湖南省百所名校大联考2021-2022学年高二上学期期中考试数学含答案

高二数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线C：的离心率为

A.     B.     C.     D.

2.直线l：x＋y－1＝0的倾斜角为

A.45°     B.60°     C.120°D.135°

3.已知直线l1：ax＋y－1＝0与l2：x＋ay－a2＝0平行，则a＝

A.1     B.－1     C.0     D.1或－1

4.已知A(2，1，0)，B(1，0，1)，C(3，2，3)，则点A到直线BC的距离为

A.     B.     C.     D.

5.若圆C：x2＋y2－2x－m＝0与圆C：x2＋y2＋4y＋m＝0恰有2条公切线，则m的取值范围为

A.(0，4)     B.(－1，4)     C.(－1，0)     D.[0，4)

6.如图，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是矩形，且AD＝2AB，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，

A.3     B.     C.     D.2

7.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上。后人称这条直线为欧拉线。已知△ABC的顶点分别为A(1，3)，B(2，4)，C(3，2)，则△ABC的欧拉线方程为

A.x＋y－5＝0     B.x＋y＋5＝0     C.x－y＋1＝0     D.2x＋y－7＝0

8.如图，把椭圆C：的长轴AB分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P1，P2，P3，P4，P5，F是椭圆C的右焦点，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＝

A.20     B.15     C.36     D.30

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知曲线C的方程为(m∈R)，则

A.曲线C可以表示圆                     B.曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆

C.曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆     D.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线

10.直线l：(m＋1)x＋2(m－1)y－4m＝0与圆C：x2＋y2－x－y－2＝0的交点个数可能为

A.0     B.1     C.2     D.3

11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的人射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点。已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点P(－，4)射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线l2射出，经过点Q。下列说法正确的是

A.若p＝4，则|AB|＝8

B.若p＝2，则|AB|＝8

C.若p＝2，则PB平分∠ABQ

D.若p＝4，延长AO交直线x＝－2于点M，则M，B，Q三点共线

12.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，且(0<λ<1)，过P作垂直于平面BDD1B1的直线l，l交正方体ABCD－A1B1C1D1的表面于M，N两点。下列说法不正确的是

A.BD1⊥平面DMB1N

B.四边形DMB1N面积的最大值为2

C.若四边形DMB1N的面积为，则λ＝

D.若λ＝，则四棱锥B－DMB1N的体积为2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。

13.已知空间向量＝(2，1，2)，＝(1，2，2)，则||＝            。

14.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积。若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为8π，且离心率为，则C的标准方程为           。

15.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AB＝4，则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为            。

16.已知不经过坐标原点O的直线l与圆C：x2＋y2－4x＋4y＝0交于A，B两点，若锐角△ABC的面积为2，则|AB|＝           ，cos∠AOB＝           。(本题第一空2分，第二空3分)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

根据下列条件，求双曲线的标准方程。

(1)与双曲线有公共焦点，且经过点(4，3)。

(2)焦点为(0，±5)，且渐近线方程为y＝±2x。

18.(12分)

如图，四边形ABCD是矩形，AE//DF，∠EAB＝∠ADF＝90°，AB＝AE＝2AD＝2DF。

(1)证明：DF⊥平面ABCD。

(2)求直线CE与平面BEF所成角的正弦值。

19.(12分)

已知圆M经过A(0，2)，B(3，3)，C(1，－1)三点。

(1)求圆M的方程。

(2)设O为坐标原点，直线l：ax＋y－1＝0与圆M交于P，Q两点，是否存在实数a，使得|OP|＝|OQ|？若存在，求|PQ|的值；若不存在，说明理由。

20.(12分)

已知直线l是拋物线C：y2＝2px(p>0)的准线，O是坐标原点，P(x0，2)是C上一点，过P作PM⊥l，垂足为M，已知|PM|＝|PO|。

(1)求C的方程；

(2)直线m经过C的焦点F，且与C交于A，B两点，若m⊥PF，求△MAB的面积。

21.(12分)

如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝2AB＝2BC＝2CD，E是AD的中点，将△ABE沿BE折起至△A'BE的位置，使得二面角A'－BE－C的大小为120°(如图2)，M，N分别是A'D，BC的中点。

(1)证明：MN///平面A'BE。

(2)求二面角A'－BD－C的余弦值。

22.(12分)

已知△ABC的两个顶点坐标分别为B(－，0)，C(，0)，该三角形的内切圆与边AB，BC，CA分别相切于P，Q，S三点，且|AS|＝2－，设△ABC的顶点A的轨迹为曲线E。

(1)求E的方程；

(2)直线l1：y＝－x交E于R，V两点。在线段VR上任取一点T，过T作直线l2与E交于M，N两点，并使得T是线段MN的中点，试比较|TM|·|TN|与|TV|·|TR|的大小并加以证明。