湖南省A佳大联考2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题及解析

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一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 向量，若，则（ ）
A. 3B. C. 12D.
2. 设为平面，，为两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，且，则
3. 经过点的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知是空间向量的一个基底，则下列向量中能与构成基底的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知空间向量，若，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分必要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
7. 直三棱柱中，为等边三角形，，则与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 5
二､多选题：本题共4小题，母小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示
B. 方程表示的直线斜率一定存在
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 经过两点的直线方程为
10. 直线l的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则直线平面
B. 若，则直线平面
C. 若则直线l与平面所成角的大小为
D. 若，则平面所成角的大小为
11. 在中，有如下命题，其中正确的有（ ）
A. 若，则是等边三角形
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则这样的有2个
12. 在棱长为2的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别在线段和上，则下列说法正确的是（ ）
A. 当点P是的中点时，平面
B. 若点P是与平面的交点，则
C. 与面所成角范围是
D. 当F是的中点时，三棱锥的体积是定值
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知空间向量，空间向量满足且，则___________.
14. 若直线经过点且在两坐标轴上的截距和为4，则该直线的方程为___________.
15. 已知三棱锥中，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积是___________.
16. 平行六面体的各棱长均相等，与平面交于点E，则的余弦值为___________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知空间中三点
（1）求的面积；
（2）若点在三点确定的平面内，求x的值.
18. 图1：平行四边形中，，现将沿折起，得到三棱锥（如图2），且，点M为侧棱的中点.
（1）求证：
（2）N为角平分线上一点，若平面，求线段的长.
19 已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.
（1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；
（2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程.
20. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且·
（1）若，求的面积.
（2）若，求的取值范围.
21. 如图，三棱柱的棱长均为2，点在底面的射影O是的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
22. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为
（1）若两机器人运动方向夹角为足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍
（i）若足够长，求机器人乙能否挑战成功.
（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？