山东省济宁学院附属中学2023—-2024学年上学期七年级期中数学试卷（五四学制）

这是一份山东省济宁学院附属中学2023—-2024学年上学期七年级期中数学试卷（五四学制），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图案不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）若某三角形的三边长分别为2，3，m，则m的值可以是（ ）
A．1B．3C．5D．6
3．（3分）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB2+BC2＝AC2B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A+∠B＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线
B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
C．钝角三角形的三条高都在三角形外
D．三角形的三条中线总在三角形内
5．（3分）如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，OD垂直平分AB，若∠OBC＝∠OCB，则点A、O之间的距离为（ ）
A．4B．8C．2D．6
6．（3分）如图，甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．只有甲
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝9，∠B＝90°．将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，则BN的长是（ ）
A．4B．3C．6D．5
8．（3分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点B．N点C．P点D．Q点
9．（3分）如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，连接AI，BI，BO，若∠AOB＝140°（ ）
A．160°B．140°C．130°D．125°
10．（3分）如图，△ABC≌△ADE，D在BC上，则以下结论：①AD平分∠BDE；②∠CDE＝∠BAD； ④AD＝DC．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共5小题，每题3分）
11．（3分）已知等腰三角形两边长分别为9cm、4cm．则它的周长是 cm．
12．（3分）下面各组a、b、c，是勾股数的是 ．（填序号）
（1）a＝7，b＝24，c＝25
（2）a＝5，b＝13，c＝12
（3）a＝4，b＝5，c＝6
（4）a＝0.5，b＝0.3，c＝0.4
13．（3分）如图，一只蚂蚁在底面半径为20cm、高为30πcm的圆柱下底面的点A处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，它故意不走直线，而绕着圆柱，对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功 cm才能捕捉到小昆虫（结果保留π）．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，AB＝8 ．
15．（3分）如图，已知AB＝A1B，A1C1＝A1A2，A2C2＝A2A3，A3C3＝A3A4，……以此类推，若∠B＝20°，则∠C2023A2023A＝ ．​
三、解答题（共7小题，共55分）
16．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．
17．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2），
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中A1的坐标为 ；
（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等（A、D不重合），写出所有符合条件的点D坐标．
19．（8分）如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方问以每小时6海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛
20．（8分）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，过D作直线平行于BC，交AB，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
21．（8分）定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图，若PA＝PB
已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，求PA的长．（自己画图）
22．（10分）在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外），以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）若DM＝MC，则∠ACD＝ 度，∠BCE＝ 度；
（2）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（3）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5
2023-2024学年山东省济宁学院附中七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分）
1．（3分）下列图案不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念，进行判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形；
B．该图形不是轴对称图形；
C．该图形是轴对称图形；
D．该图形是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（3分）若某三角形的三边长分别为2，3，m，则m的值可以是（ ）
A．1B．3C．5D．6
【分析】根据三角形的三边关系定理得出3﹣2＜x＜3+2，求出即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：3﹣2＜x＜2+2，
解得：1＜x＜8，
即符合的只有3，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键．
3．（3分）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB2+BC2＝AC2B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A+∠B＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理和题意，可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵AB2+BC2＝AC5，故△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；
∵AB2﹣BC2＝AC5，
∴AC2+BC2＝AB6，故△ABC是直角三角形，选项B不符合题意；
∵∠A+∠B＝∠C，
∴△ABC是直角三角形，选项C不符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：4，
∴最大角∠C＝180°×＝75°，选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出三角形的形状．
4．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线
B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
C．钝角三角形的三条高都在三角形外
D．三角形的三条中线总在三角形内
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．
【解答】解：A、三角形的角平分线是一条线段，不符合题意；
B、三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，不符合题意；
C、钝角三角形的二条高都在三角形外，故本选项说法错误；
D、三角形的三条中线总在三角形内，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
5．（3分）如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，OD垂直平分AB，若∠OBC＝∠OCB，则点A、O之间的距离为（ ）
A．4B．8C．2D．6
【分析】连接OA，由垂直平分线的性质可得OA＝OB，由等角对等边可得OB＝OC＝4，即可求解．
【解答】解：如图，连接OA，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∵∠OBC＝∠OCB，OC＝4，
∴OB＝OC＝4，
∴OA＝OB＝OC＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质和等角对等边，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
6．（3分）如图，甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．只有甲
【分析】根据三角形全等的判定方法得出甲和乙与△ABC全等，丙与△ABC不全等．
【解答】解：在△ABC和甲的三角形中，两个角及一角对边对应相等，
所以甲和△ABC全等；
在△ABC和乙的三角形中，两角及其夹角对应相等，
∴乙和△ABC全等；
在△ABC和丙的三角形中，只有一边一角对应相等；
综上分析可知，和△ABC全等的是甲和乙．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝9，∠B＝90°．将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，则BN的长是（ ）
A．4B．3C．6D．5
【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝3，
在Rt△NBD中，x5+32＝（7﹣x）2，
解得x＝4．
即BN＝5．
故选：A．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
8．（3分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点B．N点C．P点D．Q点
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．
【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，连接AI，BI，BO，若∠AOB＝140°（ ）
A．160°B．140°C．130°D．125°
【分析】连接CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OC，进而得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：连接CO，
∵∠AOB＝140°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°，
∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°，
∵O是三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCA+∠OCB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝55°，
∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（3分）如图，△ABC≌△ADE，D在BC上，则以下结论：①AD平分∠BDE；②∠CDE＝∠BAD； ④AD＝DC．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由△ABC≌△ADE，推出AB＝AD，AC＝AE，∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，再由等腰三角形的性质，可以求解．
【解答】解：AC和DE交于O，
∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠CAE，
∴∠ADB＝∠ADE，∠ACE＝∠ADB＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE，
∵∠AOD＝∠EOC，
∴∠DAC＝∠DEC，
∵∠CDE+∠ADE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
由条件不能推出AD＝DC，
∴①②③正确．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握并灵活应用全等三角形的对应边相等，对应角相等；等腰三角形的底角相等．
二、填空题（共5小题，每题3分）
11．（3分）已知等腰三角形两边长分别为9cm、4cm．则它的周长是 22 cm．
【分析】先根据已知条件和三角形三边关系定理可知，等腰三角形的腰长不可能为4cm，只能为9cm，再根据周长公式即可求得等腰三角形的周长．
【解答】解：∵等腰三角形的两条边长分别为9cm、4cm，
∴由三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长不可能为8cm，只能为9cm，
∴等腰三角形的周长＝9+3+4＝22（cm）．
故答案为：22．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．要求学生熟练掌握．
12．（3分）下面各组a、b、c，是勾股数的是 （1）（2） ．（填序号）
（1）a＝7，b＝24，c＝25
（2）a＝5，b＝13，c＝12
（3）a＝4，b＝5，c＝6
（4）a＝0.5，b＝0.3，c＝0.4
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
【解答】解：（1）、72+244＝252，能构成勾股数，故符合题意；
（2）、53+122＝132，能构成勾股数，故符合题意；
（3）、22+44≠62，不能构成勾股数，故不符合题意．
（4）、均不是整数，故不符合题意；
故答案为：（1）（2）．
【点评】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
13．（3分）如图，一只蚂蚁在底面半径为20cm、高为30πcm的圆柱下底面的点A处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，它故意不走直线，而绕着圆柱，对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功 50π cm才能捕捉到小昆虫（结果保留π）．
【分析】沿AB将圆柱的侧面展开得到一个长方形，根据“两点之间线段最短”，蚂蚁的最短爬行路线即为长方形的对角线．
【解答】解：将圆柱的侧面展开得到一个长方形，如图所示．
蚂蚁的最短爬行路线即为长方形的对角线AB的长度，
根据题意，AB'＝30π （cm），使用勾股定理得：AB＝50π （cm）．
故答案为：50π．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，解决此类问题的关键在于，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间线段最短．在平面图形上构造直角三角形，使用勾股定理解决问题．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，AB＝8 12 ．
【分析】过E作EF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到EF＝CE＝3，于是得到S△ABC＝AB•EF＝＝12．
【解答】解：过E作EF⊥AB于F，
∵∠C＝90°，AE平分∠BAC，
∴EF＝CE＝3，
∴S△ABC＝AB•EF＝．
故答案为：12．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，已知AB＝A1B，A1C1＝A1A2，A2C2＝A2A3，A3C3＝A3A4，……以此类推，若∠B＝20°，则∠C2023A2023A＝ ．​
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A＝∠C1A1A＝，从而利用三角形的外角性质可得∠A1C1A2+∠C2A2A＝80°，进而利用等腰三角形的性质可得∠A1C1A2＝∠C2A2A＝，然后按照同样的思路，从数字找规律进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB＝A1B，∠B＝20°，
∴∠A＝∠C1A5A＝（180°﹣∠B）＝80°＝，
∴∠A1C6A2+∠C2A2A＝80°，
∵A1C1＝A8A2，
∴∠A1C7A2＝∠C2A4A＝40°＝×80°＝，
∴∠A2C7A3+∠C3A2A＝40°，
∵A2C2＝A3A3，
∴∠A2C8A3＝∠C3A2A＝20°＝××80°＝，
…
∴∠C2023A2023A＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，规律型：数字的变化类，规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
三、解答题（共7小题，共55分）
16．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据角平分线的作法，画出图形即可；
（2）作DH⊥AB于H．只要证明CD＝DH，根据三角形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：（1）∠ABC的平分线如图所示．
（2）作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，
∴CD＝DH＝3，
∴△ABC的面积＝S△BCD+S△ABD＝BC•CD+×3BC+（BC+AB）＝．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
17．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．
【分析】（1）根据线段的和差证出BC＝EF，由SSS即可得出△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性质得到∠A＝∠D＝45°，∠B＝∠DEF，根据平行线的判定与性质即可得解．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠D＝45°，
∴∠A＝∠D＝45°，∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
∴∠EGC＝∠A＝45°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，由SSS得出△ABC≌△DEF是解题的关键．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2），
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中A1的坐标为 （2，﹣3） ；
（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等（A、D不重合），写出所有符合条件的点D坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，进而可以得A1的坐标；
（2）根据网格利用全等三角形的判定即可写出所有符合条件的点D坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C2即为所求；A1的坐标为（2，﹣2）；
故答案为：（2，﹣3）；
（2）所有符合条件的点D坐标为：（8，3）或（0，﹣4）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
19．（8分）如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方问以每小时6海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛
【分析】由题意得△BMN是直角三角形，求得BN与BM的长，然后根据勾股定理即可求得MN的长即可．
【解答】解：由题意知，∠MBN＝180°﹣60°﹣30°＝90°，BN＝2×8＝16（海里），
∴△BMN是直角三角形，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：MN＝＝，
答：M岛与N岛之间的距离为20海里．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，证明△BMN为直角三角是解题的关键．
20．（8分）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，过D作直线平行于BC，交AB，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
【分析】（1）首先根据平行线的性质可得∠FDC＝∠DCB，再根据角平分线的定义可得∠FCD＝∠BCD，可得∠FCD＝∠FDC，据此即可证得；
（2）同理（1）可得DE＝BE，根据△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AB+AC，求解即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠DCB，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FD＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∵AC＝6cm，AB＝8cm，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF
＝AE+ED+FD+AF
＝AE+EB+FC+AF
＝AB+AC
＝7+6
＝14（cm）．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
21．（8分）定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图，若PA＝PB
已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，求PA的长．（自己画图）
【分析】先利用勾股定理计算出AC＝4，根据准外心分类讨论：当PA＝PC时，易得PA＝AC＝2，当PB＝PC时，设PA＝x，则PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得x2+32＝（4﹣x）2，解得x＝，然后解方程求出x即可．
【解答】解：如图，AC＝＝，
当PA＝PC时，PA＝，
当PB＝PC时，设PA＝x，
在Rt△ABP中，x3+32＝（5﹣x）2，解得x＝，即AP的长为，
综上所述，AP的长为6或．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了阅读理解能力．
22．（10分）在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外），以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）若DM＝MC，则∠ACD＝ 15 度，∠BCE＝ 15 度；
（2）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（3）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5
【分析】（1）由等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）证△ACD≌△BCE（SAS），即可得出结论；
（3）过点C作CN⊥BQ于点N，由等腰三角形的性质得PQ＝2PN，再由勾股定理求出PN＝3，即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵线段AM为等边△ABC中BC边上的中线，
∴AM⊥BC，
∴∠AMC＝90°，
∵DM＝MC，
∴△CDM是等腰直角三角形，
∴∠MCD＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠MCD＝60°﹣45°＝15°，∠BCE＝∠DCE﹣∠MCD＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15，15；
（2）AD＝BE．理由如下：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB﹣∠MCD＝∠DCE﹣∠MCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（3）如图，过点C作CN⊥BQ于点N，
∵CP＝CQ，
∴PQ＝2PN，
∵△ABC是等边三角形，AM是中线，
∴BC＝AB＝8，CM⊥ADBC＝4，
∴CN＝CM＝4（全等三角形对应边上的高相等），
∵CP＝CQ＝5，
∴PN＝＝＝3，
∴PQ＝6PN＝6．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明△ACD≌△BCE是解题的关键．