BD

12. 设和分别为数列和的前n项和．已知，，则（    ）

A. 是等比数列 B. 是递减数列

C.  D.

【答案】ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13. 若复数z满足，则z的虚部为______．

【答案】5

14. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为________.

【答案】

15. 已知函数的图象关于直线对称，则m的最大值为______．

【答案】

16. 数列满足，前12项的和为298，则______．

【答案】4

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套的乡村游项目，现统计了10月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，，）．

（1）根据频率分布直方图，估计该组数据的众数和50%分位数（即中位数，结果精确到0.1）；

（2）若将购买水果金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从这5人中任选2人，并赠送这2人价值50元的水果，求这2人中至少有1人购买水果金额不低于100元的概率．

【答案】（1）众数的估计值70，50%分位数的估计值为63.3；   

（2）.

18. 等差数列的前n项和为，，．

（1）求的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

【答案】（1）；   

（2）.

19. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的边．已知，，．

（1）求b，c的值；

（2）求的值．

【答案】（1），   

（2）

20. 年月日日，备受瞩目的年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行．假设年株洲轨道产业的年利润为百亿元，预计从年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少百亿元，设从年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为、、、.

（1）请用一个递推关系式表示与之间的关系．

（2）证明：数列为等比数列．

（3）预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析；    （3）年.

21. 在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，E，F分别是棱AB，PC中点．

（1）证明：平面PAD．

（2）若，，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

22. 设椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，过的直线与C相交于D，E两点，且的周长为8．

（1）求C方程；

（2）若直线l与C交于不同的两点M，N，以MN为直径的圆经过C的右顶点A，且A不在直线l上，证明直线l过定点，并求出定点坐标．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析，定点.