山东省烟台市招远市2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷（五四学制）(含答案)

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2022-2023学年山东省烟台市招远市七年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．面积相等的两个三角形成轴对称
B．两个等边三角形是全等图形
C．关于某条直线对称的两个三角形全等
D．成轴对称的两个三角形一定面积相等，且位于对称轴的两侧
3．如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）

A．CG B．BF C．BE D．AD
4．有四根细木棒，长度分别为6cm，7cm，9cm，14cm，从中取三根木棒组成一个三角形，有_____种可能情况．（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，一文物被探明位于A点地下48m处，由于A点地面下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A点14m的B处斜着挖掘，那么要找到文物至少要挖（　　）米．

A．14 B．48 C．50 D．60
6．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交BC于D，交AC于E，△ABD的周长为15cm，而AC＝3cm，则△ABC的周长是（　　）

A．18 B．15 C．20 D．22
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（　　）

A．EC B．AD C．AC D．BC
9．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝20时，b+c的值为（　　）
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
A．100 B．200 C．240 D．360
10．如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A、B、C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE； ②AD⊥CE；③ED＝8；④∠EAD＝∠ECD；正确的是（　　）

A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是　 　．

12．一个三角形的三边长为8cm、17cm、15cm，则其面积为 　 　cm2．
13．BD是△ABC的中线，若AB＝10cm，BC＝8cm，则△ABD与△BCD的周长之差为 　 　．
14．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 　 　．
15．如图，△ABC≌△ADE，点E在BC边上，∠AED＝80°，则∠DEB的度数为 　 　．

16．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形（如图1），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是 　 　．

三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.）
17．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出点C1的坐标；
（2）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，写出点B2的坐标．
（3）求出△A1B1C1的面积．

18．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠C＝30°，线段DC与DB有怎样的数量关系？试说明理由．

19．如图，△ABC中，点D、E在边BC上，AD＝AE，CD＝BE．
试问：∠BAD与∠CAE有怎样的数量关系？并说明理由．

20．如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．请求出线段DE的长．

21．课本习题：一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°．李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？解决问题的策略是多样的，请用三种不同的方法说明其中的道理．

22．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为多少米？（边缘部分的厚度忽略不计）

23．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝45°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，DC上的动点．【知识链接：四边形的内角和等于360°】
（1）若△AEF的周长最小，利用无刻度直尺和圆规确定点E，F的位置（不写作法，保留尺规作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求∠EAF的度数．

24．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，则∠B＝　 　°；
（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B＝28°，求∠AEB的度数．

25．如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC或BC的延长线于点M．
（1）如图1所示，若∠A＝30°，求∠NMB的大小；
（2）如图2所示，如果将（1）中的∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
（3）你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．



参考答案
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．下列说法正确的是（　　）
A．面积相等的两个三角形成轴对称
B．两个等边三角形是全等图形
C．关于某条直线对称的两个三角形全等
D．成轴对称的两个三角形一定面积相等，且位于对称轴的两侧
【分析】分别根据轴对称图形的定义，全等三角形的判断方法，轴对称的性质逐一判断即可．
解：A．面积相等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误，故本选项不合题意；
B．边长相等的两个等边三角形是全等图形，原说法错误，故本选项不合题意；
C．关于某条直线对称的两个三角形全等，说法正确，故本选项符合题意；
D．成轴对称的两个三角形一定面积相等，但不一定位于对称轴的两侧，原说法错误，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义与性质．全等三角形的判断，掌握相关定义与性质是解答本题的关键．
3．如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）

A．CG B．BF C．BE D．AD
【分析】根据三角形的高线的定义解答．
解：根据三角形的高的定义，AD为△ABC中BC边上的高．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键．
4．有四根细木棒，长度分别为6cm，7cm，9cm，14cm，从中取三根木棒组成一个三角形，有_____种可能情况．（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”组合三角形．
解：三角形三边可以为：①6cm，7cm，9cm；②7cm，9cm，14cm；③6cm，9cm，14cm，可以围成的三角形共有3种．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5．如图所示，一文物被探明位于A点地下48m处，由于A点地面下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A点14m的B处斜着挖掘，那么要找到文物至少要挖（　　）米．

A．14 B．48 C．50 D．60
【分析】由题意得AB＝14，AC＝48，根据勾股定理即可求解．
解：在Rt△BAC中，
因为AB＝14，AC＝48，∠BAC＝90°，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
6．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
解：A、如图所示：此时BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
C、如图所示：此时CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
D、如图所示：此时BP＝AP，故能得出PA+PC＝BC，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．
7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交BC于D，交AC于E，△ABD的周长为15cm，而AC＝3cm，则△ABC的周长是（　　）

A．18 B．15 C．20 D．22
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，然后根据已知△ABD的周长为15cm，可得AB+BC＝15cm，最后根据三角形的周长公式进行计算即可解答．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为15cm，
∴AB+BD+AD＝15cm，
∴AB+BD+CD＝15cm，
∴AB+BC＝15cm，
∵AC＝3cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝18（cm），
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（　　）

A．EC B．AD C．AC D．BC
【分析】如图，连接PC，只要证明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度﹒
解：如图连接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE十PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选A．

【点评】本题考查轴对称一最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝20时，b+c的值为（　　）
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
A．100 B．200 C．240 D．360
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b、c的值，再求出答案即可．
解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，•••，即20＝2×（8+2），
b依次为8，15，24，35，48，•••，即当a＝20时，b＝102﹣1＝99，
c依次为10，17，26，37，50，•••，即当a＝20时，c＝102+1＝101，
所以当a＝20时，b+c＝99+101＝200．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出b＝（n+2）2﹣1，c＝（n+2）2+1是解此题的关键．
10．如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A、B、C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE； ②AD⊥CE；③ED＝8；④∠EAD＝∠ECD；正确的是（　　）

A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④
【分析】根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
解：延长AD交CE于H，延长CD交AE于F，

∵△ABD≌△EBC，
∴EB＝AB，BD＝BC＝5，∠CAD＝∠BEC，∠ABE＝∠CBE＝90°，∠ADB＝∠BCE，
∴∠CAE＝∠AEB＝45°＝∠BCD＝∠BDC，∠BEC+∠ACE＝90°，
∴∠CAE+∠BCD＝90°，∠BAD+∠ACE＝∠BEC+∠ACE＝90°，
∴CD⊥AE，AD⊥CE，
故①②正确，
∴ED＝EB﹣BD＝7，
故③是错误的，
∵∠EAD＝∠ADB﹣45°，∠ECD＝∠ACE﹣∠ACD＝∠ACE﹣45°，
∴∠EAD＝∠ECD，
故④是正确的，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质，明确题意，采用数形结合的思想是解答的关键．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是　三角形的稳定性　．

【分析】将其固定，显然是运用了三角形的稳定性．
解：一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】注意能够运用数学知识解释生活中的现象，考查三角形的稳定性．
12．一个三角形的三边长为8cm、17cm、15cm，则其面积为 　60　cm2．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式即可求出其面积．
解：∵82+152＝172，
∴此三角形是直角三角形，
∴此直角三角形的面积为：×8×15＝60（cm2）．
故答案为：60．
【点评】此题考查勾股定理的逆定理问题，关键是能够根据具体数据运用勾股定理的逆定理判定该三角形是一个直角三角形．
13．BD是△ABC的中线，若AB＝10cm，BC＝8cm，则△ABD与△BCD的周长之差为 　2cm　．
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后求出△ABD与△BCD的周长之差＝AB﹣BC．
解：∵BD为中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD与△BCD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝10cm，BC＝8cm，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝10﹣8＝2（cm）．
故答案为：2cm．2cm
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
14．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 　x2+92＝（20﹣x）2　．
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝20﹣x，BC＝9，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+92＝（20﹣x）2．
故答案为：x2+92＝（20﹣x）2．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．
15．如图，△ABC≌△ADE，点E在BC边上，∠AED＝80°，则∠DEB的度数为 　20°　．

【分析】根据全等三角形的性质得出∠C＝∠AED＝80°，AE＝AC，根据等腰三角形的性质得出∠AED＝∠C＝80°，根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵△ABC≌△ADE，∠AED＝80°，
∴∠C＝∠AED＝80°，AE＝AC，
∴∠AED＝∠C＝80°，
∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠AEC＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴∠AEC＝（180°﹣∠CAE）＝80°，
∴∠DEB＝180°﹣∠AEC﹣∠AED＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，能熟记全等三角形的性质定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
16．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形（如图1），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是 　2023　．

【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2022次后形成图形中所有正方形的面积之和．
解：设第一个直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2＝c2＝1，
由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；
由图2可知，“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，
……
“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2023×1＝2023．
故答案为：2023．
【点评】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.）
17．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出点C1的坐标；
（2）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，写出点B2的坐标．
（3）求出△A1B1C1的面积．

【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质进而得出答案；
（2）直接利用关于x轴对称点的性质进而得出答案；
（3）采用矩形面积减去三个三角形面积的方法，求出矩形面积和三个小三角形面积，最终作差求得面积．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（2，﹣1）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2 （3，﹣1）．
（3）△A1B1C1的面积为：
．

【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．
18．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠C＝30°，线段DC与DB有怎样的数量关系？试说明理由．

【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线BD；
（2）想办法证明∠C＝∠CBD即可．
解：（1）射线BD即为所求；

（2）DC＝CB．
理由：∵∠A＝90°，∠C＝30°
∴∠ABD＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴∠C＝∠CBD＝30°
∴DC＝DB（等角对等边）．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判断等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
19．如图，△ABC中，点D、E在边BC上，AD＝AE，CD＝BE．
试问：∠BAD与∠CAE有怎样的数量关系？并说明理由．

【分析】由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得∠BAE＝∠DAC，可得结论．
解：∠BAD＝∠CAE．
理由如下：
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．请求出线段DE的长．

【分析】求出BD，求出AD2+BD2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°即可；求出AC＝AB＝10，根据三角形的面积公式求出DE即可．
解：∵BC＝12，AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC＝6，
∵AD＝8，AB＝10，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC；
∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，
∴AB＝AC，
∵AB＝10，
∴AC＝10，
∵△ADC的面积S＝AD•DC＝AC•DE
∴＝，
解得：DE＝4.8．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
21．课本习题：一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°．李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？解决问题的策略是多样的，请用三种不同的方法说明其中的道理．

【分析】通过∠BCD与∠A、∠B、∠C的数量关系求出∠BCD，与实际的测量值比较即可．
解：方法一：如图，连接AC并延长，

在△ADC中，
∠1＝∠D+∠DAC，
在△ABC中，
∠2＝∠B+∠BAC，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝∠D+∠B+∠BAC+∠DAC＝∠D+∠B+∠A＝140°，
∴李叔叔量得∠BCD＝142°，就可以断定这个零件不合格．
方法二：如图，延长DC交AB于M，

∵∠AMD＝180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠CMB＝180°﹣∠AMD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠MCB＝180°﹣∠B﹣∠CMB＝180°﹣20°﹣120°＝40°，
∴∠DCB＝180°﹣∠MCB＝180°﹣40°＝140°，
∴李叔叔量得∠BCD＝142°，就可以断定这个零件不合格．
方法三：如图，连接BD，

∵∠CDB+∠CBD＝180°﹣∠A﹣∠ADC﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣30°﹣20°＝40°，
∴∠DCB＝180°﹣（∠CDB+∠CBD）＝180°﹣40°＝140°，
∴李叔叔量得∠BCD＝142°，就可以断定这个零件不合格．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，运用三角形外角的性质是解题的关键．
22．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为多少米？（边缘部分的厚度忽略不计）

【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解：如图是其侧面展开图：AD＝π•＝20m，AB＝CD＝20m．DE＝CD﹣CE＝20﹣5＝15（m），

在Rt△ADE中，AE＝＝＝25（m）．
故他滑行的最短距离约为25m．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为m的半圆的弧长，矩形的长等于AB＝CD＝20m．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
23．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝45°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，DC上的动点．【知识链接：四边形的内角和等于360°】
（1）若△AEF的周长最小，利用无刻度直尺和圆规确定点E，F的位置（不写作法，保留尺规作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求∠EAF的度数．

【分析】（1）作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，此时△AEF的周长最小，A′A″即为△AEF的周长最小值．
（2）求出∠BAD＝135°，∠EAA′+∠FAA″＝45°，可得结论．
解：（1）如图，点E，F即为所求．

（2）∵∠BCD＝45°，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠DAB＝135°，
∴∠AA′E+∠AA″F＝180°﹣135°＝45°，
∵∠EA′A＝∠A″AE，∠FAD＝∠AA″F，
∴∠A′AE+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠DAB﹣（∠A′AE+∠FAD）＝135°﹣45°＝90°．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
24．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，则∠B＝　17　°；
（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B＝28°，求∠AEB的度数．

【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是180°，∠C＞90°，∠A＝56°，只能是∠A+2∠B＝90°；
（2）①由题意可得∠ADB＞90°，所以只要证明∠B与∠BAD满足2α+β＝90°，即可解答，
②由题意可得∠AEB＞90°，所以分两种情况，∠B+2∠BAE＝90°，2∠B+∠BAE＝90°．
解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，
∴∠A+2∠B＝90°，
∴∠B＝17°，
故答案为：17°；
（2）①△ABD是“准互余三角形”，
理由：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∴2∠BAD+∠B＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
②∵△ABE是“准互余三角形”
∴2∠EAB+∠ABC＝90°或∠EAB+2∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝28°∴∠EAB＝31°或∠EAB＝34°，
当∠EAB＝31°，∠ABC＝28°时，∠AEB＝121°，
当∠EAB＝34°，∠ABC＝28°时，∠AEB＝118°，
∴∠AEB的度数为：121°或118°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
25．如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC或BC的延长线于点M．
（1）如图1所示，若∠A＝30°，求∠NMB的大小；
（2）如图2所示，如果将（1）中的∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
（3）你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B，求出∠MNB＝90°，根据三角形内角和定理得出∠NMB＝90°﹣∠B即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B，求出∠MNB＝90°，根据三角形内角和定理得出∠NMB＝90°﹣∠B即可；
（3）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B，求出∠MNB＝90°，根据三角形内角和定理得出∠NMB＝90°﹣∠B即可．
解：（1）∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣30°）＝75°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝15°；
（2）∵AB＝AC，∠A＝80°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣80°）＝50°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝40°；
（3）∠NMB＝∠A，
理由是：设∠A＝m°
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝90°﹣（90°﹣）＝．
∴∠NMB＝∠A．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力，求解过程类似．