数学浙教版2.3 一元二次方程的应用练习

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专题2.9 一元二次方程的应用专项训练
【浙教版】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选10题，填空6题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020秋•潮安区校级月考）一个研究小组有若干人，互送研究成果，若全组共送研究成果72个，这个小组共有（　　）人．
A．8 B．9 C．10 D．72
【解题思路】设该研究小组共有x人，则每人需送（x﹣1）个研究成果，根据全组共送研究成果72个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答过程】解：设该研究小组共有x人，则每人需送（x﹣1）个研究成果，
依题意，得：x（x﹣1）＝72，
整理，得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故选：B．
2．（3分）（2020•安徽一模）如图是某公司去年8～12月份生产成本统计图，设9～11月每个月生产成本的下降率都为x，根据图中信息，得到x所满足的方程是（　　）

A．30（1﹣x）2＝15 B．15（1+x）2＝30
C．30（1﹣2x）4＝15 D．15（1+2x）2＝30
【解题思路】设9～11月每个月生产成本的下降率都为x，根据该公司9月份及11月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答过程】解：设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：30（1﹣x）2＝15，
故选：A．
3．（3分）（2020•海珠区校级模拟）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地．设原正方形空地的边长为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（x﹣3）（x﹣2）＝20 B．（x+3）（x+2）＝20
C．x2﹣3x﹣2x＝20 D．x2﹣3×2＝20
【解题思路】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出．
【解答过程】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）＝20，
故选：A．
4．（3分）（2021•越秀区校级模拟）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意可列方程是（　　）
A．2（1+x）3＝8.72
B．2（1+x）2＝8.72
C．2（1+x）+2（1+x）2＝8.72
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72
【解题思路】设全市5G用户数年平均增长率为x，利用2021年底全市5G用户数数量＝2019年底全市5G用户数数量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答过程】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝8.72．
故选：B．
5．（3分）（2020秋•洪江市期末）一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上数字比十位上数字大2，则这个两位数是（　　）
A．24 B．35 C．42 D．53
【解题思路】设十位上的数字为未知数，得到两位数个位上的数字，根据关系式两位数等于其各数位上数字的积的3倍列出方程求得十位上的数字，进而求得两位数即可．
【解答过程】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+2，
10x+x+2＝3x（x+2），
（x﹣2）（3x+1）＝0，
解得x1＝2，x2=-13（不合题意，舍去），
故x＝2，
∴这个两位数为2×10+4＝24．
故选：A．
6．（3分）（2020秋•仙居县期末）某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（　　）元．
A．10 B．15 C．20 D．25
【解题思路】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
【解答过程】解：设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，
整理，得x2﹣35x+250＝0，
解得x1＝10，x2＝25．
∵“增加盈利，减少库存”，
∴x1＝10应舍去，
∴x＝25．
故选：D．
7．（3分）（2021春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答过程】解：依题意，得：1+x+x2＝43，
整理，得：x2+x﹣42＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故选：C．
8．（3分）（2020秋•孝义市期中）日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e是（　　）

A．17 B．18 C．19 D．20
【解题思路】根据日历表中各数之间的关系可找出a＝e﹣8，i＝e+8，根据这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，即可得出关于e的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答过程】解：由图1可知：a＝e﹣8，i＝e+8，
依题意得：ai＝297，
即（e﹣8）（e+8）＝297，
整理得：e2＝361，
解得：e1＝19，e2＝﹣19（不合题意，舍去）．
故选：C．
9．（3分）（2020秋•海陵区期末）欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC=a2，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长 B．CD的长 C．AD的长 D．BC的长
【解题思路】在Rt△ABC中，由勾股定理可得出AC2+BC2＝AB2，结合AB＝AD+BD，AC＝b，BD＝BC=a2，即可得出AD2+aAD＝b2，进而可得出AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．
【解答过程】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．
∵AC＝b，BD＝BC=a2，
∴b2+（a2）2＝（AD+a2）2＝AD2+aAD+（a2）2，
∴AD2+aAD＝b2．
∵AD2+aAD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且AD的长度为正数，
∴AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．
故选：C．

10．（3分）（2020秋•唐山期中）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（　　）

A．6 B．53-32 C．53-2 D．53-5
【解题思路】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为52，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可得解．
【解答过程】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x的矩形，得到大正方形的面积为：
50+(52)2×4＝50+25＝75，
∴该方程的正数解为75-52×2＝53-5．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020•南岗区校级模拟）近期，某商店某商品原价为每件800元，连续两次降价a%后售价为648元，则a的值是　10　．
【解题思路】根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答过程】解：依题意得：800（1﹣a%）2＝648，
解得：a1＝10，a2＝190（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
12．（3分）（2020秋•南海区期末）在研究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”时，小明发现：当已知矩形A的长和宽分别为6和1时，存在一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，那么矩形B的长为　2　．
【解题思路】根据题意，可以先求出矩形A的周长和面积，从而可以得到矩形B的周长和面积，然后设矩形B的长为x，然后根据矩形的面积＝长×宽，即可得到相应的方程，从而可以得到矩形B的长．
【解答过程】解：由已知可得，
矩形A的周长是（6+1）×2＝14，面积是6×1＝6，
则矩形B的周长是7，面积是3，
设矩形B的长为x，则宽为3.5﹣x，
则x（3.5﹣x）＝3，
解得，x1＝2，x2＝1.5，
当x＝2时，3.5﹣x＝1.5，此时长大于宽，符合实际；
当x＝1.5时，3.5﹣x＝2，此时长小于宽，不符合实际；
由上可得，矩形B的长为2，
故答案为：2．
13．（3分）（2020春•南岗区校级月考）一个小区用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰好为21米，围成的花坛如图所示，其中∠ACB＝90°，若所修的直角三角形花坛面积是54平方米，则直角三角形的斜边AB长为　15　米．

【解题思路】设直角三角形的直角边AC长为x米，则直角边BC长为（21﹣x）米，由直角三角形花坛面积是54平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，进而可得出（21﹣x）的值，再在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出直角三角形的斜边AB长．
【解答过程】解：设直角三角形的直角边AC长为x米，则直角边BC长为（21﹣x）米，
依题意得：12x（21﹣x）＝54，
整理得：x2﹣21x+108＝0，
解得：x1＝9，x2＝12．
当x＝9时，21﹣x＝12；
当x＝12时，21﹣x＝9．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB=AC2+BC2=92+122=15（米）．
故答案为：15．
14．（3分）（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为　2　s．

【解题思路】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答过程】解：设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：12（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
15．（3分）如图是某年某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和为　144　．

【解题思路】设最小数为x，则另外八个数分别为（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），（x+14），（x+15），（x+16），根据最大数与最小数的积为192，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再将九个数相加即可得出结论．
【解答过程】解：设最小数为x，则另外八个数分别为（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），（x+14），（x+15），（x+16），
依题意，得：x（x+16）＝192，
整理，得：x2+16x﹣192＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣24（不合题意，舍去），
∴x+（x+1）+（x+2）+（x+7）+（x+8）+（x+9）+（x+14）+（x+15）+（x+16）＝9x+72＝144．
故答案为：144．
16．（3分）（2020•汇川区模拟）《九章算术》中有一题：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是　212　．
【解题思路】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了（7t﹣10）步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其正值代入3t中即可求出结论．
【解答过程】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了（7t﹣10）步，
依题意得：102+（3t）2＝（7t﹣10）2，
整理得：40t2﹣140t＝0，
解得：t1=72，t2＝0（不合题意，舍去），
∴3t=212．
故答案为：212．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2021春•泰兴市校级期末）某种肺炎病毒在M国爆发，经世卫组织研究发现：病毒有极强的传染性．在调查某工厂的疫情时，发现最初只有1位出差回来的病毒携带者，在召开工厂车间组长会议时发生了第一轮传染，开完会后所有人都回到各自车间工作又发生了第二轮传染，这时全厂一共有196人检测出携带病毒．假如每个病毒携带者每次传染人数都相同，求每个病毒携带者每次传染多少人？
【解题思路】设每个病毒携带者每次传染x人，根据经过两轮传染后携带病毒的人数＝1×（1+每个病毒携带者每次传染人数）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答过程】解：设每个病毒携带者每次传染x人，
依题意得：（1+x）2＝196，
解得：x1＝13，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．
答：每个病毒携带者每次传染13人．
18．（8分）（2020秋•山西月考）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果，已知A、B两区初始显示的分别是25和﹣16．如图．如：第一次按键后，A，B两区分别显示．
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，得A，B两区代数式的和为1，求a的值．

【解题思路】（1）利用第二次按键后A区显示的结果＝第一次按键后A区显示的结果+a2及第二次按键后B区显示的结果＝第一次按键后B区显示的结果﹣3a，即可得出结论；
（2）根据从初始状态按4次后A，B两区代数式的和为1，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答过程】解：（1）25+a2+a2＝25+2a2，﹣16﹣3a﹣3a＝﹣16﹣6a．
答：A区显示的结果为（25+2a2），B区显示的结果为（﹣16﹣6a）．
（2）依题意，得：25+4a2+（﹣16﹣12a）＝1，
化简，得：a2﹣3a+2＝0，
解得：a1＝2，a2＝1．
答：a的值为2或1．
19．（8分）（2021台安县一模）某商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的零售单价分别为　2　元和　3　元．（直接写出答案）
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？
【解题思路】（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；
（2）根据降价后甲每天卖出：（500+m0.1×100）件，每件降价后每件利润为：（1﹣m）元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可
【解答过程】解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x，y元，
根据题意得：x+y=33(x+1)+2(2y-1)=12，
解得：x=1y=2，
∴甲、乙零售单价分别为2元和3元；
故答案为：2，3；
（2）根据题意得出：
(1-m)(500+100×m0.1)+1×1200=1700
即2m2﹣m＝0，
解得m＝0.5或m＝0（舍去），
答：当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元．
20．（8分）（2020•谷城县校级模拟）如图1，某小区的平面图是一个占地长500米，宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的19%，南北空地等宽，东西空地等宽．
（1）求该小区四周的空地的宽度；
（2）如图2，该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路，小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米，绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度．

【解题思路】（1）根据已知得出正中央的建筑区以及四周的空地所占面积，进而假设正中央的建筑区的长度为5x米，则宽为4x米，据此列出方程，求出即可；
（2）设小区道路的宽度为z米，则300（建筑区南侧空地的宽度﹣z）+2×200（建筑区西侧空地的宽度﹣z）＝5500．
【解答过程】解：（1）建筑区的面积是500×400×（1﹣19%）＝162000（平方米）．
设建筑区的长度为5x米，则宽为4x米．根据题意得：
5x•4x＝162000，
整理得 x2＝8100，
解得 x1＝90，x2＝﹣90（不合题意），
则东西两侧道宽：（500﹣5x）÷2＝25（米），
南北两侧道宽：（400﹣4x）÷2＝20（米）．
答：小区的东西两侧道宽为25米，南北两侧道宽为20米；
（2）设小区道路的宽度为z米，则
（20﹣z）×300+2×（25﹣z）×200＝5500，
解得z＝15．
答：小区道路的宽度是15米．
21．（10分）（2018秋•京口区校级月考）如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动，动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向向点B运动，若P、Q两点同时出发运动时间为ts．
（1）连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为7cm2？
（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

【解题思路】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；
（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD为腰的等腰三角形即可说明．
【解答过程】解：（1）当P在BC上时

如图：根据题意，得AB＝BC＝CD＝AD＝4
AQ＝t，QB＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t，
S△PQD＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣SDPC＝7，
16-12×4×t-12×2t⋅(4-t)-12×4×(4-2t)=7
整理，得t2﹣2t+1＝0，
解得t1＝t2＝1．
当P在CD上时，此时2＜t≤4

DP＝4﹣（2t﹣4）＝8﹣2t
∴S△PQD=12（8﹣2t）×4＝7
∴t=94
答：当t为1秒或94秒时，△PQD的面积为7cm2．
（2）①当PD＝DQ时，根据勾股定理，得
16+（4﹣2t）2＝16+t2，
解得t1=43，t2＝4（不符合题意，舍去）．
②当PD＝PQ时，根据勾股定理，得
16+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2+（2t）2，
整理得：t2+8t﹣16＝0
解得t1＝42-4，t2＝﹣42-4（不符合题意，舍去）．
答：存在这样的t=43秒或（42-4）秒，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形．
22．（10分）（2021•江北区校级模拟）全面奔小康，关键在农村，经济林是振兴农村经济，实现小康目标的重要途径．在读农林经济学的大学生林可利用知识优势，鼓励家人大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，主打种植大樱桃和小樱桃，今年风调雨顺，大樱桃和小樱桃双双增产．
（1）林可家今年大樱桃和小樱桃共2400千克，其中大樱桃的产量不超过小樱桃产量的5倍，求今年林可家收获小樱桃至少多少千克？
（2）林可家把今年收获的两种樱桃的一部分运往市场销售，已知他家去年大樱桃的市场销售量为1000千克，销售均价为30元/千克，今年大樱桃的市场销售量比去年减少了23m%（m≠0），销售均价与去年相同，他家去年小樱桃的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年小樱桃的市场销售量比去年增加了2m%，销售均价也比去年提高了2m%，结果林可家今年运往市场销售的这两种樱桃的销售总金额与他家去年销售这两种樱桃的市场销售总金额相同，求m的值．
【解题思路】（1）设今年林可家收获小樱桃x千克，则收获大樱桃（2400﹣x）千克，根据大樱桃的产量不超过小樱桃产量的5倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）利用销售总金额＝销售单价×销售数量，结合林可家今年运往市场销售的这两种樱桃的销售总金额与他家去年销售这两种樱桃的市场销售总金额相同，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答过程】解：（1）设今年林可家收获小樱桃x千克，则收获大樱桃（2400﹣x）千克，
依题意得：2400﹣x≤5x，
解得：x≥400．
答：今年林可家收获小樱桃至少400千克．
（2）依题意得：30×1000（1-23m%）+20（1+2m%）×200（1+2m%）＝30×1000+20×200，
整理得：1.6m2﹣40m＝0，
解得：m1＝25，m2＝0（不合题意，舍去）．